3 skyrius. Kvantinės mechanikos pagrindai

Kvantinė mechanika yra šiuo metu bendriausia fizikinė teorija ir iš principo pritaikoma nuo subatominio lygio iki kasdieninių daiktų skalės. Siekiant paaiškinti kvantinius reiškinius ši teorija buvo suformuluota naudojant tiesinės algebros matematinę struktūrą, kurios elementus pristatėme ankstesniame skyriuje. Šiame skyriuje pateikiame kvantinės mechanikos postulatus. Postulatai yra taikomi siekiant sujungti abstraktų šios teorijos matematinį formalizmą su stebimu fiziniu pasauliu ir suteikia pagrindines taisykles, kuriomis remiasi skaičiavimai kvantiniame kompiuteryje.

3.1 Kvantinės mechanikos postulatai

I postulatas – kvantinės būsenos. Uždaros kvantinės sistemos būsena yra visiškai nusakoma normuotuoju vektoriumi \(|\psi\rangle\) Hilberto vektorių erdvėje.

Kvantinė būsena, aprašyta \(|\psi\rangle\) vektoriumi, atspindi visą informaciją, kurią galima sužinoti apie kvantinę sistemą. Hilberto erdvė \((\mathcal{H})\) – tai kompleksinių vektorių erdvė su matematiškai apibrėžta vidine sandauga \(\langle\psi|\psi\rangle\). Reikalavimas, kad vektorius \(|\psi\rangle\) būtų normuotasis, išreiškiamas \(\langle\psi|\psi\rangle = 1\). Kiekvienai fizinei sistemai priskiriame atskirą \(\mathcal{H}\) erdvę, kurioje galime aprašyti jos visas būsenas. Kvantinė mechanika nenurodo, kokia yra specifinės kvantinės sistemos Hilberto erdvė, tai bendrai gali būti nelengva užduotis sudėtingose sistemose. Tačiau kubito \(\mathcal{H}\) erdvė yra viena iš paprasčiausių: tai 2 dimensijų kompleksinė vektorių erdvė. Jeigu \(|\psi\rangle\), \(|\phi\rangle\) yra du vektoriai, priklausantys tai pačiai \(\mathcal{H}\) erdvei, tada \(|u\rangle = a|\psi\rangle + b|\phi\rangle\) yra kita galima tos pačios sistemos būsena, vadinamoji superpozicija. Būsenų normuotumas naudojant amplitudes išreiškiamas \(\langle u|u\rangle = |a|^2 + |b|^2 + 2\mathrm{Re}(a^{*}b\langle\psi|\phi\rangle) = 1\). Jeigu \(|\psi\rangle\) ir \(|\phi\rangle\) yra ortogonalieji vektoriai, tada trečiasis narys, nusakantis interferenciją tarp būsenų iškrenta iš lygybės, \(2\mathrm{Re}(a^{*}b\langle\psi |\phi\rangle) = 0\), ir randame \(|a|^2 + |b|^2 = 1\).

Pirmąjį postulatą galima matematiškai tiksliau perfrazuoti sakant, kad kvantinės būsenos yra nusakomos spinduliu. Spindulys čia reiškia klasę vektorių, kurie vienas nuo kito skiriasi tik globalia faze \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\). Kadangi globali fazė nėra stebima matavimuose, visos kvantinės būsenos, besiskiriančios tik fazės nariu, yra tarpusavyje ekvivalenčios. Pavyzdžiui, vektoriai \(|\psi\rangle\) ir \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|\psi\rangle\) nusako identišką būseną. Matome, kad dėl kompleksinės jungties naudojimo vidinėje sandaugoje globalios fazės narys pradingsta: \[\begin{equation} \langle\psi |\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|\psi\rangle = \mathrm{e}^{0}\langle\psi |\psi\rangle = 1\,. \tag{3.1} \end{equation}\] Atitinkamai ir matavimų metu jis nėra stebimas. Tačiau svarbu pabrėžti skirtumą tarp globalios ir santykinės fazės. Santykinė fazė yra fiziškai svarbi ir jos įtaka stebima matavimų rezultatuose. Matematiškai, globali fazė superpozicijos būsenoje daugina abu narius kartu, pavyzdžiui, \(|\psi\rangle = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\big(a|0\rangle + b|1\rangle\big)\). O štai santykinė fazė atrodytų bendrai taip: \(|\psi\rangle = a|0\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}b|1\rangle\). Kaip pavyzdį imkime Pauli-\(X\) bazinių vektorių būsenas \(|0_x\rangle\) ir \(|1_x\rangle\), kurios nusako \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijas bei skiriasi santykine faze: \[\begin{equation} |0_x\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}\,,\quad |1_x\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}\,. \tag{3.2} \end{equation}\] Akivaizdu, kad šios dvi būsenos yra skirtingos, o tiksliau – ortogonalios, nes \(\langle 0_x |1_x \rangle = 0\).

II(a) postulatas – būsenų evoliucija laike. Kvantinės sistemos, izoliuotos nuo išorinių sąveikų, evoliucija laike yra nusakoma unitarine transformacija. Sistemos būsena \(|\psi(t_0)\rangle\) laiku \(t_0\) yra susiejama su būsena \(|\psi(t_1)\rangle\) vėlesniu laiku \(t_1\) unitarine transformacija \(U(t_0, t_1)\): \[\begin{equation} |\psi(t_1)\rangle = U(t_0, t_1)|\psi(t_0)\rangle\,. \tag{3.3} \end{equation}\]

Antrasis postulatas nusako, kad žinant pradinę uždaros sistemos būseną laiku \(t_0\), galima apskaičiuoti, kokia bus sistemos būsena laiku \(t_1\), \(|\psi(t_1)\rangle\). Matematiškai tai yra sandauga tarp unitariosios matricos \(U(t_0, t_1)\), nulemiančios laiko evoliuciją, ir būseną laiku \(t_0\) nusakančio vektoriaus \(|\psi(t_0)\rangle\). Kitaip tariant, uždarų kvantinių sistemų, kaip ir klasikinių, evoliucija laike yra deterministinė. Unitarinėse evoliucijose nėra tikimybėmis nusakomų būsenų kitimų. Toliau pateikiame antrojo postulato versiją, naudojančią Šriodingerio lygtį (angl. Schrödinger equation), kuri yra labiau tinkama apibūdinti fizikinėms sąveikoms.

II(b) postulatas – Uždaros kvantinės sistemos būsena laike yra nusakoma Šriodingerio lygtimi: \[\begin{equation} \mathrm{i}\hbar\frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H|\psi(t)\rangle\,. \tag{3.4} \end{equation}\] Šriodingerio diferencialinėje lygtyje \(\hbar\) yra Planko konstanta, \(\mathrm{i}\) – menamasis vienetas, \(H\) – uždaros sistemos hamiltonianas (deja, čia vartojame tą pačia raidę, kaip ir Hadamardo transformacijai). Hamiltonianas – ermitinis operatorius, kurio tikrinės vertės yra sistemos energijos lygmenys. Pavyzdžiui, jeigu \(|k\rangle\) yra \(H\) operatoriaus tikrinis vektorius, tada yra tenkinama lygybė \(H|k\rangle = \lambda_k|k\rangle\), kurioje tikrinė vertė \(\lambda_k\) nusako būsenos \(|k\rangle\) energiją.

Sąryšis tarp antrojo postulato dviejų versijų slypi Šriodingerio lygties integracijoje laiko intervale nuo \(t_0\) iki \(t_1\). Neprarasdami bendrumo darome prielaidą, kad šiuo laiko intervalu hamiltonianas nekinta. Tada, atlikę integraciją laike, gauname: \[\begin{equation} |\psi(t_1)\rangle = \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}H(t_1 - t_0)}{\hbar}} |\psi(t_0)\rangle\,. \tag{3.5} \end{equation}\] Palyginę su unitarinės evoliucijos laike forma, matome jos bendrą išraišką: \[\begin{equation} U(t_0, t_1) = \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}H(t_1 - t_0)}{\hbar}}\,. \tag{3.6} \end{equation}\] Kadangi hamiltonianas yra ermitinis operatorius, ši operatoriaus eksponentė nusako unitarųjį operatorių. Kvantiniame kompiuteryje be išorinių sąveikų kubito bendra būsena \(|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) laike nekinta, tad \(U(t) = I\) efektyviai nusako vienetinį operatorių. Kvantiniai loginiai vartai fiziniame lygmenyje yra laike atliekama kubito būsenos transformacija. Hamiltonianas tuo laiko intervalu yra „įjungiamas” pridedant sąveikas nusakančius narius, vadinamąsias sistemos perturbacijas. Algoritmas nusako seką sistemos perturbacijų, trunkančių tam tikrus laiko intervalus \(\Delta t\). Pavyzdžiui, laiko intervale \(\Delta t= t_1 - t_0\) gali būti atliekama kubito sąveika su elektromagnetinio lauko pulsu, toliau gali sekti kitas pulsas, taip atliekant seką skirtingų unitarinių transformacijų \(\cdots U(t_1, t_2 )U(t_0, t_1 )|\psi(t_0)\rangle\). Analizuojant algoritmus loginiu lygmeniu laiko kintamųjų (svarbių fiziniame lygmenyje) neberašome, kadangi \(U(t)\) yra perteikiamas jo suminį efektą baziniams vektoriams išreiškiančiu efektyviu unitariniu operatoriumi \(U(t) \rightarrow U\).

Be loginius vartus nusakančių sąveikų kvantiniame kompiuteryje galima išskirti dar dviejų tipų sąveikas, kuriose sistema traktuojama kaip nebeuždara. Pirmasis tipas – tai nepageidaujamos ir nekontroliuojamos sąveikos su išorinėmis kvantinėmis sistemomis. Jos įveda nežinomas unitarines transformacijas ir nenuspėjamai paveikia kubitų būsenas. Vienintelė tikra uždara kvantinė sistema yra (veikiausiai) pati visata. Kai sakoma, kad kubitai apibūdina uždaras kvantines sistemas, turima omenyje, kad išorinės sąveikos yra itin retos ir todėl galima gerai aproksimuoti jas esant uždaras. Antrojo tipo sąveika yra su makroskopiniais įrenginiais, naudojamais pamatuoti kvantinei būsenai. Pastaruoju atveju sistemos evoliucijos laike negalime nusakyti taikydami antrąjį postulatą (net ir išplėtus tai, ką vadiname uždara sistema), nes jos dinamika tampa nedeterministinė. Trečiasis postulatas nusako, kaip kvantinė sistema keičiasi atlikus jos būsenos matavimą.

III postulatas – fizikinių dydžių matavimai. Kiekvienam stebimam kvantinės sistemos fizikiniam dydžiui egzistuoja ermitinis operatorius \(P\), veikiantis tos sistemos Hilberto erdvėje. Atlikus fizikinio dydžio matavimą galimi rezultatai yra viena iš \(P\) operatoriaus tikrinių verčių \(\lambda_k\). Tikimybė \(p(\lambda_k)\) gauti \(\lambda_k\) pamatavus sistemą esančią būsenoje \(|\psi\rangle\) randama \(p(\lambda_k) = \langle\psi|P_k |\psi\rangle = \big|\langle k |\psi\rangle\big|^2\); čia \(P_k\) yra projekcinis operatorius \(P_k = |k\rangle\langle k|\). Kvantinės sistemos būsena iš karto po matavimo yra \(P\) operatoriaus tikrinis vektorius \(|k\rangle\), susietas su rasta tikrine verte \(\lambda_k\).

Šiame postulate nurodomas būdas apskaičiuoti tikimybes yra dar žinomas kvantinėje mechanikoje kaip Borno taisyklė (angl. Born rule). Kvantinė mechanika nepasako, kokie ermitiniai operatoriai susieti su fizikiniais dydžiais. Analizuojant fizinės sistemos savybes ir matavimo konfigūraciją vis dėlto galima tokius operatorius aprašyti. Selektyvus matavimas, naudojantis projekcinius operatorius, yra dažniausiai aptinkamas būsenų matavimo būdas kvantinėje kompiuterijoje. Kaip minėjome antrame skyriuje, ermitinis operatorius gali būti išreikštas spektrine dekompozicija: \[\begin{equation} P = \sum_k \lambda_k P_k\,. \tag{3.7} \end{equation}\] Projekcinis operatorius \(P_k\) atlieka vektoriaus projekciją į ortogonalų poerdvį, asocijuotą su tikrine verte \(\lambda_k\). Kubito būsenos \(|\psi\rangle\) selektyvusis matavimas pasitelkiant \(P_k\) nusako tikimybę gauti būtent \(\lambda_k\) rezultatą. Būseną po \(P_k\) projekcinio matavimo, vadinsime ją bendrai \(|\varphi\rangle\), galima formaliai rasti: \[\begin{equation} |\varphi\rangle = \frac{P_k|\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi |P|\psi\rangle}} = \frac{|k\rangle\langle k|\psi\rangle}{\sqrt{p(\lambda_k)}} = \frac{a_k |k\rangle}{\sqrt{p(\lambda_k)}}\,. \tag{3.8} \end{equation}\] Skaitiklyje, \(P_k|\psi\rangle\) atlieka \(|\psi\rangle\) būsenos projekciją į \(|k\rangle\) vektoriaus poerdvį, o vidinė sandauga \(\langle k|\psi\rangle= a_k\) nusako šių vektorių persiklojimą. Vardiklyje esantis narys, \(\sqrt{p(\lambda_k)} = \sqrt{|a_k|^2} = |a_k|\), atlieka užduotį sunormuoti vektorių \(a_k|k\rangle\).

Dažniausiai susidursime su projekciniais matavimais į ortogonalias kubitų \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenų poerdvius (1 dimensijos poerdviai), susietus su tikrinėmis vertėmis \(\lambda_0 = 1\) ir \(\lambda_1 = -1\), atitinkamai. Tai atlieka Pauli-\(Z\) operatorius, kurį galima išreikšti: \[\begin{equation} Z = \sum_k \lambda_k P_k = \lambda_0 |0\rangle\langle 0| + \lambda_1 |1\rangle\langle 1| = |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1|\,. \tag{3.9} \end{equation}\] Projekcinį matavimą, naudojant Pauli-\(Z\), čia vadinsime pakaitomis „standartiniu”, „Pauli-\(Z\) operatoriaus matavimu”, arba „matavimu vektorių \(\big\{|0\rangle, |1\rangle\big\}\) bazėje”. Be Pauli-\(Z\) taip pat kvantinių ryšių protokoluose galima aptikti Pauli-\(X\) operatoriaus matavimą. Projekciniais operatoriais jį išreiškiame: \[\begin{equation} X = \sum_k \lambda_k P_k = \lambda_0|0_x\rangle\langle 0_x| + \lambda_1 |1_x\rangle\langle 1_x| = |0_x \rangle\langle 0_x| - |0_x \rangle\langle 0_x|\,. \tag{3.10} \end{equation}\] Čia \(\big\{|0_x \rangle, |1_x \rangle\big\}\) yra Pauli-\(X\) tikriniai vektoriai, į kurių dengiamą poerdvį atliekama \(|\psi\rangle\) būsenos projekcija.

Grįžtant prie standartinių Pauli-\(Z\) matavimų, jeigu kubitas yra \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenoje, bet ne jų superpozicijoje, tada projekcinis matavimas užtikrina, kad šią būseną ir rasime, o pats matavimas būsenos nepakeičia. Pavyzdžiui, jeigu \(|\psi\rangle = |1\rangle\), tada tikimybė rasti \(|1\rangle\) yra \(p(-1)\): \[\begin{equation} p(-1) = \langle 1|1\rangle\langle 1|1\rangle = \big|\langle 1|1\rangle\big|^2 = 1\,, \tag{3.11} \end{equation}\] ir būsena iškart po matavimo \(|\varphi\rangle\): \[\begin{equation} |\varphi\rangle = \frac{|1\rangle\langle 1|1\rangle}{\sqrt{\big|\langle 1|1\rangle\big|^2}} = |1\rangle\,, \tag{3.12} \end{equation}\] Pakartoję tą patį kubito būsenos matavimą esame užtikrinti, kad rasime vėl tą pačią būseną kaip ir po pirmojo matavimo. Mat formaliai projekcinis operatorius šiuo atveju nepakeičia būsenos \(P_k|k\rangle = |k\rangle\), \(k \in \{ 0, 1\}\).

Panagrinėkime, kaip matavimas veikia bendrą normuotą kubito būseną, esančią superpozicijoje \(|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\). Jeigu norime sužinoti, kokia tikimybė rasti kubitą būsenoje \(|1\rangle\), tam vėl renkamės \(P_1 = |1\rangle\langle 1|\) projekcinį operatorių. Trečiasis postulatas formaliai parodo, kaip vektorių amplitudės yra susietos su matavimo rezultatų tikimybėmis. Randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} p(-1) = & \langle\psi |1\rangle\langle 1|\psi\rangle \\ = & b^{*}b\langle 1|1\rangle\langle 1|1\rangle + a^{*}a\langle 0|1\rangle\langle 1|0\rangle + a^{*}b\langle 0|1\rangle\langle 1|1\rangle + b^{*}a\langle 1|1\rangle\langle 1|0\rangle \\ = & b^{*}b = |b|^2\,. \end{aligned} \tag{3.13} \end{equation}\] Viršuje pritaikėme kubito būsenų ortogonalumą, tad nariai \(\langle 1|0\rangle = \langle 0|1\rangle = 0\). Kaip ir tikėjomės, tikimybė rasti kubitą \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenoje yra lygi tos būsenos amplitudės (kompleksiniam) kvadratui. Po šio matavimo, kubito būsena yra: \[\begin{equation} |\varphi\rangle = \frac{|1\rangle\langle 1|\psi\rangle}{\sqrt{|b|^{2}}} = \frac{b|1\rangle}{|b|}= \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|1\rangle = |1\rangle\,. \tag{3.14} \end{equation}\] Gavome \(|1\rangle\) su koeficientu \(b/|b|\) ir pasinaudojome sąlyga, kad kompleksinį skaičių \(b\) galima išreikšti \(b = |b|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\). Kadangi kvantinių būsenų vektoriai yra nusakomi iki globalios fazės, narys \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) gali būti praleidžiamas galutinėje išraiškoje. Atitinkamai naudotume \(P_0 = |0\rangle\langle 0|\) norint apskaičiuoti tikimybę rasti kubitą \(|0\rangle\) būsenoje, o \(p(1) = |a|^2\).

Viršuje atliktas matavimas bendrai kubito būsenai, esančiai \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijoje parodo, kad po matavimo ši superpozicija yra sugriaunama. Tai literatūroje dar vadinama kvantinės būsenos suirimu. Po superpozicijos suirimo būsena tampa \(|0\rangle\) su tikimybe \(|a|^2\), arba \(|1\rangle\) su tikimybe \(|b|^2\). Tai reiškia, kad jeigu daug kartų pakartosime šį eksperimentą atlikdami kubito paruošimą į identišką pradinę būseną bei matavimus, statistinis rezultatas bus nusakomas \(p(\lambda_{k})\).

Kvantinėje mechanikoje tik būsenos, kurios yra viena kitai ortogonalios, gali būti patikimai atskirtos. Jeigu dvi būsenos, nusakytos \(|\psi\rangle\) ir \(|\phi\rangle\) vektoriais, yra skirtingos, bet ne ortogonalios \(\langle\psi|\phi\rangle \neq 0\), tai reiškia, kad jos iš dalies persikloja. Kitaip tariant, \(|\phi\rangle\) būsena turi savyje statmeną ir lygiagretų komponentą \(|\psi\rangle\) vektoriaus atžvilgiu. Dėl esamo lygiagretaus komponento atsiranda tikimybė, kad \(|\phi\rangle\) būsenos matavimo metu bus rasta \(|\psi\rangle\) būsena. Tai yra viena iš priežasčių, kodėl kvantinėje kompiuterijoje naudojami ortogonalieji baziniai vektoriai bei projekciniai matavimai į ortogonaliuosius poerdvius.

Viršuje pateikėme selektyvų matavimo būdą, kuris figūruoja kvantinėje kompiuterijoje. Be šio būdo, galima sutikti eksperimentinėje fizikoje labiau įprastą neselektyvų būsenų matavimo metodą (angl. non-selective measurement). Jis suteikia matuojamo fizikinio dydžio, nusakomo tikrinėmis vertėmis \(\lambda_k\), vidurkį (angl. expectation value). Pavyzdžiui, 1 kubito atveju, atlikę jo bendros superpozicijos būsenos \(|\psi\rangle\) Pauli-\(Z\) matavimus \(n\) kartų, rastume \(\lambda_1\) tikrinę vertę ir \(m\) kartų \(\lambda_{-1}\). Tad šių tikrinių verčių vidurkis \(\langle\psi |Z|\psi\rangle\) yra: \[\begin{equation} \langle\psi |Z|\psi\rangle = \frac{n\lambda_1 + m\lambda_{-1}}{n + m} = p(1)\lambda_1 + p(-1)\lambda_{-1}\,. \tag{3.15} \end{equation}\] Viršuje pateikta formulė, kurią taikytume atlikdami eksperimentą. Apibūdinsime, kaip formaliai apskaičiuojame \(\langle\psi |Z|\psi\rangle\). Matuojamą fizikinį dydį nusako ermitinis operatorius \(P\), turintis \(\lambda_k\) tikrines vertes, susietas su vektoriais \(|k\rangle\). Viršuje naudojome Pauli-\(Z\) operatorių, \(P = Z\). Imkime normuotą, nebūtinai kubito, superpozicijos būseną \(|\psi\rangle\): \[\begin{equation} |\psi\rangle = \sum_k a_k |k\rangle\,. \tag{3.16} \end{equation}\] Čia \(|\psi\rangle\) yra išreikšta \(P\) operatoriaus tikriniais vektoriais \(|k\rangle\) su amplitudėmis \(a_k\). Daug kartų atlikę operatoriaus \(P\) neselektyvųjį matavimą, trumpai užrašant \(\langle P\rangle\), identiškai paruoštai būsenai \(|\psi\rangle\), randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} \langle P\rangle = & \langle\psi |P|\psi\rangle = \left(\sum_{k'} a_{k'}^{*}\langle k'|\right) \left(\sum_k \lambda_k P_k \right) \left(\sum_{k''} a_{k''}|k''\rangle\right) \\ = & \sum_k |a_k |^2 \lambda_k\,. \end{aligned} \tag{3.17} \end{equation}\] Viršuje formaliai panaudojome \(\langle k'|P_k |k''\rangle = \delta_{k'k}\delta_{kk''}\) panaikindami du suminius indeksus. Tad vidurkis yra nulemtas tikimybių \(p(\lambda_k)=|a_k |^2\), nusakančių rasti \(|k\rangle\) būsenas, sietinas su atitinkamomis tikrinėmis vertėmis \(\lambda_k\). Tai identiška išraiška tai, kurią naudojome aprašyti eksperimente apskaičiuojamą 1 kubito \(\langle\psi |Z|\psi\rangle\).

IV postulatas – sudėtinės sistemos. Sudėtinės kvantinės sistemos būsenų erdvė yra nusakoma ją sudarančių individualių posistemės erdvių tenzorių sandauga, \(\mathcal{H}^{\otimes n} = \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2\otimes\cdots\mathcal{H}_n\), o sistemos būsena yra tenzorinė vektorių sandauga, \(|\psi\rangle = |\phi_1 \rangle\otimes|\phi_2 \rangle\otimes\cdots\otimes |\phi_n \rangle\). Vektorių, išreikštų tenzorinėmis sandaugomis superpozicija, pavyzdžiui, \(|\psi\rangle = a|\phi_1 \rangle\otimes\cdots\otimes|\phi_n \rangle + b|\phi_1 \rangle\otimes\cdots\otimes|\phi_n \rangle\), yra kita galima būsena \(\mathcal{H}^{\otimes n}\) erdvėje.

Ketvirtasis postulatas praplečia pirmąjį postulatą ir formaliai nusako, kaip matematiškai aprašyti sudėtinės sistemos būsenas. Sistemos, sudarytos iš \(n\) kubitų būsenos, vektorius yra nusakomas \(2^n\) dimensijų Hilberto vektorių erdvėje. Ši erdvė yra formuojama iš individualių posistemės erdvių taikant tenzorių sandaugą, kuri žymima simboliu \(\otimes\). Matematinį formulavimą bei sudėtinių sistemų transformacijas jau trumpai apibendrinome antrame skyriuje.

Norint supaprastinti simboliką, vietoj \(|\phi_1 \rangle\otimes|\phi_2 \rangle\otimes\cdots\) galime rašyti \(|\phi_1 \phi_2\cdots \rangle\). Kaip pavyzdį imkime 2 kubitų sistemą. Naudojant skaičiuojamąjį bazinių vektorių rinkinį, {\(|00\rangle\), \(|01\rangle\), \(|10\rangle\), \(|11\rangle\)}, galima išreikšti bet kokią kubito \(|\psi\rangle\) būseną 4 dimensijų Hilberto erdvėje pritaikius jų tiesinę sumą: \[\begin{equation} |\psi\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle + d|11\rangle\,. \tag{3.18} \end{equation}\] Čia naudojame kubitų numeraciją \(|k_1 k_2 \rangle\). Kadangi kvantinės būsenos yra nusakomos normuotais vektoriais, amplitudžių modulių kvadratų suma susideda į vienetą: \[\begin{equation} |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |d|^2 = 1\,. \tag{3.19} \end{equation}\] Atlikus 2 kubitų matavimus \(|\psi\rangle\) būsenoje, tikimybę rasti bitų sekas, nurodytas baziniuose vektoriuose, galima nuskaityti tiesiogiai iš prie jų prišlietų amplitudžių. Rasime \(|00\rangle\) su tikimybe \(|a|^2\), \(|01\rangle\) su \(|b|^2\) ir kitas analogiškai. Norėdami apskaičiuoti tikimybę rasti, pavyzdžiui, vien tik pirmą kubitą būsenoje \(|1\rangle\), formaliai pasitelkiame trečiąjį postulatą apskaičiuoti \(\langle\psi |P_1^1 |\psi\rangle\). Dirbdami 2 kubitų erdvėje naudojame \(P_1^1 = |1\rangle\langle 1|\otimes I\) projekcinį operatorių, kuris per \(\otimes\) ženklą nusako, kad projekcinis matavimas į poerdvį, dengiamą \(|1\rangle\) būsenos, bus atliekamas su pirmuoju kubitu: \[\begin{equation} \langle\psi |P_1^1 |\psi\rangle = \big(\langle 10| c^{*} + \langle 11|d^{*}\big) \big(c|10\rangle + d|11\rangle\big) = |c|^2 + |d|^2\,. \tag{3.20} \end{equation}\] Normuotą būseną \(|\varphi\rangle\) po šio matavimo randame: \[\begin{equation} |\varphi\rangle = \frac{P_1^1 |\psi\rangle}{\sqrt{\langle\psi |P_1^1 |\psi\rangle}} = \frac{c|10\rangle + d|11\rangle}{\sqrt{|c|^2 + |d|^2}}\,. \tag{3.21} \end{equation}\] Norėdami nusakyti, kokia tikimybė rasti \(|\psi\rangle\), pavyzdžiui, \(|01\rangle\) būsenoje, naudotume \(P_{0,1}^{1,2} = |0\rangle\langle 0|\otimes|1\rangle\langle 1| = |01\rangle\langle 01|\) projekcinį operatorių.

Kvantinės mechanikos postulatas, nusakantis sistemos evoliuciją laike, yra analogiškai taikomas ir sudėtinėse sistemose. Pavyzdžiui, jeigu unitarusis operatorius \(U_1\) nusako pirmo kubito evoliuciją laike, o \(U_2\) antro, tai \(U = U_1 \otimes U_2\) formaliai aprašo sudėtinės 2 kubitų sistemos \(|\chi\rangle = |\phi_1 \rangle\otimes|\phi_2 \rangle\) unitarinę evoliuciją: \[\begin{equation} U|\chi\rangle = (U_1 \otimes U_2 )|\phi_1 \rangle\otimes|\phi_2 \rangle = U_1 |\phi_1 \rangle\otimes U_2|\phi_2 \rangle\,. \tag{3.22} \end{equation}\] Viršuje pateikti \(U_1 \otimes U_2\) operatoriai yra vadinami lokaliaisiais, kadangi jie transformuoja individualius posistemės kubitus nepriklausomai nuo kitų būsenos. Bendresnio pobūdžio išplėstiniai operatoriai yra išreiškiami naudojant lokaliųjų operatorių sumas. Pavyzdžiui, 2 kubitų \(U = U_1 \otimes U_2 + I\otimes U_1\): \[\begin{equation} U|\chi\rangle = U_1 |\phi_1 \rangle\otimes U_2 |\phi_2 \rangle + |\phi_1 \rangle\otimes U_1 |\phi_2 \rangle\,. \tag{3.23} \end{equation}\] Išplėstiniai operatoriai gali perteikti fizines sąveikas tarp atskirų kubitų ir yra svarbūs realizuojant universalius kvantinių loginių vartų rinkinius. Dėl sąveikų tarp kubitų gali atsirasti kvantinis supynimas, kuris aptariamas toliau.

3.2 Kvantinis supynimas

Klasikinėje fizikoje sistemą galima išsamiai aprašyti nusakant, kokioje būsenoje yra jos atskiros posistemės. Kvantinėje fizikoje galimos ir tokios būsenos, kuriose atskiros posistemės praranda individualią reikšmę ir sistema elgiasi efektyviai kaip vienas darinys. Tokios kvantinės sistemos yra supintosios, jų neįmanoma išsamiai apibūdinti sužinant, kokioje būsenoje yra atskiros posistemės.

Sudėtinės kubitų sistemos būseną galima klasifikuoti įvertinant, ar jos posistemės yra supintosios, ar vis tik galima aprašyti kiekvieną kubitą individualiai. Jeigu sudėtinės sistemos vektorių galima faktorizuoti į atskirus kubitus, pavyzdžiui, \(|\kappa\rangle = |\phi_1 \rangle\otimes|\phi_2 \rangle\), tokia sistema nėra supintoji. Kad tai parodytume formaliau, imkime du kubitus būsenose: \(|\phi_1 \rangle = e|0\rangle + f|1\rangle\) ir \(|\phi_2 \rangle = g|0\rangle + h|1\rangle\). Šių dviejų kubitų sudėtinė būsena yra nusakyta jų tenzorių sandauga: \[\begin{equation} \begin{aligned} |\phi_1 \phi_2 \rangle = & \big(e|0\rangle + f|1\rangle\big)\otimes \big(g|0\rangle + h|1\rangle\big) \\ = & eg|00\rangle + eh|01\rangle + fg|10\rangle + fh|11\rangle\,. \end{aligned} \tag{3.24} \end{equation}\] Tokia būsena leidžia interpretaciją, nusakančią, kad pirmas kubitas yra \(|\phi_1 \rangle\) būsenoje, o antras \(|\phi_2 \rangle\). Tai yra dviejų klasikinių bitų būsenos kvantinis atitikmuo. Tolesnę būseną taip pat galima faktorizuoti: \[\begin{equation} |\tau\rangle = a|00\rangle + b|10\rangle\,, \tag{3.25} \end{equation}\] nes \(|\phi_1 \phi_2 \rangle\) būsenoje galima rasti koeficientus \(h = 0\), \(a = eg\), \(b = fg\). Vienas supintosios būsenos pavyzdys būtų: \[\begin{equation} |\chi\rangle = a|00\rangle + b|11\rangle\,. \tag{3.26} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad neįmanoma rasti {\(e\), \(f\), \(g\), \(h\)} koeficientų \(|\phi_1 \phi_2 \rangle\) būsenoje, kuri leistų išreikšti \(|\chi\rangle\). Šios būsenos neįmanoma faktorizuoti, ir todėl individualių kubitų būsenos yra neapibrėžtos. Supintuosiuose kubituose dalis informacijos yra laikoma kvantinėse koreliacijose tarp kubitų. Kadangi šios informacijos fundamentaliai negalime priskirti nei vienam, nei kitam kubitui, sakoma, kad ji yra delokalizuota.

Kad iliustruotume koreliacijų vaidmenį, panagrinėkime sudėtinės 2 kubitų sistemos būsenų matavimus. Imkime viršuje minėtas dvi būsenas, faktorizuojamą \(|\tau\rangle\) ir supintą \(|\chi\rangle\). Atlikime pirmo kubito projekcinius matavimus naudodami \(P_0^1 = |0\rangle\langle 0|\otimes I\) ir \(P_1^1 = |1\rangle\langle 1|\otimes I\). Pradėdami nuo faktorizuojamos būsenos \(|\tau\rangle\), norime nusakyti, kokia yra tikimybė rasti pirmą kubitą \(|0\rangle\) būsenoje: \[\begin{equation} \langle\tau |P_0^1 |\tau\rangle = |a|^2\,. \tag{3.27} \end{equation}\] Bendra 2 kubitų būsena, vadinsime ją \(|\tau'\rangle\), po šio matavimo yra: \[\begin{equation} |\tau'\rangle = \frac{P_0^1 |\tau\rangle}{\sqrt{\langle\tau |P_0^1 |\tau\rangle}} = |0\rangle\otimes |0\rangle\,. \tag{3.28} \end{equation}\] Tą patį pakartokime nusakyti, kokia tikimybė rasti pirmą kubitą \(|1\rangle\) būsenoje, bei galutinę 2 kubitų būseną: \[\begin{align} \langle\tau |P_1^1 |\tau\rangle = & |b|^2 \tag{3.29} \\ |\tau'\rangle = & \frac{P_1^1 |\tau\rangle}{\sqrt{\langle\tau |P_1^1 |\tau\rangle}} = |1\rangle\otimes |0\rangle\,. \tag{3.30} \end{align}\] Akivaizdu, kad nepriklausomai nuo to, ar pirmas kubitas randamas \(|0\rangle\), ar \(|1\rangle\) būsenoje, tai nepaveikia antro kubito būsenos, kuri lieka visada \(|0\rangle\). Tačiau atlikę tuos pačius matavimus su supintąja kubitų būsena \(|\chi\rangle\) matome, kad radus pirmą kubitą \(|0\rangle\) būsenoje (\(|a|^2\) tikimybė), galutinė būsena yra \(|0\rangle\otimes |0\rangle\); tai parodo, kad antras kubitas yra užtikrintai \(|0\rangle\). O štai radus pirmą kubitą \(|1\rangle\) būsenoje (\(|b|^2\) tikimybė), galutinė būsena yra \(|1\rangle\otimes |1\rangle\), tad antras kubitas yra \(|1\rangle\) būsenoje. Nesvarbu, kurį kubitą matuosime pirmą, supintojoje būsenoje po atlikto \(P_0^1\) ar \(P_1^1\) matavimo antrojo kubito būsena tampa tiksliai žinoma.

Be viršuje pateikto 2 kubitų bazinių vektorių skaičiuojamojo rinkinio, Belo 2 kubitų bazinių vektorių rinkinys (angl. Bell basis) yra taip pat dažnai aptinkamas. Visos būsenos jame yra supintosios ir tarpusavyje ortogonalios: \[\begin{align} |\chi^{+}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\,,\quad |\chi^{-}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle - |11\rangle\big)\,; \tag{3.31}\\ |\eta^{+}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle + |10\rangle\big)\,,\quad |\eta^{-}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle - |10\rangle\big)\,.\tag{3.32} \end{align}\] Įsivaizduokime situaciją, kurioje Evelina paruošia vieną iš keturių Belo būsenų ir nusiunčia vieną kubitą Agnei, o kitą Benui, neatskleisdama, kokia tai Belo būsena. Ar Agnė ir Benas, turėdami galimybę atlikti matavimus su savo individualiais kubitais, gali pasakyti, kokia tai Belo būsena? Sakykime, kad Agnė ir Benas abu atlieka matavimus su kubitais ir perduoda vienas kitam savo rezultatus, rasdami \(|00\rangle\) būseną. Tad jie gali spėti, kad tai buvo \(|\chi^{+}\rangle\) arba \(|\chi^{-}\rangle\), tačiau kuri iš šių dviejų – žinoti tiksliai neįmanoma. Šis neapribrėžtumas atspindi faktą, kad supintojoje kubitų būsenoje dalis informacijos yra laikoma kvantinėse koreliacijose, kurios vien lokaliais atskirų sistemų matavimais pasiekti neįmanoma.

Belo baziniai vektoriai yra visi supintieji – tai akivaizdu iš jų būsenos išraiškų. Vis dėlto įvertinti, ar pateikta išraiška nusako supintus kubitus, ne visada paprasta net ir 2 kubitų būsenose. Kaip pavyzdį imkime šią būseną: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{2}\big(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle - |11\rangle\big)\,. \tag{3.33} \end{equation}\] Ją galimą pergrupuoti taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{2}\Big\lbrack\big(|0\rangle + |1\rangle)\otimes |0\rangle + \big(|0\rangle - |1\rangle\big)\otimes |1\rangle\Big\rbrack\,. \tag{3.34} \end{equation}\] Matome, kad atlikę antro kubito matavimą, rasime \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) su lygiomis \(p = 0.5\) tikimybėmis. Tačiau pirmo kubito būsena lieka superpozicijoje \(1/\sqrt{2}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\), jeigu antro būsena randama \(|0\rangle\), arba \(1/\sqrt{2}\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\), jeigu antro kubito būsena \(|1\rangle\). Kitaip nei Belo būsenose, šiuo atveju pirmas 2 kubitų būsenos \(|\psi\rangle\) matavimas neleidžia tiksliai sužinoti, kokia bus rasta kito kubito būsena (vektorių {\(|0\rangle\), \(|1\rangle\)} bazėje). Būsena \(|\psi\rangle\) vis dėlto yra supintoji, ją gavome atlikę \(|\chi^{+}\rangle\) lokalią unitariąją pirmo kubito transformaciją (Hadamardo transformaciją), kuri pakeičia {\(|0\rangle\), \(|1\rangle\)} Pauli-\(Z\) bazinius vektorius į Pauli-\(X\) bazinius {\(|0_x \rangle\), \(|1_x \rangle\)}. Šie yra išreikšti \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijomis. Sakome, kad \(|\psi\rangle\) ir \(|\chi^{+}\rangle\) yra lokaliai unitariškai ekvivalenčios (angl. local unitary equivalence). Svarbu atsiminti, kad lokalios unitariosios transformacijos negali nei panaikinti, nei įvesti kvantinio supynimo tarp kubitų. Kvantinis supynimas išlieka sistemoje, nebent ji yra veikiama nelokalios unitariosios transformacijos arba atliekamas lokalus projekcinis matavimas.

Nusakyti, ar pateikta kvantinė 2 kubitų būsena yra supintoji, galima taikant minėtą tenzorinę faktorizaciją bei vadinamąją Šmito dekompoziciją (angl. Schmidt decomposition). Tačiau, kitaip nei 2 kubituose, \(n\) kubitų registre (\(n > 2\)) galimos ir tokios būsenos, kuriose tik dalis kubitų yra tarpusavyje supinti. Vis dar nėra standartinio būdo, kaip tiksliai klasifikuoti supynimą didesnėse kvantinėse sistemose.

3.3 Tankio operatorius

Praktikoje kvantinių sistemų pakartotinis būsenų paruošimas gali būti ne itin tikslus dėl įrangos netikslumų ar klasikinių atsitiktinių procesų. Pavyzdžiui, termioninėje elektronų emisijoje (angl. thermionic electron emission) volframo metalas yra pakaitinamas iki itin didelės temperatūros, kuri suteikia elektronams pakankamai kinetinės energijos, kad šie galėtų pasprukti iš medžiagos. Tačiau neįmanoma iš anksto tiksliai nuspėti kiekvieno pasprukusio elektrono galutinę kinetinę energiją, galime nusakyti tik jų statistinį pasiskirstymą. Šiuo atveju, mūsų informacija apie elektronų energijos būseną yra neišsami; galime tik pasakyti, kad su klasikine tikimybe \(p_i\) (realusis skaičius, \(0 \leq p_i \leq 1)\) elektronas \(i\) bus rastas būsenoje \(|\psi_i \rangle\).

Jeigu užtikrintai žinoma, kad kvantinė sistema yra tam tikroje būsenoje \(|\psi_k \rangle\), tokia būsena vadinama grynąja (angl. pure state). Remiantis klasikinėmis tikimybėmis, tai reiškia \(p_{i = k} = 1\) ir \(p_{i \neq k} = 0\). Visas galimų sistemos būsenų (nebūtinai ortogonaliųjų) rinkinys su atitinkamomis tikimybėmis rasti tam tikrą būseną, \(\{ p_i, |\psi_i \rangle\}\), yra vadinamas grynųjų būsenų ansambliu (angl. ensemble of pure states). Reikalaujame, kad susumavus visas tikimybes \(p_i\) jos susidėtų į vienetą, \(\sum_i p_i = 1\). Žinant grynąsias būsenas \(|\psi_i \rangle\) ir klasikines tikimybes \(p_i\), kurias nustato atitinkamas eksperimentinis paruošimo metodas, vėl galima apskaičiuoti pavienių kvantinių sistemų būsenų matavimo tikimybes.

Pavyzdžiui, jeigu norėtume atlikti selektyvų kinetinės energijos matavimą termioninių elektronų ansambliui \(\{ p_i , |\psi_i \rangle\}\), tikimybė \(p(E_k)\), kad rasime elektroną su energija \(E_k\), yra: \[\begin{equation} p(E_k) = \sum_i p_i \langle \psi_i |P_k |\psi_i \rangle = \sum_i p_i p_i (E_k)\,. \tag{3.35} \end{equation}\] Čia \(P_k\) atlieka projekciją į būsenų su energija \(E_k\) poerdvį, o \(\langle\psi_i |P_k |\psi_i \rangle = p_i (E_k)\) nusako tikimybę, kad atlikus grynosios būsenos \(|\psi_i \rangle\) energijos matavimą bus rasta energija \(E_k\). Išraiškoje matome dvi tikimybes – klasikinę tikimybę \(p_i\) bei grynai kvantinio pobūdžio tikimybę \(p_i (E_k)\), kuri atsiranda dėl būsenos matavimo proceso. Kvantinei tikimybei negalime priskirti informacijos trūkumo interpretacijos, šis procesas yra fundamentaliai nenuspėjamas.

Termioninių elektronų emisija yra vienas iš galimų kvantinių sistemos būsenų paruošimo būdų. Kadangi, kaip ir grynųjų būsenų atveju, galime tiksliai apibūdinti pavienių ansamblio kvantinių sistemų matavimo rezultatus, taip paruoštos kvantinės sistemos būseną formaliai vadiname statistiniu grynųjų būsenų mišiniu (angl. mixed state). Būsenų mišinio neįmanoma apibūdinti vektoriumi ar vidutiniu vektoriumi Hilberto erdvėje. Norint pilnai aprašyti tokią kvantinę sistemą – apimti klasikines tikimybes bei kvantines amplitudes būsenų mišinyje, formaliai yra pasitelkiamas tankio operatorius (angl. density operator), arba jo realizacija tiesinėje algebroje – tankio matrica (angl. density matrix). Visi kvantinės mechanikos postulatai gali būti paprastai performuluojami taikant tankio operatorius vietoj grynąsias būsenas nusakančių vektorių. Tai yra bendriausio pobūdžio kvantinės mechanikos formalizmas. Kadangi apibūdindami kvantinės kompiuterijos ir ryšių principus šioje knygoje daugiausia naudosime grynąsias būsenas, čia pateikiame tik pagrindines tankio operatorių savybes.

Tankio operatorius, \(\rho\), nusakantis bendriausią kvantinės sistemos būseną, turi šią matematinę išraišką: \[\begin{equation} \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle\langle\psi_i|\,. \tag{3.36} \end{equation}\] Čia \(|\psi_i \rangle\langle\psi_i |\) yra projekcinis operatorius į normuotojo \(|\psi_i \rangle\) vektoriaus dengiamą poerdvį, šalia prišlietos klasikinės tikimybės \(p_i\) susideda \(\sum_i p_i = 1\). Grynosios būsenos irgi aprašomos tankio operatoriumi, šiuo atveju \(p_i = 1\) tam tikram \(|\psi_i \rangle\) ir todėl: \[\begin{equation} \rho = |\psi_i \rangle\langle\psi_i|\,. \tag{3.37} \end{equation}\] Pavyzdžiui, kubito, esančio grynojoje superpozicijos būsenoje \(|\psi\rangle = \big(|0\rangle + |1\rangle\big)/\sqrt{2}\), tankio operatorius ir jo realizacija matrica, naudojant \(\{|0\rangle , |1\rangle\}\) bazinius vektorius, yra: \[\begin{equation} \rho = |\psi\rangle\langle \psi| = \frac{1}{2}\big(|0\rangle\langle 0| + |0\rangle\langle 1| + |1\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|\big) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{pmatrix}\,. \tag{3.38} \end{equation}\] O štai kubito būsenų mišinio, kuriame yra lygios klasikinės tikimybės rasti \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\), tankio operatorius yra: \[\begin{equation} \rho = \frac{1}{2}|0\rangle\langle 0| + \frac{1}{2}|1\rangle\langle 1| = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{2}I\,. \tag{3.39} \end{equation}\] Tankio operatorius \(\rho = \frac{1}{2}I\) nusako maksimaliai sumaišytą būseną (angl. maximally mixed state). Kitaip tariant, turima informacija apie tokią sistemos būseną yra mažiausia, kokia tik gali būti.

Tankio operatorius \(\rho\) yra ermitinis operatorius (\(\rho = \rho^{\dagger}\)), nes \(p_i\) yra realieji skaičiai. Taip pat, \(\rho\) yra neneigiamasis operatorius \(\rho \geq 0\), nes panaudojus bet kokį vektorių \(|\varphi\rangle\) Hilberto erdvėje, \(\langle\varphi |\rho |\varphi\rangle \geq 0\): \[\begin{equation} \langle\varphi |\rho |\varphi\rangle = \langle\varphi| \left(\sum_i p_i |\psi_i \rangle\langle \psi_i|\right)|\varphi\rangle = \sum_i p_i \big|\langle\varphi |\psi_i \rangle\big|^{2} \geq 0\,. \tag{3.40} \end{equation}\] Kadangi \(|\psi\rangle\) visada galime išreikšti pasirinktais baziniais vektoriais, \(|\psi\rangle = \sum_k a_k |k\rangle\), nėra unikalaus būdo perteikti tankio matricai. Viršuje nurodytą grynąją būseną galėtume perteikti pasitelkdami patį \(|\psi\rangle\) kaip vieną iš bazinių vektorių rinkinyje: {\(|\psi\rangle = |0_x \rangle = \big(|0\rangle + |1\rangle\big)/\sqrt{2}\), \(|1_x \rangle = \big(|0\rangle - |1\rangle\big)/\sqrt{2}\)}. Šiuo atveju, tankio matrica turėtų išraišką: \[\begin{equation} \rho = |\psi\rangle\langle\psi| = |0_x \rangle\langle 0_x| = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\,. \tag{3.41} \end{equation}\] Iš tiesų, kadangi \(\rho\) yra ermitinis operatorius, galima visada \(\rho\) išreikšti diagonaliąja matrica. Vis dėlto yra keletas būdų grynąsias būsenas matematiškai atskirti nuo mišriųjų. Vienas būdas – pasitelkiant matricos pėdsaką. Tankio matricos pėdsakas yra: \[\begin{equation} \mathrm{Tr}(\rho) = \sum_i p_i \mathrm{Tr}\big(|\psi_i \rangle\langle \psi_i|\big) = \sum_i p_i = 1\,. \tag{3.42} \end{equation}\] O štai tankio matricos kvadrato pėdsakas: \[\begin{equation} \mathrm{Tr}(\rho^2 ) = \sum_{i,j} p_i p_j \mathrm{Tr}\big(|\psi_i \rangle \langle\psi_i |\psi_j \rangle\langle\psi_j |\big) = \sum_i p_i^2 \leq 1\,. \tag{3.43} \end{equation}\] Viršuje panaudojome \(\langle\psi_i|\psi_j \rangle = \delta_{ij}\) bei \(0 \leq p_i \leq 1\). Lygybė tenkinama, jeigu \(p_i = 1\) su tam tikru \(i\) ir lygi nuliui su visais kitais. Todėl grynosios būsenos tenkina sąlygą: \(\mathrm{Tr}(\rho^2 ) = \mathrm{Tr}(\rho) = 1\), na o mišriosios – sąlygą: \(\mathrm{Tr}(\rho) = 1\) ir \(\mathrm{Tr}(\rho^2 ) < 1\). Toks būdas atskirti mišriąsias ir grynąsias būsenas yra paprastas, nes matricos pėdsakas nepriklauso nuo bazinių vektorių, kuriais išreiškiama matrica.

Diagonaliojoje reprezentacijoje grynosios būsenos visada turi tik vieną matricos elementą, o štai mišrioji – daugiau negu vieną. Dėl to dažnai sakoma, kad diagonalieji tankio matricos elementai įvardija statistinę būsenų populiaciją. Nediagonalieji elementai (angl. off-diagonal) suteikia informacijos apie koherencijos buvimą, nes jie yra kvantinių būsenų amplitudžių sandaugos, \(a_k a_l^{*}\). Tai matėme anksčiau perteikdami superpozicijos būsenos \(|\psi\rangle = \big(|0\rangle + |1\rangle\big)/\sqrt{2}\) tankio matricą. Dekoherencijos procesas yra sietinas su nediagonaliųjų tankio matricos elementų sunykimu ir artėjimu prie maksimaliai sumaišytos būsenos.

Toliau panagrinėsime, kaip formaliai apskaičiuoti kvantinės sistemos, apibūdintos tankio operatoriumi \(\rho\), selektyvaus matavimo tikimybes. Grįžkime prie anksčiau pateikto selektyvaus matavimo termioninių elektronų ansambliui \(\{p_{i}, |\psi_i \rangle\}\), nusakytam mišria būsena \(\rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle\langle\psi_i|\). Įterpdami vienetinį operatorių \(I = \sum_j |j\rangle\langle j|\) tarp \(\langle\psi_i|\) ir \(P_k\) randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} p(E_k) = & \sum_i p_i \langle\psi_i |P_k |\psi_i\rangle = \sum_{i,j} p_i \langle j|P_k |\psi_i \rangle\langle\psi_i|j\rangle = \sum_j \langle j|P_k \rho |j\rangle \\ = & \mathrm{Tr}(P_k \rho)\,. \end{aligned} \tag{3.44} \end{equation}\] Tad tikimybė \(p(E_k)\) randama atlikus projekcinės ir tankio matricų sandaugos pėdsaką. Įterpę \(I\) tarp \(P_k\) ir \(|\psi_i \rangle\) matytume, kad \(\mathrm{Tr}(P_k \rho) = \mathrm{Tr}(\rho P_k )\); tai dar kartą parodo matricų pėdsako cikliškumo savybę. Selektyvus matavimas, pavyzdžiui, norint nusakyti tikimybę \(p(1)\) rasti kubitą \(|0\rangle\) būsenoje, gali būti atliktas pasitelkiant \(P_1 = |0\rangle\langle 0|\) projekcinį operatorių: \[\begin{equation} \begin{aligned} p(1) = & \mathrm{Tr}(\rho P_1 ) = \mathrm{Tr}\left( \sum_i p_i |\psi_i \rangle\langle\psi_i |P_1 \right) = \sum_i p_i \big|\langle 0 |\psi_i \rangle\big|^2 \\ = & \sum_i p_i |a_{i,0}|^2\,. \end{aligned} \tag{3.45} \end{equation}\] Selektyvus būsenų mišinio matavimas, jeigu nėra būsenų išsigimimo, sukuria galutinę grynąją būseną. Tai išplaukia iš trečiojo kvantinės mechanikos postulato ir yra vienas būdas, kaip paruošti grynąsias būsenas. O štai neselektyvus P operatoriaus matavimas būsenų mišiniui apskaičiuojamas iš \(\langle P\rangle = \mathrm{Tr}(\rho P)\) ir bendrai sukuria kitą būsenų mišinį.

Kvantinių sistemų, aprašytų tankio operatoriumi, evoliucija laike nuo \(t_0\) iki \(t_1\) nusakoma unitariniu operatoriumi \(U(t_0 ,t_1)\) taip: \[\begin{equation} \rho (t_1 ) = U(t_0 ,t_1)\rho (t_0 )U^{\dagger}(t_0 ,t_1 ) = \sum_i p_i U(t_0 ,t_1 )|\psi_i (t_0) \rangle\langle \psi_i (t_0 )| U^{\dagger}(t_0 ,t_1 )\,. \tag{3.46} \end{equation}\] Norint apibūdinti loginių vartų \(U\) efektą pradinei būsenai, apibūdintai tankio matrica \(\rho\), glaustai rašome: \[\begin{equation} \rho' = U\rho U^{\dagger}\,. \tag{3.47} \end{equation}\] II(b) postulatas, nusakantis sistemos evoliuciją Šriodingerio lygtimi, yra paprastai performuluojamas taikant fon Noimano–Luivilio (angl. von Neumann–Liouville) lygtį: \[\begin{equation} \mathrm{i}\hbar\frac{d\rho(t)}{dt} = \lbrack H,\rho(t) \rbrack\,. \tag{3.48} \end{equation}\] Lygtyje \(H\) nusako sistemos hamiltonianą, skliausteliai indikuoja \(H\) ir \(\rho\) komutatorių.

Sudėtinę kvantinę sistemą, kurios būsena yra faktorizuojama, galima išreikšti tenzorine tankio operatorių sandauga, \(\rho = \rho_1\otimes\rho_2\otimes\rho_3\otimes\cdots\); čia \(\rho_i\) nusako posistemės \(i\) būseną. Jeigu tankio matricos išreikšti tenzorine posistemių sandauga neįmanoma, \(\rho \neq \rho_1\otimes\rho_2\), tokia sistema yra supintoji. Imkime kaip pavyzdį 2 kubitų supintą grynąją būseną \(|\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\). Jos tankio operatorius ir matrica, vektorių {\(|0\rangle\), \(|1\rangle\)} bazėje yra: \[\begin{equation} \begin{aligned} \rho = & |\chi^{+}\rangle\langle\chi^{+}| = \frac{1}{2}\big(|00\rangle\langle 00| + |00\rangle\langle 11| + |11\rangle\langle 00| + |11\rangle\langle 11|\big) \\ = & \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\,. \end{aligned} \tag{3.49} \end{equation}\] Tankio operatorių formalizmas suteikia būdą aprašyti posistemės būseną nepriklausomai nuo to, ar sudėtinė sistema yra supinta, ar faktorizuojama. Tam pasitelkiamas dalinis matricų pėdsakas (angl. partial trace), kuriame atliekamas pėdsakas tik vienai iš pasirinktų posistemių. Imkime, kad \(\rho_{AB}\) nusako dviejų sistemų \(A\) ir \(B\) tankio matricą, tada: \[\begin{equation} \mathrm{Tr}_A (\rho_{AB}) = \rho_{B}\,,\quad \mathrm{Tr}_B (\rho_{AB}) = \rho_{A}\,. \tag{3.50} \end{equation}\] Gautas darinys \(\rho_A\) arba \(\rho_B\) yra vadinamas redukuota tankio matrica (angl. reduced density matrix) ir nusako atitinkamos posistemės būseną. Formaliai tariant, dalinis pėdsakas yra operatorius, veikiantis tik vieną posistemę. Pavyzdžiui, jeigu \(\rho_{AB} = |a_1 \rangle\langle a_2|\otimes |b_1\rangle\langle b_2|\), tada: \[\begin{equation} \mathrm{Tr}_A(\rho_{AB}) = \sum_j \big(\langle j|\otimes I\big)\rho_{AB} \big(|j\rangle\otimes I\big) = \mathrm{Tr}\big(|a_1 \rangle\langle a_2|\big) |b_1 \rangle\langle b_2|\,. \tag{3.51} \end{equation}\] Kaip ir tikėtasi, faktorizuojama būsenos \(\rho_{AB}\) redukuota tankio matrica yra \(|b_1\rangle\langle b_2|\) (iki globalios konstantos). Grįžtant prie supintosios 2 kubitų grynosios būsenos \(\rho = |\chi^{+}\rangle\langle\chi^{+}|\), įdomu įvertinti jos redukuotą tankio matricą \(\rho_{1}\) arba \(\rho_{2}\). Atlikdami dalinį pėdsaką pirmąjam kubitui randame: \[\begin{equation} \rho_2 = \mathrm{Tr}_1(\rho) = \sum_{j = 0,1} \big(\langle j|\otimes I\big)\rho\big(|j\rangle\otimes I\big) = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{2}I\,. \tag{3.52} \end{equation}\] Matome, kad redukuota tankio matrica apibūdina maksimaliai sumaišytą būseną, nepaisant to, kad sudėtinės sistemos \(\rho\) būsena yra grynoji (žinoma užtikrintai). Tai – dar vienas supintųjų kvantinių būsenų skiriamasis ženklas.

3.4 EPR paradoksas

Į kvantinių koreliacijų įtaką supintųjų būsenų matavimui atkreipė dėmesį ir A. Einšteinas, su kolegomis 1935 metais publikavęs žinomą darbą, dabar vadinamą EPR paradoksu (angl. Einstein-Podolsky-Rosen paradox). Čia pateikiame jų įsivaizduojamo eksperimento versiją, pasiūlytą Davido Bohmo ir naudojančią dviejų lygių kvantinę sistemą (kubitus). Įsivaizduokime, kad yra paruošiama supintoji 2 kubitų būsena, pavyzdžiui, ši: \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\,. \tag{3.53} \end{equation}\] Pirmas fizinis kubitas paliekamas Žemėje, o antras nusiunčiamas į tolimą planetą pavadinimu \(W\). Nors šių supintųjų kubitų būsena yra grynoji ir tiksliai žinoma, tačiau pavienių kubitų būsenos neapibrėžtos. Atlikus matavimą yra lygios tikimybės rasti pirmą kubitą \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenoje. Tačiau pamatavus pirmą kubitą Žemėje ir radus, pavyzdžiui, \(|1\rangle\) būseną, antro kubito būsena planetoje \(W\) bus taip pat užtikrintai rasta \(|1\rangle\), (\(|\chi^{+}\rangle \rightarrow |11\rangle\)). Einšteinas su kolegomis čia įžvelgė potencialų prieštaravimą reliatyvumo teorijai, kadangi vienos sistemos būsenos matavimas akimirksniu paveikia kitos sistemos būseną, nepaisant atstumo tarp jų. Kvantinė mechanika, EPR kompanijos požiūriu, negali būti išsami teorija, apibūdinanti gamtą. Nors jų argumentai neįtikino fizikų bendruomenės, tačiau tai buvo svarbus darbas, atkreipiantis dėmesį į kvantinės mechanikos įvariuose kontekstuose pasikartojančias keistąsias savybes.

Norėdami iliustruoti EPR paradoksui artimą gyvenimišką pavyzdį imkime, kad Benas turi dvi identiškas dėžutes ir vienoje iš jų paslepia raudoną kamuolį, o kitoje – mėlyną. Agnė ir Benas žino, kad dėžutėse yra dviejų skirtingų spalvų kamuoliai, tačiau tik Benas žino, kuriose jie paslėpti. Agnės požiūriu, tikimybė atidarius pasirinktą dėžutę rasti vieną ar kitą kamuolį yra \(p=0.5\). Tačiau atidariusi vieną dėžutę ji automatiškai žinos, kokios spalvos kamuolys yra kitoje. Šiuo atveju Agnės nežinojimas apie išankstinį Beno kamuolių išdėstymą jai suteikė koreliacijos pagrindą, panašų į atsirandantį dėl kubitų supynimo.

Sekant šį klasikinį pavyzdį vienas argumentas paaiškinti EPR paradoksą būtų agituojant, kad kubitai kažkaip susimokė nuo pat pradžių ir jų būsena vis dėlto buvo \(|00\rangle\) arba \(|11\rangle\), tačiau mes šios informacijos neturėjome. Norėdami patikrinti tokį argumentą, galime žvelgti į EPR paradoksą kitu būdu. Kaip pamename, kvantinę būseną visada galima išreikšti bet kuriais kitais pageidaujamais baziniais vektoriais. Vietoj Pauli-\(Z\), imkime Pauli-\(X\) bazinius vektorius \(\{|0_x\rangle , |1_x\rangle\}\). Perteikę jais \(|\chi^{+}\rangle\) randame: \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0_x \rangle\otimes |0_x\rangle + |1_x \rangle\otimes|1_x \rangle\big)\,. \tag{3.54} \end{equation}\] Šiuo atveju, \(|\chi^{+}\rangle\) turi identišką formą, kaip ir naudojant Pauli-\(Z\) bazinius vektorius. Taip pat galime pasirinkti skirtingą matavimo būdą. Pirmam kubitui būsenoje \(|\chi^{+}\rangle\) galime atlikti ne standartinius Pauli-\(Z\) operatoriaus matavimus: \(P_0^1 = |0\rangle\langle 0|\otimes I\) ir \(P_1^1 = |1\rangle\langle 1|\otimes I\), bet pasirinkti Pauli-\(X\): \(P_{0x}^1 = |0_x \rangle\langle 0_x|\otimes I\) ir \(P_{1x}^1 = |1_x \rangle\langle 1_x|\otimes I\). Fiziškai tai galėtų reikšti, kad fotono poliarizacijos būseną matuojame ne išilgai su horizontaliąja–vertikaliąja poliarizacijos ašimis, tačiau pasukę šias abi matavimo kryptis \(45^{\circ}\) kampu (įstrižoji poliarizacija). Vėlgi matome, kad atlikus \(P_{0x}^1\) ir \(P_{1x}^1\) būsenai \(|\chi^{+}\rangle\) yra lygios tikimybės rasti pirmą kubitą \(|0_x \rangle\) arba \(|1_x \rangle\) būsenoje. Galutinės dviejų kubitų būsenos po tokio matavimo tampa: \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle \rightarrow \frac{P_{0x}^1|\chi^{+}\rangle}{\sqrt{ \langle\chi^{+}|P_{0x}^1 |\chi^{+}\rangle}} = |0_x \rangle\otimes |0_x \rangle\,, \tag{3.55} \end{equation}\] arba: \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle \rightarrow \frac{P_{1x}^1|\chi^{+}\rangle}{\sqrt{ \langle\chi^{+}|P_{1x}^1 |\chi^{+}\rangle}} = |1_{x} \rangle\otimes|1_x \rangle\,. \tag{3.56} \end{equation}\] Tai, kokį matavimo būdą pasirinksime pirmam kubitui Žemėje, nulems, kokia bus antro kubito būsena planetoje \(W\). Jeigu renkamės Pauli-\(Z\) operatoriaus matavimus, tada antro kubito būsenos galimi variantai bus \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\), o jeigu renkamės Pauli-\(X\), jie bus \(|0_x \rangle\) arba \(|1_x \rangle\). Tačiau kubitas negali būti apibrėžtoje Pauli-\(X\) ir Pauli-\(Z\) bazinių vektorių būsenoje vienu metu, nes šie operatoriai yra nekomutatyvūs ir todėl neturi bendrų bazinių vektorių. Tad, jeigu kubitai buvo \(|00\rangle\) arba \(|11\rangle\) būsenoje nuo pat pradžių (bet mes to nežinojome), pirmo kubito matavimo būdo pasirinkimas negali turėti įtakos antram kubitui. Antraip matavimo krypties pasirinkimas turėtų būti komunikuojamas akimirksniu, greičiau už šviesos greitį.

EPR paradoksas jau buvo patvirtintas ne kartą eksperimentuose naudojant supintąsias fotonų būsenas. Atstumai tarp dviejų lokacijų, kuriose susinchronizuotai tuo pačiu metu buvo matuojamos supintųjų fotonų būsenos, buvo tokie, kad šviesai neužtektų laiko komunikuoti matavimo rezultatus, kažkaip juos paveikiant. Pagal kvantinės mechanikos standartinę (ortodoksinę) interpretaciją, neįmanoma žinoti, kuris kvantinis „kamuolys” yra kurioje dėžutėje. Būsena \(|\chi^{+}\rangle\) nusako, kad jie yra abiejuose dėžutėse vienu metu. Tad pagal standartinę interpretaciją, EPR paradoksas neprieštarauja reliatyvumo teorijai, nes neįmanoma nuspėti, kokie bus pirmo kubito individualių matavimų rezultatai, žinomos tik tikimybės rasti \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\). Nusiųsti informaciją, užkoduotą kubitų būsenose, greičiau už šviesos greitį į planetą \(W\) neįmanoma, nes tiesiog negalime suformuluoti žinutės – jos turinys bus atsitiktinis. Tik patikrinę Žemėje ir planetoje \(W\) atliktų rezultatų statistiką matysime koreliaciją tarp matavimo rezultatų. Na, o norint palyginti rezultatus, tektų komunikuoti šviesos greičiu arba lėčiau, jeigu keliautume į planetą \(W\).