2 skyrius. Matematinių įrankių rinkinys

2.1 Tiesinė algebra

Tiesinė algebra yra kvantinės kompiuterijos matematinė kalba. Šiame skyriuje pateikiame jos pagrindinius konceptus bei kitus matematinius įrankius, kurių naudojimą bus galima aptikti įvairiose knygos vietose. Tai jokiu būdu nėra pilnutinis tiesinės algebros išdėstymas – išsamesnį pristatymą, esant poreikiui, galima rasti matematikos ir fizikos sričių literatūros šaltiniuose, kurių dalis yra pateikta knygos pabaigoje.

Pagrindiniai objektai tiesinėje algebroje yra vektorių erdvės, kurių elementai – vektoriai. Kvantinėje kompiuterijoje aptinkamos vien baigtinio dimensijų skaičiaus vektorių erdvės. Taip yra todėl, kad naudojamas baigtinis \(n\) skaičius kubitų, pavienių kubitų būsena yra nusakoma vektoriumi 2 dimensijų vektorių erdvėje, o jų bendra būsena \(2^n\) dimensijose. Baigtinio dimensijų skaičiaus sistemas yra lengviau analizuoti – išvengiama matematinių komplikacijų, dažnai sutinkamų kitose kvantinėse sistemose su begaliniu dimensijų skaičiumi ir reikalaujančių papildomo žinių bagažo. Tad, šiuo požiūriu, koncentruojantis vien į baigtinio dimensijų skaičiaus sistemas galima žymiai greičiau įsisavinti esminius konceptus.

Vektoriai yra aptinkami įvairiausiose srityse ir dažnai apibūdinami kaip rodyklytės erdvėje, turinčios tam tikrą ilgį bei orientaciją. Kvantinėje kompiuterijoje tik specifinėse situacijose tokia vektorių vaizdinė reprezentacija yra įmanoma, pavyzdžiui, perteikiant vieno kubito būseną vektoriumi Blocho sferoje. Panašios vizualizacijos, be abejo, yra naudingos įgauti pradinę intuiciją apie vektorius ir jų transformacijas. Vis dėlto yra tikslingiau galvoti apie vektorius tiesiog kaip apie abstrakčius objektus, turinčius nurodytas savybes. Jos nusako, kaip galima sudėti vektorius ir sudauginti juos su skaičiais. Vektorių vizualizacijos keblumas kvantinėje kompiuterijoje atsiranda dėl to, kad šie vektoriai yra apibrėžti kompleksinėje vektorių erdvėje (angl. complex vector space), o ne įprastinėje realiųjų skaičių Euklido erdvėje (angl. Euclidean vector space). Be to, kvantinės būsenos yra formaliai nusakomos spinduliais (angl. rays), nors ir įprasta sakyti, kad vektoriais. Spindulys yra grupė vektorių, kurie skiriasi tarp savęs tik globalia faze (čia reikia atskirti nuo santykinės fazės). Pavyzdžiui, kvantinė būsena, nusakyta \(|v\rangle\) arba \(- |v\rangle\) vektoriais, yra fiziškai identiška, nors tai ir reikštų skirtingus euklidinius vektorius, orientuotus antiparaleliai.

Kvantinėje kompiuterijoje kompleksinių vektorių baigtinio dydžio \(d\) dimensijų erdvę žymėsime simboliu \(V^d\). Viršuje užrašome erdvės dimensiją \(d\) (natūralusis teigiamasis skaičius), jeigu yra poreikis specifinėje situacijoje ją įvardyti. Vektorių erdvės elementai yra vektoriai, kuriuos visada galime išreikšti sugrupuotų kompleksinių skaičių stulpeliu: \[\begin{equation} |v\rangle = \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.1} \end{equation}\] Skliausteliai, turintys formą \(|\ldots \rangle\) yra naudojami įvardyti kad šis objektas yra vektorius stulpelis. Skaičius žymime indeksuotomis mažosiomis raidėmis \(z_i\). Norint glaustai parodyti, kad vektorius \(|v\rangle\) priklauso tam tikrai vektorių erdvei \(V\), rašome \(|v\rangle \in V\). Simbolis \(\in\) nusako, kad kairėje esantis objektas yra vienas iš dešinėje esančio objekto elementų.

Elementų \(z_i\) skaičius vektoriuje nusako vektorių erdvės dimensijų skaičių. Vektorius galima sudėti tik tuo atveju, jeigu jie priklauso tai pačiai vektorių erdvei. Apsistojant ties viena reprezentatyvia vektorių erdve \(V\), joje yra apibrėžtos vektorių sudėties operacijos, tenkinančios šias savybes: \[\begin{align} |v_1 \rangle + |v_2 \rangle = & |v_2 \rangle + |v_1 \rangle\,; \tag{2.2} \\ |v_1 \rangle + \big( |v_2\rangle + |v_3 \rangle \big) = & \big( |v_1 \rangle + |v_2 \rangle \big) + |v_3\rangle\,. \tag{2.3} \end{align}\] Tai bendrai parodo, kad eiliškumas vektorių sudėčiai nėra svarbus. Vektorių erdvėje taip pat egzistuoja nulinis vektorius, analogiškas nuliniam skaičiui. Kvantinėje kompiuterijoje \(|0 \rangle\) yra jau paskirtas kitkam, tad nusakyti nuliniam vektoriui vartojamas simbolis 0. Nulinio vektoriaus efektas apibūdinamas \(|v\rangle + 0 = |v \rangle\), iš to gauname \(|v\rangle - |v\rangle = 0\).

Kompleksinio skaičiaus \(z_i\) daugyba su vektoriais tenkina šias savybes: \[\begin{align} z\big( |v_1 \rangle + |v_2 \rangle \big) = & z |v_1\rangle + z |v_2\rangle\,; \tag{2.4} \\ ( z_1 + z_2 ) |v \rangle = & z_1 |v \rangle + z_2 |v \rangle\,; \tag{2.5} \\ ( z_1 z_2 ) |v \rangle = & z_1 \big(z_2 |v \rangle\big)\,. \tag{2.6} \end{align}\] Atkreipiame dėmesį, kad sandaugose praleidžiame daugybos simbolį, tad du vienas šalia kito raidėmis nusakyti skaičiai (ar skaičius su vektoriumi) reiškia, kad jie yra sudauginami. Skaičių daugybai nesvarbu eiliškumas \(z_1 z_2 = z_2 z_1\). Taip pat galima daugyba su nuliniu skaičiumi, deja, taip pat žymimu \(0\), \(0 |v \rangle = 0\). Tai yra visos elementariosios ir itin intuityvios aritmetinės operacijos. Šių aritmetinių operacijų metu gautas vektorius vėlgi priklauso tai pačiai vektorių erdvei. Kvantinėse sistemose yra apibrėžta vadinamoji dviejų vektorių vidinė sandauga, žymima \(\langle v |u \rangle\), kurios rezultatas yra skaičius. Prie vidinės sandaugos šiame skyriuje dar sugrįšime.

Toliau primename vektorių, išreikštų sugrupuotų skaičių stulpeliais, aritmetiką. Imant kaip pavyzdį trijų elementų vektorius, sudėtis nusakoma: \[\begin{equation} \begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} z_4 \\ z_5 \\ z_6 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} z_1 + z_4 \\ z_2 + z_5 \\ z_3 + z_6 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.7} \end{equation}\] Čia kiekvienas elementas \(z_i\) yra kompleksinis skaičius. Vektoriaus ir skaičiaus \(g\) sandauga: \[\begin{equation} g\begin{bmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} g z_1 \\ g z_2 \\ g z_3 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.8} \end{equation}\] Kiti du svarbūs konceptai yra vektorių erdvę dengiantis vektorių rinkinys (angl. spanning set) ir vektorių tiesinė nepriklausomybė (angl. linear independence). Vektorių erdvę \(V\) dengiantis rinkinys \(\big\{ |v_1\rangle , |v_2\rangle , |v_3 \rangle\ldots \big\}\) yra toks vektorių rinkinys, kurių tiesinėmis kombinacijomis galima išreikšti bet kokį vektorių \(|v\rangle\), esantį \(V\). Tai yra: \[\begin{equation} |v \rangle = \sum_i z_i |v_i\rangle\,. \tag{2.9} \end{equation}\] Tiesinė vektorių nepriklausomybė leidžia formaliai nusakyti vektorių erdvės dimensiją ir tuo pačiu rasti mažiausią skaičių vektorių, dengiančių vektorių erdvę \(V\). Vektoriai \(\big\{|v_1 \rangle , |v_2 \rangle ,\ldots , |v_n \rangle\big\}\) yra tiesiškai priklausomi, jeigu bent vienas vektorius šiame rinkinyje, sakysime \(|v_2 \rangle\), gali būti išreikštas likusių \(n-1\) vektorių tiesinėmis kombinacijomis: \[\begin{equation} z_1 |v_1\rangle + z_3 |v_2 \rangle + \cdots + z_n |v_n \rangle = |v_2\rangle\,. \tag{2.10} \end{equation}\] Tiesiškai nepriklausomų vektorių rinkinyje nė vieno iš jų neįmanoma išreikšti kitų likusiųjų suma. Formaliai, tiesiškai priklausomas vektorių rinkinys tenkina šią lygybę: \[\begin{equation} z_1 |v_1 \rangle + z_2 |v_2\rangle + \cdots + z_n |v_n \rangle = 0\,. \tag{2.11} \end{equation}\] Čia suma lygi nuliniam vektoriui ir joje egzistuoja skaičiai \(z_i\), kurie ne visi lygūs nuliui \(z_i \neq 0\). O štai tiesiškai nepriklausomame vektorių rinkinyje ši lygybė gali būti tenkinama tik tuo atveju, jeigu visi skaičiai \(z_i = 0\).

Galima parodyti, kad bet kurie du skirtingi tiesiškai nepriklausomi vektorių rinkiniai, dengiantys tą pačią vektorių erdvę \(V\), turi vienodą skaičių vektorių. Vektoriai, priklausantys tokiam rinkiniui, yra vadinami baziniais vektoriais (angl. basis vectors), o jų skaičius rinkinyje formaliai nusako vektorių erdvės V dimensiją. Pavyzdžiui, imkime 3 dimensijų erdvės bazinių vektorių rinkinį: \[\begin{equation} |v_1 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\quad |v_2\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\quad |v_3 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.12} \end{equation}\] Matome, kad bet kokį vektorių \(|v\rangle\) šioje erdvėje galime išreikšti jų suma: \[\begin{equation} |v\rangle = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.13} \end{equation}\] Taip pat akivaizdu, kad dviejų bazinių vektorių, pavyzdžiui \(|v_1 \rangle\) ir \(|v_3 \rangle\), nepakaktų išreikšti visus įmanomus vektorius šioje erdvėje. Keturi baziniai vektoriai 3 dimensijose būtų perteklius, kadangi vieną iš jų visada galime išreikšti kitų suma. Egzistuoja begalė skirtingų bazinių vektorių rinkinių. Pavyzdžiui, kitas rinkinys: \[\begin{equation} |v_1 \rangle = \begin{bmatrix} 2 \\ - 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\quad |v_2 \rangle = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \\ \end{bmatrix},\quad |v_3 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.14} \end{equation}\] Siekdami patikrinti šių vektorių tiesinę nepriklausomybę išspręstume trijų lygčių sistemą: \[\begin{equation} \begin{aligned} 2a + 2b + c =& 0\,, \\ -a + 5b + c =& 0\,,\\ 3b + c =& 0\,. \\ \end{aligned} \tag{2.15} \end{equation}\] Sistemą išsprendę rastume, kad vieninteliai skaičiai, tenkinantys lygybę, yra \(a = b = c = 0\). Vienas svarbus skirtumas tarp šio bazinio vektorių rinkinio ir parodyto anksčiau yra tai, kad ankstesniame rinkinyje visi vektoriai tarpusavyje sudaro stačiuosius kampus. Kompleksinėje vektorių erdvėje statmenumo konceptas yra vadinamas ortogonalumu (angl. orthogonality). Dviejų vektorių ortogonalumą, kaip matysime vėliau, galima nustatyti atlikus jų vidinę sandaugą, \(\langle v_m |v_n \rangle\). Jeigu du (nenuliniai) vektoriai yra ortogonalieji, jų vidinė sandauga visada bus skaičius, lygus nuliui.

Kvantinėje kompiuterijoje 2 dimensijų kompleksinių vektorių erdvės \(V^2\) nusako individualių kubitų būsenų erdvę. Bendra vieno kubito būsena yra vektorius: \[\begin{equation} |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\,. \tag{2.16} \end{equation}\] Čia \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) yra standartiškai naudojami baziniai vektoriai, dar vadinami skaičiuojamaisiais baziniais vektoriais. Išreiškus juos stulpeliniu vektoriumi: \[\begin{equation} |0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\quad |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.17} \end{equation}\] Galima lengvai patikrinti, kad šis dviejų vektorių rinkinys \(\big\{|0\rangle , |1\rangle\big\}\) yra tiesiškai nepriklausomas ir todėl jų kombinacijomis galima išreikšti bet kokį kitą vektorių \(|v\rangle\) šioje 2 dimensijų erdvėje keičiant koeficientus \(a\) ir \(b\): \[\begin{equation} |v\rangle = a\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.18} \end{equation}\] Kvantinėje mechanikoje koeficientai turi tenkinti lygybę \(|a|^2 + |b|^2 = 1\). Nors šis bazinių vektorių rinkinys kvantinėje kompiuterijoje naudojamas standartiškai, tačiau skirtingų bazinių rinkinių yra begalė. Kitas dažnai aptinkamas ortogonalus 1 kubito būsenas nusakantis rinkinys yra šis: \[\begin{equation} |0_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\quad |1_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.19} \end{equation}\] Palyginę su \(\big\{|0\rangle, |1\rangle\big\}\) matome, kad \(\big\{|0_x \rangle, |1_x \rangle\big\}\) rinkinyje bazinius vektorius galime išreikšti sudėję bei atėmę pirmųjų elementus, atitinkamai, naudojant koeficientus \(a = b = 1/\sqrt{2}\): \[\begin{equation} |0_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\,,\quad |1_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\,. \tag{2.20} \end{equation}\] Dviejų bazinių vektorių suma kvantinėje kompiuterijoje yra vadinama būsenų superpozicija. Tiesinės algebros požiūriu, tai tiesiog atspindi vieną galimą būdą išreikšti vektorių sąlygiškai su kitais dviem.

Užbaigdami šią dalį atitrūksime nuo kompleksinių skaičių ir kvantinių sistemų. Kompleksinių skaičių vartojimas komplikuoja vektorių, kaip matematinių objektų, iliustravimą. Siekiant susidaryti intuiciją yra palankiau sugrįžti prie realiosios Euklido vektorių erdvės, kurioje galima vektorius pavaizduoti rodyklyte. Euklido erdvėje vektorių daugyba yra galima tik su realiaisiais skaičiais. Realieji skaičiai yra vartojami nusakant kasdienius dydžius, tokius kaip atstumas, aukštis, valiutos kiekis sąskaitoje ir panašiai. Vektorius nusako dydį, bet dar pateikia ir informaciją apie kryptį. Paprastas pavyzdys būtų greičio vektorius, suteikiantis informaciją apie greitį bei judėjimo kryptį. Imkime kaip pavyzdį greitumo vektorių \(|g\rangle\), nusakantį greitį 2 dimensijose (plokštumoje): \[\begin{equation} |g \rangle = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.21} \end{equation}\] Galime žvelgti į šiuos du skaičius stulpelyje, kaip suteikiančius koordinates \((x, y)\). Naudojant statmeną \(x\)–\(y\) koordinačių sistemą, šis vektorius pavaizduotas 2.1 pav.

2.1 pav. Vektoriaus pavyzdys plokštumoje. Joje priskirta stačiakampė \(x\)–\(y\) kordinačių sistema; vienetiniai vektoriai pažymėti žalia spalva

Norėdami nubrėžti \(|g\rangle\) vektorių, einame 2 žingsnius \(x\) ašimi į dešinę ir 3 \(y\) ašimi į viršų. Šiuo atveju nėra svarbu, ar vektorius prasideda nuo 0, ar kitur, svarbu vektoriaus orientacija ir ilgis. Vektoriaus ilgis \(|g\rangle\) nusakys šiame pavyzdyje greitį, kurį rodytų spidometras. Taikydami Pitagoro teoremą randame \(|g\rangle\) ilgį \(\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\). Vektoriaus iliustracijoje matome \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle,\) pažymėtus rodyklytėmis, kurie atlieka, analogiškai su kubitais, bazinių vektorių vaidmenį. Jie yra statmeni (ortogonalieji) vienas kito atžvilgiu ir vienetinio ilgio. Vektorių \(|g\rangle\) išreiškiame jais taip: \[\begin{equation} |g\rangle = 2|0\rangle + 3|1\rangle = 2\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.22} \end{equation}\] Visi įmanomi vektoriai šioje plokštumoje gali būti sukonstruoti naudojant šiuos bazinius vektorius bei keičiant koeficientus \(a\) ir \(b\). Bazinių vektorių rinkinys, analogiškas minėtam kubitų rinkiniui \(\big\{ |0_x \rangle, |1_x \rangle\big\}\), šioje plokštumoje būtų gautas pasukus \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) kartu pagal laikrodžio rodyklę \(45^{\circ}\) laipsnių kampu išlaikant tarp jų statųjį kampą.

2.2 Kompleksiniai skaičiai

Šie skaičiai turi realiąją ir menamąją dalis ir yra bendrai išreiškiami \(z = a + b\mathrm{i}\). Čia \(a\) ir \(b\) yra realieji skaičiai, kompleksinio skaičiaus realioji (Re) ir menamoji (Im) dalys yra atitinkamai \(a\) ir \(b\). Tai dar gali būti rašoma \(\mathrm{Re}(z) = a\), \(\mathrm{Im}(z) = b\). Skaičių \(b\) dauginantis raide \(\mathrm{i}\) žymimas narys yra menamasis vienetas, turintis savybę: \[\begin{equation} \mathrm{i}^2 = -1\,. \tag{2.23} \end{equation}\] Tad į realųjį skaičių galime žiūrėti kaip į kompleksinį skaičių, kuriame menamoji dalis \(b = 0\). Atliekant dviejų kompleksinių skaičių arba kompleksinio ir realiojo skaičiaus sudėtis, realiosios ir menamosios dalys yra sudedamos tarpusavyje atskirai: \[\begin{equation} (a + b\mathrm{i}) + (c + d\mathrm{i}) = (a + c) + (b + d)\mathrm{i}\,. \tag{2.24} \end{equation}\] Taikydami menamojo vieneto savybę bei kompleksinių skaičių sudėtį, dviejų kompleksinių skaičių sandaugą randame: \[\begin{equation} (a + b\mathrm{i}) (c + d\mathrm{i}) = (ac - bd) + (ad + bc)\mathrm{i}\,. \tag{2.25} \end{equation}\] Atliekant skaičiavimus kvantinėje kompiuterijoje dažnai naudojamas vadinamasis kompleksinis skaičiaus jungimas, dar įvardijamas kaip konjugacija (angl. complex conjugation). Apačioje parodytas ryšys tarp kompleksinio skaičiaus \(z\) ir jo kompleksinės jungties, kuri yra žymima su žvaigždute \(z^{*}\): \[\begin{equation} z = a + b\mathrm{i} \rightarrow z^{*} = a - b\mathrm{i}\,. \tag{2.26} \end{equation}\] Kompleksinis jungimas apverčia menamosios dalies ženklą. Pavyzdžiui, kvantinės būsenos kompleksinės amplitudės \(z\) kvadratas yra apskaičiuojamas naudojant kompleksinę jungtį: \[\begin{equation} |z|^2 = z z^{*} = (a + b\mathrm{i}) (a - b\mathrm{i}) = a^2 + b^2\,. \tag{2.27} \end{equation}\] Čia \(|z|\) reiškia šio skaičiaus modulį ir matome, kad \(z z^{*}\) visada yra realusis skaičius. Kompleksinius skaičius galime išreikšti grafiškai plokštumoje, kurioje horizontalioji ir vertikalioji ašys nusako realiąją (Re) ir menamąją (Im) dalis, atitinkamai.

2.2 pav. Kompleksinio skaičiaus pavaizdavimas stačiakampėje Re–Im koordinačių sistemoje pateikiant koordinates \((a, b)\). Naudojant polines koordinates, pateikiamas spindulio ilgis ir kampas (\(|z|\), \(\theta\))

Viršuje parodyti du būdai išreikšti kompleksiniam skaičiui. Galime nusakyti kompleksinį skaičių \((a, b)\) koordinatėmis Re–Im koordinačių sistemoje arba išreikšti \(z\) polinėje koordinačių sistemoje. Nubrėžę spindulį nuo koordinačių centro iki \((a, b)\) taško, spindulys sudaro \(\theta\) kampą su Re ašimi. Kadangi spindulio ilgis yra \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\), koordinates \((a, b)\) galime išreikšti \(\big(a = |z|\cos(\theta), b = |z|\sin(\theta)\big)\). Tad polinėje koordinačių sistemoje nusakomi du parametrai, spindulio ilgis ir kampas (\(|z|\), \(\theta\)).

Jeigu imsime kompleksinį skaičių, kurio spindulio ilgis \(|z| = 1\), Oilerio formulė (angl. Euler formula) mums rodo: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos(\theta) + \mathrm{i}\sin(\theta)\,. \tag{2.28} \end{equation}\] Oilerio formulėje \(\mathrm{e}\) yra natūraliojo logaritmo pagrindas, kurio reikšmė \(\mathrm{e}\sim 2.718\ldots\) . Akivaizdu, kad Oilerio funkcijos modulis \(\big|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\big| = 1\). Bet kokį kompleksinį skaičių \(z\) galime išreikšti taip: \[\begin{equation} z = |z|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,. \tag{2.29} \end{equation}\] Taip išreikšto skaičiaus \(z\) kompleksinė jungtis bei jo modulio kvadratas, minėti viršuje, gaunami atliekant konjugaciją eksponentėje: \[\begin{align} z^{*} = & |z|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\,;\tag{2.30}\\ |z|^2 = & |z| |z|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}= |z|^2\,. \tag{2.31} \end{align}\] Viršuje pritaikėme eksponenčių daugybos formulę, \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}a}\mathrm{e}^{\mathrm{i}b} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(a + b)}\) bei \(\mathrm{e}^0 = 1\).

2.3 Vidinė vektorių sandauga

Šioje dalyje apibūdiname kvantinėje kompiuterijoje dažnai aptinkamą vidinę dviejų vektorių sandaugą (angl. inner product), dar vadinama skaliarine sandauga (angl. scalar product). Vektorius \(|\psi\rangle\) su tokio tipo skliausteliais yra vadinamas ket ir yra asocijuojamas su stulpeliniu vektoriumi. Vektorius eilutė yra žymimas apsuktais skliausteliais, \(\langle\psi|\) ir vadinamas bra. Iš bet kokio ket vektoriaus galime padaryti bra vektorių dviem žingsniais. Pavyzdžiui, turime ket su keturiais elementais: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.32} \end{equation}\] Visi \(|\psi\rangle\) vektoriaus elementai yra bendrai kompleksiniai skaičiai. Pirmame žingsnyje vektorius eilutė yra gaunamas atlikus vadinamąją transpoziciją (angl. transposition), žymimą T raide virš vektoriaus \(|\psi\rangle^T\). Elementai stulpelyje iš viršaus į apačią yra pergrupuojami eilutėje iš kairės į dešinę: \[\begin{equation} |\psi\rangle^T = \lbrack a_1\: a_2\: a_3\: a_4\rbrack\,. \tag{2.33} \end{equation}\] Galiausiai, bra vektorius yra gaunamas atlikus transponuotajam vektoriui kiekvieno jo elemento kompleksinę jungtį \(\big(|\psi\rangle^T\big)^{*}= |\psi\rangle^{\dagger} = \langle\psi|\). Ši dviguba operacija yra vadinama ermitine jungtimi, kuriai nurodyti vartojamas durklo formos ženklas \(\dagger\). Tad galiausiai randame: \[\begin{equation} |\psi\rangle^{\dagger} = \langle\psi| = \lbrack a_1^{*}\: a_2^{*}\: a_3^{*}\: a_4^{*}\rbrack\,. \tag{2.34} \end{equation}\] Bra vektoriai yra dualūs ket vektoriams (angl. dual vector) – kiekvienas bra turi vieną sau atitinkantį ket. Formaliai, jeigu \(|\psi\rangle\) yra \(V\) vektorių erdvės elementas, tai jam dualus \(\langle\psi|\) vektorius yra dualios \(\overline{V}\) vektorių erdvės elementas. Kadangi ket ir bra yra skirtingų erdvių elementai, jų tarpusavyje sudėti negalima, tai yra neapibrėžta operacija. Tačiau visos minėtos operacijos bra vektorių erdvėje \(\overline{V}\) yra identiškos ket \(V\) erdvei.

Vidinė dviejų vektorių sandauga yra atliekama tarp bra ir ket vektorių, tiesinėje algebroje – tarp vektoriaus eilutės ir stulpelio. Imkime kaip pirmą pavyzdį vidinę \(|\psi\rangle\) vektoriaus sandaugą su sau dualiu vektoriumi, \(\langle\psi|\psi\rangle\). Rašant vektoriaus elementais, vidinė sandauga formaliai išreiškiama: \[\begin{equation} \begin{aligned} \langle\psi|\psi\rangle = & \lbrack a_1^{*}\: a_2^{*}\: a_3^{*}\: a_4^{*} \rbrack \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ \end{bmatrix} \\ = & a_1^{*} a_1 + a_2^{*} a_{2} + a_3^{*} a_{3} + a_4^{*} a_{4} \\ = & |a_1|^2 + |a_2|^2 + |a_3|^2 + |a_4|^2\,. \end{aligned} \tag{2.35} \end{equation}\] Matome, kad atlikus vidinę vektoriaus sandaugą su sau dualiu vektoriumi rezultatas visada bus realusis neneigiamasis skaičius, \(\langle \psi|\psi\rangle \geq 0\). Šis skaičius nusako kompleksinių kvadratų sumą, kurią dar galime identifikuoti kaip \(|\psi\rangle\) vektoriaus ilgio kvadratą. Kvantinės būsenos yra nusakomos normuotaisiais vektoriais, tai yra, turinčiais vienetinį vektoriaus ilgį. Tad normuotojo vektoriaus vidinė sandauga su savo dualiuoju vektoriumi visada lygi vienetui, \(\langle\psi |\psi\rangle = 1\). Galime bet kurį vektorių padaryti normuotuoju, jeigu jis toks nėra, padalindami jį iš skaičiaus, nusakančio vektoriaus ilgį \(\sqrt{\langle\psi |\psi\rangle}\): \[\begin{equation} |\hat{\psi}\rangle = |\psi\rangle/\sqrt{\langle\psi |\psi\rangle}\,. \tag{2.36} \end{equation}\] Dviejų skirtingų tos pačios vektorių erdvės vektorių \(|\psi\rangle\) ir \(|\phi\rangle\) vidinė sandauga \(\langle\psi|\phi\rangle\) yra: \[\begin{equation} \langle\psi |\phi\rangle = \lbrack a_1^{*}\: a_2^{*}\: a_3^{*}\: a_4^{*}\rbrack\ \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ \end{bmatrix} = a_1^{*} b_1 +a_2^{*} b_2 + a_3^{*} b_3 + a_4^{*} b_{4}\,. \tag{2.37} \end{equation}\] Dviejų vektorių, turinčių \(n\) elementų, vidinė sandauga \(\langle\psi |\phi\rangle\) yra glaustai užrašoma: \[\begin{equation} \langle\psi|\phi\rangle = \sum_{i = 1}^{n} a_i^{*} b_i\,. \tag{2.38} \end{equation}\] Ket ir bra eiliškumas (kuris vektorius rašomas kairėje ir kuris – dešinėje) vidinėje sandaugoje gali būti svarbus, nes sudauginus skirtingus vektorius gaunamas skaičius yra bendrai kompleksinis. Skirtumas tarp jų eiliškumo slypi gauto skaičiaus kompleksiniame jungime. Šį principą galima išreikšti taip: \[\begin{equation} \langle\psi|\phi\rangle = \big(\langle\phi|\psi\rangle\big)^{*}\,. \tag{2.39} \end{equation}\] Skaičius vidinėje sandaugoje galime visada iškelti už jos: \[\begin{equation} \langle\psi|\big(z_1|\phi_1 \rangle + z_2|\phi_2\rangle\big) = z_1\langle\psi|\phi_1\rangle + z_2\langle\psi |\phi_2 \rangle\,. \tag{2.40} \end{equation}\] Vidinės sandaugos modulio kvadratas, \(\big|\langle\psi|\phi\rangle\big|^2\), dar vadinamas kompleksiniu kvadratu, naudojant vektorių simboliką yra: \[\begin{equation} \big|\langle\psi|\phi\rangle\big|^2 = \langle\psi |\phi\rangle\langle\psi |\phi\rangle^{*} = \langle\psi |\phi\rangle\langle\phi |\psi\rangle = \langle\phi |\psi\rangle\langle\psi |\phi\rangle = \big|\langle\phi |\psi\rangle\big|^2\,. \tag{2.41} \end{equation}\] Viršuje matome dviejų kompleksinių skaičių sandaugą, kuri yra gaunama iš dviejų vidinių vektorių sandaugų \(\langle\psi |\phi\rangle\) ir \(\langle\phi |\psi\rangle\). Kadangi šie du nariai nusako skaičius, juos galime pergrupuoti, kaip pageidaujama, nekeičiant rezultato; tai ir parodyta viršuje. Kompleksiniame kvadrate vektorių eiliškumas nėra svarbus.

Ortogonaliųjų vektorių normuotumas gali būti glaustai užrašytas taip: \(\langle v_i|v_j \rangle = \delta_{ij}\). Čia simbolis \(\delta_{ij}\) vadinamas Kronekerio delta funkcija (angl. Kronecker delta function), kuri \(\delta_{ij} = 0\), jeigu \(i \neq j\) (pavyzdžiui, baziniai vektoriai vidinėje sandaugoje skiriasi) bei \(\delta_{ij} = 1\), jeigu \(i = j\). Imkime vektorių \(|v\rangle\), išreikštą ortogonaliaisiais baziniais vektoriais \(\big\{|v_i \rangle\big\}\) su atitinkamais koeficientais \(z_i\): \[\begin{equation} |v\rangle = \sum_i z_i |v_i \rangle\,. \tag{2.42} \end{equation}\] Naudodami \(\delta_{ij}\), bet kurį \(i\)-tąjį koeficientą \(z_i\) galime rasti atlikę vektoriaus \(|v\rangle\) vidinę sandaugą su atitinkamu bra \(\langle v_i|\): \[\begin{equation} z_i = \langle v_i |v \rangle\,. \tag{2.43} \end{equation}\] Vidinės sandaugos geometrinę interpretaciją galime lengviau pamatyti naudodami 2 dimensijų Euklido vektorių erdvę. Imkime \(|\phi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\) normuotąjį vektorių, išreikštą \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) baziniais vektoriais, ir konkretų \(a\) ir \(b\) koeficientų pavyzdį: \[\begin{equation} |\phi\rangle = \frac{2}{\sqrt{13}}|0\rangle + \frac{3}{\sqrt{13}}|1\rangle = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.44} \end{equation}\] Atlikę šio vektoriaus vidinę sandaugą su \(|0\rangle\) vektoriumi rasime: \[\begin{equation} \langle 0|\phi\rangle = \frac{2}{\sqrt{13}}\langle 0|0\rangle + \frac{3}{\sqrt{13}}\langle 0|1\rangle = \frac{2}{\sqrt{13}}\,. \tag{2.45} \end{equation}\] Viršuje \(\langle 0|0\rangle = 1\) ir \(\langle 0|1\rangle = 0\), naudojant bazinių vektorių ortogonalumą ir normuotumą, apibendrinta minėta delta funkcija \(\langle v_i |v_j \rangle = \delta_{ij}\). Galime šią vidinę sandaugą iliustruoti 2.3 pav.

2.3 pav. Vektoriaus \(|\phi\rangle\) dekompozicija į statmenus vienetinius (bazinius) vektorius \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\). Vidinės sandaugos čia nusako \(|\phi\rangle\) vektoriaus projekcijas (arba persiklojimą) į atitinkamus bazinius vektorius

Nubrėžę brūkšniuotą statmeną liniją matome, kad vidinė sandauga \(\langle 0|\phi\rangle\) indikuoja \(|\phi\rangle\) vektoriaus projekcijos dydį (arba persiklojimą) santykinai su \(|0\rangle\) vektoriumi. Tai atspindi koeficientas šalia \(|0\rangle\) vektoriaus. Analogiškai randama projekcija į \(|1\rangle\) bazinį vektorių vidinėje sandaugoje \(\langle 1|\phi\rangle\). Net ir kompleksinėje vektorių erdvėje yra teisinga sakyti, kad \(\langle 0|\phi \rangle\) parodo, kokį komponentą \(|\phi\rangle\) turi \(|0\rangle\) atžvilgiu.

Norėdami įvertinti, kiek du normuotieji kompleksiniai vektoriai persikloja, galime apskaičiuoti vidinės sandaugos modulį \[\begin{equation} \big|\langle\psi |\phi \rangle \big| = \sqrt{\langle\psi |\phi\rangle\langle\phi |\psi\rangle} = \cos(\theta)\,. \tag{2.46} \end{equation}\] \(\theta\) nusako kampą tarp vektorių \(|\phi\rangle\) ir \(|\psi\rangle\). Verta atkreipti dėmesį, kad kampas čia yra apibrėžtas \(0 \leq \theta \leq \pi/2\), kadangi modulis visada grąžina teigiamąjį skaičių. Matome, kad dviejų vienodų vektorių vidinės sandaugos modulis yra 1, o ortogonaliųjų (\(\theta = \pi/2\)), žinoma, 0.

2.4 Kubito reprezentacija Blocho sferoje

Vieno kubito būsenas \(|\psi\rangle = a |0\rangle + b|1\rangle\) įmanoma išreikšti geometriškai naudojant vadinamąją Blocho sferos reprezentaciją. Kubitas šioje reprezentacijoje pavaizduojamas kaip orientuotasis vektorius realioje 3 dimensijų erdvės Blocho sferoje, prasidedantis nuo sferos centro ir užsibaigiantis jos paviršiuje. Tokį kubito būsenos pavaizdavimą galime rasti pirmiausiai išreiškę kompleksinius skaičius \(a\) ir \(b\) Oilerio formule: \[\begin{equation} |\psi\rangle = |a|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1}|0\rangle + |b|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_2}|1\rangle\,. \tag{2.47} \end{equation}\] Kadangi \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}\) narių modulis yra \(|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}| = 1\) ir amplitudės susideda \(|a|^2 + |b|^2 = 1\), galime atlikti keitimą \(|a| + |b| = \cos(\alpha) + \sin(\alpha)\). Kampams paprastai yra leidžiama kisti nuo 0 iki \(2\pi\) apsukant visą ratą. Tačiau \(|a|\) ir \(|b|\) yra teigiamieji skaičiai, tad išsaugodami šį reikalavimą turime apibrėžti \(\alpha\) kampą \(0 \leq \alpha \leq \pi/2\). Konvenciškai yra taikomas keitimas \(\alpha = \theta/2\) ir kampas \(\theta\) apibrėžiamas \(0 \leq \theta \leq \pi\), tad amplitudės tampa \(|a| + |b| = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2)\). Iškeldami \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1}\) narį ir pervadindami \(\phi_2 - \phi_1 \equiv \phi\), gauname: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1}\big(\cos(\theta/2)|0\rangle + \sin(\theta/2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}|1\rangle\big)\,. \tag{2.48} \end{equation}\] Kadangi globali kvantinės būsenos fazė neturi fizinės įtakos, galime panaikinti narį \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi_1}\). Taip prieiname prie kubito būsenos Blocho reprezentacijos: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle + \sin(\theta/2)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}|1\rangle\,. \tag{2.49} \end{equation}\] Iš pirmo žvilgsnio atrodytų, kad turint dvi kompleksines amplitudes \(a\) ir \(b\) reikia bendrai keturių realiųjų skaičių nusakyti bendrai kubito būsenai. Tačiau dėl reikalavimo amplitudžių kvadratui susidėti į vienetą ir įtakos nedarančios globalios fazės pakanka tik dviejų realiujų skaičių. Pirmasis parametras \(0 \leq \theta \leq \pi\) nusako ilgumos kampą, kurį šioje reprezentacijoje Blocho vektorius sudaro su Blochos sferos \(z\) ašimi. Antrasis parametras \(0 \leq \phi < 2\pi\), nusako azimutinį kampą, kurį šio vektoriaus projekcija sudaro \(x\)–\(y\) plokštumoje (sferos pusiaujyje) skaičiuojant nuo teigiamosios \(x\) ašies. Blocho vektorius, tolydžiai keičiant šiuos du parametrus, apibūdina visus įmanomus taškus Blocho sferos paviršiuje.

2.4 pav. Bendra kubito būsena \(|\psi\rangle\) nusakoma Blocho vektoriumi, pažymėtu nuo Blocho sferos centro iki jos paviršiaus. Išilgai \(x\), \(y\) ir \(z\) ašių pažymėtos dažnai algoritmuose pasitelkiamos būsenos

Patikrinkime keletą orientacijų, kad pamatytume, kaip Blocho sferoje pavaizduojamos skirtingos kubito būsenos. Jeigu imsime kampą \(\theta = 0\), tada \(\cos(0/2) = 1\), \(\sin(0/2) = 0\) ir randame, kad į \(+z\) orientuotas Blocho vektorius nusako \(|0\rangle\) būseną. Jeigu imsime \(\theta = \pi\), tada \(\cos(\pi/2) = 0\), \(\sin(\pi/2) = 1\) ir randame, kad į \(-z\) orientuotas vektorius nusako \(|1\rangle\) būseną. Šiame kubito parametrizavime \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) būsenos, kurios, kaip žinome, yra ortogonalios, vaizduojamos kaip antiparaleliai orientuoti Blocho vektoriai. Tai gali šiek tiek klaidinti ir šį skirtumą, atsirandantį perteikiant 1 kubito kompleksinę vektorių erdvę realioje sferoje, tiesiog reikia prisminti. Tad jeigu \(z\) ašys nusako \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) būsenas, kokios būsenos yra išilgai \(x\) ir \(y\) ašių? Šias būsenas vadinsime atitinkamai \(|0_x \rangle\) ir \(|1_x \rangle\) bei \(|0_y \rangle\) ir \(|1_y \rangle\). Išilgai \(x\) ašies turime \(\theta = \pi/2,\) o imdami \(\phi = 0\) ir \(\phi = \pi\) randame \(|0_x \rangle\) ir \(|1_x \rangle\): \[\begin{equation} |0_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big( |0\rangle + |1\rangle\big)\,,\quad |1_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\,. \tag{2.50} \end{equation}\] Išilgai \(y\) ašies \(\theta = \pi/2\) bei \(\phi = \ \pi/2\) ir \(\phi = 3\pi/2\), randame \(|0_y \rangle\) ir \(|1_y \rangle\): \[\begin{equation} |0_y \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + \mathrm{i}|1\rangle\big)\,,\quad |1_y \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle - \mathrm{i}|1\rangle)\,. \tag{2.51} \end{equation}\] Šios būsenos, kaip ir visos kitos \(x\)–\(y\) plokštumoje, yra lygios \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) būsenų superpozicijos, besiskiriančios viena nuo kitos santykinėmis \(\phi\) fazėmis. Galima patikrinti jų ortogonalumą, \(\langle 0_x|1_x \rangle = 0\), \(\langle 0_y |1_y \rangle = 0\).

Trumpam grįžkime prie to, kodėl Blocho sferos reprezentacijoje atsiranda pusiniai kampai \(\theta/2\). Kvantiniai 1 kubito loginiai vartai yra visiškai nusakomi unitariniais operatoriais, priklausančiais SU(2) grupei (angl. special unitary group), kurie atlieka vektoriaus rotaciją 2 kompleksinių dimensijų erdvėje. Tačiau Blocho sferoje vartų efektą iliustruojame kaip vektoriaus rotacijas 3 dimensijų Euklido erdvėje, kurias apibūdina operatoriai, priklausantys SO(3) grupei (angl. special orthogonal group). Tarp šių grupių yra atsitiktinė sąsaja, ledžianti atlikti SU(2) elemento vizualizaciją, tačiau SU(2) grupė dvigubai dengia SO(3) grupę. Tai reiškia, kad du SU(2) elementus, besiskiriančius tik \(\pi\) faze, galime perteikti tuo pačiu elementu SO(3) grupėje, išsaugodami visą likusią grupės struktūrą. Dėl to rotacija \(\theta\) kampu Blocho sferoje nusako \(\theta/2\) rotaciją kompleksinėje vektorių erdvėje. Turime apeiti Blocho sferą aplink du kartus (\(\theta = 4\pi\)) siekdami sugrįžti į tą pačią būseną.

2.5 Tiesiniai operatoriai ir matricos

Kvantiniai loginiai vartai matematikoje yra nusakomi objektais, kurie vadinami tiesiniais operatoriais (angl. linear operator). Operatoriai, veikdami vektoriais nusakytas kvantines būsenas, apibūdina šių vektorių transformacijas. Pavyzdžiui, 1 kubito Blocho sferos reprezentacijoje operatoriaus veiksmas yra keisti Blocho vektoriaus orientaciją sferoje. Formaliai, operatorius \(A\) (vartojame didžiąsias raides žymėti operatoriams) transformuoja vektorių \(|v\rangle \in V\) į kitą vektorių \(|u\rangle\), priklausantį tai pačiai vektorių erdvei, \(|u\rangle \in V\): \[\begin{equation} A|v\rangle = |u\rangle\,. \tag{2.52} \end{equation}\] Operatoriaus veiksmas ket vektoriui yra užrašomas panašiai kaip jų tarpusavio sandauga, kurioje operatorius stovi kairėje ket pusėje. Toliau pateikiame elementarias operacijas tarp operatorių ir vektorių, operatorių ir operatorių.

Skaičių, dauginantį vektorių, galima visada iškelti už operatoriaus ir vektoriaus: \[\begin{equation} A\big(z|v\rangle\big) = zA|v\rangle\,. \tag{2.53} \end{equation}\] Visi loginiai vartai kvantinėje kompiuterijoje yra tiesiniai operatoriai. Operatoriaus tiesiškumo savybė jam veikiant bet kokius du (ar daugiau) vektorius: \[\begin{equation} A\big(|v\rangle + |u\rangle\big) = A|v\rangle + A|u\rangle\,. \tag{2.54} \end{equation}\] Tai parodo, kad operatorius \(A\) veikia atskirai kiekvieną vektorių sumoje tiesiniu būdu. Kadangi bet kokį vektorių \(V\) erdvėje galima išreikšti pasirinktais baziniais vektoriais, norint nustatyti \(A|\psi\rangle\) pakanka žinoti, kaip tiesinis operatorius veikia pasirinktus bazinius vektorius.

Du operatoriai \(A\) ir \(B\) yra lygūs (\(A = B\)), jeigu bet kokiam vektoriui galioja sąlygos \(|v\rangle \in V\), \(A|v\rangle = B|v\rangle\). Dviejų tiesinių operatorių suma nusako kitą tiesinį operatorių \(A + B = C\): \[\begin{equation} C|v\rangle = (A + B)|v\rangle = A|v\rangle + B|v\rangle\,. \tag{2.55} \end{equation}\] Operatorių sudėtyje eiliškumas nėra svarbus, \(A + B = B + A\). Vienas iš paprasčiausių operatorių yra identitetas (angl. identity), žymimas simboliu \(I\) ir dar vadinamas vienetiniu operatoriumi. Identititetas, veikdamas vektorių, jo nekeičia \(I|v\rangle = |v\rangle\); tai yra analogiška vektoriaus sandaugai su skaičiumi 1. Taip pat egzistuoja ir nulinis operatorius, vadinsime jį \(N\), \(N|v\rangle = 0\). Dviejų operatorių sandauga \(AB = D\) nusako kitą operatorių: \[\begin{equation} AB|v\rangle = D|v\rangle\,. \tag{2.56} \end{equation}\] Kairėje lygties dalyje operatorius \(B\) veikia vektorių \(|v\rangle\), toliau operatorius \(A\) veikia gautą vektorių \(B|v\rangle\). Eiliškumas operatorių sandaugoje bendrai yra svarbus, nes kvantinėje kompiuterijoje dažnai aptinkami operatoriai, kuriems \(AB \neq BA\). Tik itin specifinėse situacijose galima aptikti, kai eiliškumas nėra svarbus, \(AB = BA\). Kai dviejų ar daugiau operatorių sandaugos eiliškumas nėra svarbus, tokie operatoriai yra vadinami tarpusavyje komutatyviais (angl. commutative operators). Dviejų operatorių komutatyvumas yra standartiškai užrašomas įdedant juos į skliaustelius, kurios forma išskleidus reiškia: \[\begin{equation} \lbrack A,B\rbrack = AB - BA\,. \tag{2.57} \end{equation}\] Operatoriai \(A\) ir \(B\) yra komutatyvūs, jeigu \(\lbrack A,B\rbrack = 0\) ir nekomutatyvūs, jeigu \(\lbrack A,B\rbrack \neq 0\). Kita savybė, dviejų operatorių antikomutatyvumas (angl. anticommutative), yra operacija, apibrėžta lenktiniais skliausteliais: \[\begin{equation} \big\{ A,B \big\} = AB + BA\,. \tag{2.58} \end{equation}\] Du operatoriai yra antikomutatyvieji, jeigu \(\big\{ A,B \big\} = 0\). Sukeitus antikomutatyviuosius operatorius vietomis skliausteliuose, jų sandaugoje atsiranda minuso ženklas, nes \(AB = - BA\). Šios dvi operatorių klasės aptinkamos specifinėse kvantinių skaičiavimų užduotyse, kaip bus aptarta vėliau.

Abstraktus operatorius kvantinėje kompiuterijoje gali būti visada realizuojamas tiesinėje algebroje matricos forma – sugrupuotų skaičių lentele. Tai yra vadinama operatoriaus vaizdavimas matrica (angl. matrix representation). Abstrakti operatoriaus forma ir matricos forma yra ekvivalentiškos, tad šiuos terminus dažnai vartosime pakaitomis. Verta atsiminti, kad jei norime realizuoti operatorių matricos forma, reikia pasirinkti tam tikrą vektorių erdvės \(V\), kuriame veikia operatorius \(A\), bazinių vektorių rinkinį. Mat operatorius gali būti išreikštas su skirtingais bazinių vektorių rinkiniais. Jeigu nėra nurodoma kitaip, operatoriai standartiškai išreiškiami skaičiuojamųjų vektorių bazėje \(\big\{|0\rangle , |1\rangle\big\}\).

Išsamiau panagrinėkime, kaip tiesiniai operatoriai (loginiai vartai) yra išreiškiami matricų forma, kuo išsiskiria tokių matricų savybės ir jų aritmetika. Matrica, transformuojanti vektorių \(n\) dimensijų vektorių erdvėje, yra kvadratinės formos kompleksinių skaičių lentelė, turinti (\(n\times n\)) elementų (sakoma: \(n\) stulpelių ir \(n\) eilučių). Kadangi \(n\) kubitų vektorių erdvė yra \(2^n\) dimensijų, kvantinėje kompiuterijoje paprastai aptinkame tik kvadratines matricas su lyginiu skaičiumi eilučių ir stulpelių. Pavyzdžiui, visos vieno kubito būsenas nusakančios transformacijos yra išreiškiamos (\(2\times 2\)) dydžio matricomis. Toliau pateikiame pagrindines aritmetines operacijas tarp matricų, iliustracijai naudodami (\(3\times 3\)) matricų dydį.

Matricų sudėtis galima tik tarp tokio paties dydžio matricų. Dviejų operatorių \(A\) ir \(B\), išreikštų matricomis, sudėtis: \[\begin{equation} \begin{aligned} A + B = &\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31} + b_{31} & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.59} \end{equation}\] Matricų elementus, kurie yra bendrai kompleksiniai skaičiai, čia vadiname \(a_{ij}\) ir \(b_{ij}\). Pirmasis simbolis \(i\) padeda įvardyti eilutės numerį (skaičiuojant nuo viršaus), antrasis simbolis \(j\) – stulpelio numerį (skaičiuojant iš kairės). Taip rašyti nebūtina, tačiau pravartu siekiant greičiau įvardyti matricos elementus. Norint sudėti dvi matricas \(A\) ir \(B\) jų stulpelių ir eilučių skaičius turi būti vienodas. Sudėties tvarka yra nesvarbi \(A + B = B + A\), vadovaujantis minėta abstraktesne operatorių aritmetika. Skaičiaus ir matricos sandauga \(zA = Az\) yra apibrėžta: \[\begin{equation} z\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} za_{11} & za_{12} & za_{13} \\ za_{21} & za_{22} & za_{23} \\ za_{31} & za_{32} & za_{33} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.60} \end{equation}\] Dviejų matricų sandauga tarpusavyje galima, jeigu pirmosios matricos stulpelių skaičius yra lygus antrosios matricos eilučių skaičiui. Kadangi čia susiduriame tik su kvadratinės formos matricomis, tai reiškia, kad matricos sandaugoje turi būti tokio paties dydžio. Sandaugoje gautas naujas darinys yra tokio paties dydžio nauja matrica. Matricų \(AB = C\) sandauga atliekama taip: \[\begin{equation} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.61} \end{equation}\] Kiekvienas elementas \(c_{ij}\) yra atitinkamos \(A\) eilutės ir \(B\) stulpelio elementų sandaugų suma: \[\begin{equation} C = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} + a_{13}b_{32} & a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23} + a_{13}b_{33} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} + a_{23}b_{31} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} + a_{23}b_{32} & a_{21}b_{13} + a_{22}b_{23} + a_{23}b_{33} \\ a_{31}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} + a_{33}b_{32} & a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23} + a_{33}b_{33} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.62} \end{equation}\] Matricų daugyba yra asociatyvi, pavyzdžiui, trijų operatorių sandaugoje \(ABC = A(BC) = (AB)C\). Galime pasirinkdami sudauginti pirmiausiai \(BC\) arba \(AB\) tarpusavyje. Šiame skyriuje minėtos vektorių operacijos: vektoriaus transpozicija, kompleksinė bei ermitinė jungtys yra taip pat naudojamos matricoms. Matricos transpozicija \(A^T\) sukeičia eilučių ir stulpelių elementus vietomis taip: \[\begin{equation} A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}^{T} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & a_{31} \\ a_{12} & a_{22} & a_{32} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.63} \end{equation}\] Matricų sandaugoje transpozicija sukeičia operatorių eiliškumą, \((AB)^T = B^T A^T\). Matricos kompleksinė jungtis \(A^{*}\) kiekvienam jo elementui atlieka kompleksinę jungtį \(a_{ij}^{*}\). Ermitinė matricos jungtis taip pat yra kartu atliekama transpozicija ir elementų kompleksinė jungtis \(A^{\dagger} = \big(A^T\big)^{*}\): \[\begin{equation} A^{\dagger} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{bmatrix}^{\dagger} = \begin{bmatrix} a_{11}^{*} & a_{21}^{*} & a_{31}^{*} \\ a_{12}^{*} & a_{22}^{*} & a_{32}^{*} \\ a_{13}^{*} & a_{23}^{*} & a_{33}^{*} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.64} \end{equation}\] Matricų sandaugoje tai sukeičia eiliškumą \((AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}\). Taip pat galima parodyti, kad \((A^{\dagger})^{\dagger} = A\), \((A + B)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger}\) ir \((zA)^{\dagger} = z^{*}A^{\dagger}\).

Pateikiame keturis kvantinėje kompiuterijoje dažnai aptinkamus operatorius ir jų matricų išraiškas skaičiuojamųjų vektorių bazėje \(\big\{|0\rangle , |1\rangle\big\}\): \[\begin{equation} I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\,,\quad X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\,,\quad Y = \begin{bmatrix} 0 & - i \\ i & 0 \\ \end{bmatrix}\,,\quad Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.65} \end{equation}\] Šios matricos vadinamos fiziko Pauli vardu (angl. Wolfgang Pauli) ir sudaro vadinamąjį Pauli bazinių matricų rinkinį \(\{ I, X, Y, Z\}\). Trys Pauli matricos \(X\), \(Y\), \(Z\) yra tarpusavyje nekomutatyvios, bet kurių dviejų Pauli matricų sandauga gražina trečiąją: \[\begin{align} XY = & \mathrm{i}Z\,,\quad XZ = -\mathrm{i}Y\,,\quad YZ = \mathrm{i}X\,; \tag{2.66}\\ YX = & -\mathrm{i}Z\,,\quad ZX = \mathrm{i}Y\,,\quad ZZ = - \mathrm{i}X\,. \tag{2.67} \end{align}\] Tai galime lengvai patikrinti, pavyzdžiui \(XY\) ir \(YX\): \[\begin{align} XY = & \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & - \mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot \mathrm{i} & 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 + 0 \cdot \mathrm{i} & 1\cdot (-\mathrm{i}) + 0 \cdot 0 \\ \end{bmatrix} = \mathrm{i}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix} = \mathrm{i}Z\,; \tag{2.68}\\ YX = & \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-\mathrm{i}) & 0 \cdot 1 + 0 \cdot (-\mathrm{i}) \\ \mathrm{i}\cdot 0 + 0 \cdot 1 & \mathrm{i} \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ \end{bmatrix} = \mathrm{i}\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = -\mathrm{i}Z\,. \tag{2.69} \end{align}\] Akivaizdu, kad \(X\), \(Y\), \(Z\) Pauli operatoriai yra tarpusavyje antikomutatyvūs.

Grįžkime prie vektorių veikimo operatoriumi, norėdami parodyti, kokios operacijos yra matematiškai apibrėžtos. Tą galime pavaizduoti matricų reprezentacija, nes vektorius gali būti taip pat formaliai vadinamas matrica. Pavyzdžiui, vieno kubito ket vektorius \(|v\rangle\) yra išreiškiamas \((2\times 1)\) dydžio matrica (vektorius stulpelis), tiesinėje algebroje turinčia dvi eilutes ir vieną stulpelį. O štai bra vektorius \(\langle v|\) yra išreiškiamas \((1\times 2)\) matrica (vektorius eilutė), turinčia vieną eilutę ir du stulpelius.

Prisimenant matricų daugybą, leidžiama dauginti dvi \((n\times n)\), \((n\times 1)\) dydžio matricas; tai atlikę gauname naują \((n\times 1)\) dydžio matricą, o tiksliau – vektorių stulpelį (ket). Tačiau šių dviejų matricų atvirkštinė daugyba \((n\times 1)(n\times n)\) nėra galima, nes stulpelių skaičius pirmojoje matricoje ir eilučių skaičius antrojoje neatitinka. Tai parodo, kad negalimas ket vektoriaus veikimas operatoriumi; jeigu ket stovi operatoriaus kairėje, \(|v\rangle A\) yra neapibrėžta operacija. Teisingas eiliškumas yra \(A|v\rangle\). Bra vektoriaus veikimas operatoriumi atliekamas būtent bra esant operatoriaus kairėje \(\langle v|A\). Taip gaunamas kitas bra vektorius, nes \((1\times n)(n\times n) = (1\times n)\). Šioje situacijoje neteisingas eiliškumas būtų \(A\langle v|\). Iliustracijai imkime \(X|0\rangle\) ir \(\langle 0|X\): \[\begin{align} X|0\rangle = & \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = |1\rangle\,;\tag{2.70}\\ \langle 0| X = & \lbrack 1\: 0 \rbrack\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \lbrack 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \rbrack = \lbrack 0\: 1 \rbrack = \langle 1|\,. \tag{2.71} \end{align}\] Pamename, kad \(|v\rangle^{\dagger} = \langle v|\) bei \((AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}\). Iš to gauname, kad \(\big( A|v\rangle\big)^{\dagger} = \langle v| A^{\dagger}\). Todėl dualioje erdvėje \(A|v\rangle\) operacijos atitikmuo yra ermitinė \(A^{\dagger}\) operatoriaus jungtis, veikianti bra vektorių iš dešinės \(\langle v| A^{\dagger}\). Viršuje \(X\) operatorius turi tokią savybę – jo ermitinė jungtis yra lygi jam pačiam, tad \(X = X^{\dagger}\).

Taip pat atkreipiame dėmesį į tokio tipo operaciją: \[\begin{equation} \langle u | A | v \rangle = a_{uv}\,. \tag{2.72} \end{equation}\] Dėl daugybos asociatyvumo šią operaciją galime atlikti dviem būdais: \(\langle u|A|v\rangle = \langle u|\big(A|v\rangle\big) = \big(\langle u|A\big)|v\rangle\). Naryje \(\langle u|\big(A|v\rangle\big)\) operatorius \(A\) veikia vektorių \(|v\rangle\) iš kairės, grąžindamas bendrai kitą vektorių, sakykime, \(A|v\rangle = |g\rangle\). Iš to gaunamas vidinės sandaugos \(\langle u|g\rangle\) rezultatas – skaičius \(a_{uv}\). Antruoju būdu naryje \(\big(\langle u|A\big)|v\rangle\) pirmiausiai atliekama \(\langle u|A\) ir toliau – vidinė sandauga su \(|v\rangle\).

2.6 Unitariniai ir ermitiniai operatoriai

Unitariniai operatoriai yra plačiausiai naudojama ir aptinkama operatorių klasė kvantinėje kompiuterijoje. Šie operatoriai matematiškai apibūdina kvantinių loginių vartų efektą – jie transformuoja vektoriais nusakomas kubitų būsenas į kitas būsenas. Unitarinis operatorius \(U\) pasižymi savybe šia savybe: \[\begin{equation} U^{\dagger}U = UU^{\dagger} = I\,. \tag{2.73} \end{equation}\] Tai parodo, kad unitarinio operatoriaus sandauga su jo ermitine jungtimi \(U^{\dagger}\) yra lygi vienetiniam operatoriui. Vadinasi, \(U^{\dagger}\) yra atvirkštinis \(U\) operatoriui (rašoma \(U^{\dagger}= U^{-1}\)), ir todėl galima visada atstatyti pradinį vektorių: \(U^{\dagger}U|v\rangle = I|v\rangle = |v\rangle\). Unitariniai operatoriai turi kitą svarbią savybę – veikdami vektorių \(|v\rangle\) transformuoja jį į kitą vektorių, tačiau nekeičia vektoriaus ilgio. Dėl šios priežasties veikiantys du skirtingus vektorius unitariniai operatoriai išsaugo jų vidinės sandaugos reikšmę. Imkime du, nebūtinai ortogonaliuosius, vektorius \(|v\rangle\) ir \(|u\rangle\). Minėtas \(U\) savybes galime paprastai parodyti: \[\begin{equation} \langle u|U^{\dagger}U|v\rangle = \langle u|I|v\rangle = \langle u|v\rangle\,. \tag{2.74} \end{equation}\] Jeigu \(|v\rangle\) yra normuotasis vektorius, \(U\) išlaiko normuotumą \(\langle v|U^{\dagger}U |v\rangle = 1\). Tad unitarinių operatorių efektas gali būti apibūdintas kaip vektorių posūkis vektorių erdvėje. Jeigu \(U\) veikia visus bazinius vektorius jų rinkinyje, tada naujai gauti vektoriai nusako kitą transformuotą bazinių vektorių rinkinį (angl. basis transformation).

Kita svarbi operatorių klasė kvantinėje kompiuterijoje yra ermitiniai operatoriai (angl. hermitian operator). Operatorių tikrinių vektorių (angl. eigenvector) ir tikrinių verčių (angl. eigenvalue) konceptai leidžia geriau suprasti ermitinių ir unitarinių operatorių savybes bei jų vartojimą. Vektorius \(|\lambda\rangle\) yra vadinamas tiesinio operatoriaus \(K\) tikriniu vektoriumi, o \(\lambda\) yra su šiuo vektoriumi susieta tikrinė vertė (skaičius), jeigu tenkinama lygybė: \[\begin{equation} K|\lambda\rangle = \lambda |\lambda\rangle\,. \tag{2.75} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad bendroje situacijoje operatorius, veikdamas vektorių, pakeičia jį į kitą vektorių. Tačiau jeigu \(|\lambda\rangle\) yra \(K\) operatoriaus vienas iš tikrinių vektorių, tada operatoriaus veiksmas šiam vektoriui yra lygus vektoriaus \(|\lambda\rangle\) ir skaičiaus \(\lambda\) sandaugai – pats vektorius nepakinta.

Operatoriaus tikrinės vertės \(\lambda\) tenkina charakteristinę determinantinę lygtį \(\det(K - \lambda I) = 0\). Charakteristinė lygtis yra bendrai \(n\) laipsnio polinomas \(p(\lambda) = 0\), todėl egzistuoja \(n\) skaičius tikrinių verčių \((\lambda_1 , \lambda_2 ,\ldots , \lambda_n )\), tenkinančių šią lygtį. Tikriniai vektoriai \(|\lambda_i \rangle\) yra randami antrame žingsnyje iš lygties \((K - \lambda_i I)|\lambda_i \rangle = 0\), žinant su jais asocijuotas tikrines vertes \(\lambda_i\).

Ermitinių operatorių tikrinės vertės \(\lambda_i\) yra visada realieji skaičiai. Tai galima lengvai parodyti pradedant nuo \(K|\lambda\rangle = \lambda |\lambda\rangle\) ir įvertinant šios lygties ermitinę jungtį \(\big(K|\lambda\rangle\big)^{\dagger} = \langle\lambda|K^{\dagger} = \langle\lambda|K = \langle\lambda|\lambda^{*}\). Tad: \[\begin{equation} \langle\lambda |K|\lambda\rangle = \lambda^{*}\langle\lambda |\lambda\rangle = \lambda\langle\lambda |\lambda\rangle\,. \tag{2.76} \end{equation}\] Matome, kad \(\lambda^{*} = \lambda\), ir todėl \(\lambda\) gali būti tik realusis skaičius. Su skirtingomis tikrinėmis vertėmis \(\lambda_i\) asocijuoti tikriniai vektoriai \(|\lambda_i\rangle\) yra ortogonalieji, \(\langle\lambda_i |\lambda_j \rangle = 0\) (jeigu \(i \neq j\)). Imdami operatoriaus \(K\) du tikrinius vektorius \(|\lambda_1 \rangle\) ir \(|\lambda_2 \rangle\) bei su jais susietas vertes \(\lambda_1\) ir \(\lambda_2\), galime paprastai parodyti ortogonalumą: \[\begin{equation} \langle\lambda_2 |K|\lambda_1 \rangle = \lambda_1 \langle\lambda_2 |\lambda_1 \rangle = \lambda_2 \langle\lambda_2 |\lambda_1 \rangle \rightarrow (\lambda_1 - \lambda_2 )\langle\lambda_2 |\lambda_1\rangle = 0\,. \tag{2.77} \end{equation}\] Matome, kad jeigu \(\lambda_2 \neq \lambda_1\), tada \(\langle\lambda_2 |\lambda_1 \rangle = 0\). Ermitinių operatorių tikrinių verčių realumas ir tikrinių vektorių ortogonalumas yra naudojamas kvantinėje mechanikoje nusakyti stebimiems fizikiniams dydžiams. Siekdami išsamiai aprašyti sistemą reikalaujame, kad ortogonaliųjų tikrinių vektorių skaičius atitiktų visų fiziškai skirtingų kvantinių būsenų skaičių. Jeigu turime \(K\) ermitinę matricą \((d\times d)\) dydžio, operuojančią \(d\) dimensijų kompleksinių vektorių erdvėje, tada galime būti tikri, kad rasime \(d\) tikrinių \(K\) matricos vektorių. Ortogonalieji ir normuotieji \(K\) operatoriaus tikriniai vektoriai gali būti naudojami kaip baziniai vektoriai toje vektorių erdvėje apibūdinti būsenoms, o fizikiniai dydžiai yra natūraliai nusakomi tikrinėmis vertėmis – realiaisiais skaičiais.

Vienalaikio diagonalizavimo teorema (angl. simultaneous diagonalization theorem) nusako, kad jeigu du operatoriai yra komutatyvūs \([A, B] = 0\), tada šie operatoriai dalijasi tais pačiais tikriniais vektoriais (su galimai skirtingomis tikrinėmis vertėmis). Mat pasitaiko atvejų, kai du ar daugiau operatoriaus tikrinių vektorių yra susieti su ta pačia tikrine verte \(\lambda\). Tokie vektoriai yra lietuviškai vadinami išsigimusiais (angl. degenerate). Išsigimusiuosius tiesiškai nepriklausomus vektorius visada galima užrašyti forma, kurioje jie yra vienas kitam ortogonalūs. Tad \(n\) skaičius išsigimusių tikrinių vektorių su ta pačia tikrine verte \(\lambda\) apibūdina \(n\) dimensijų išsigimusį poerdvį. Kvantinės mechanikos praktikoje dažnai galima rasti papildomą operatorių (ar operatorius), kuris taip pat dalijasi tais pačiais tikriniais vektoriais (yra komutatyvusis), tačiau turi skirtingas tikrines vertes šiems vektoriams. Kartu jie leidžia panaikinti išsigimimą ir taip unikaliai atskirti fiziškai skirtingas būsenas.

Kitaip nei ermitinių operatorių, unitarinių operatorių tikrinės vertės \(\lambda\) gali būti kompleksiniai skaičiai. Jų tikrinių verčių modulis yra visada lygus vienetui, \(|\lambda| = 1\). Todėl unitarinių operatorių tikrinės vertės turi bendrą formą \(\lambda = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\); \(\theta\) yra realusis skaičius.

Kvantinėje kompiuterijoje dažnai aptinkami \(X\), \(Y\) ir \(Z\) yra ermitiniai operatoriai (\(X = X^{\dagger}\), \(Y = Y^{\dagger}\), \(Z = Z^{\dagger}\)), bet tuo pačiu ir unitariniai (nes, pavyzdžiui, \(ZZ^{\dagger} = I\)). Dėl to jie gali atlikti loginių vartų vaidmenį ir kartu apibūdinti fizines sistemos stebimas savybes. Vieno kubito baziniai vektoriai \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) buvo pasirinkti neatsitiktinai, jie yra Pauli-\(Z\) operatoriaus tikriniai vektoriai. Pauli-\(Z\) operatoriaus tikrines vertes \(\lambda_0\) ir \(\lambda_1\), susietas su \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\), galime patikrinti taip: \[\begin{equation} \lambda_0 = \langle 0|Z|0 \rangle = 1\langle 0|0\rangle = 1\,,\quad \lambda_1 = \langle 1|Z|1 \rangle = -1\langle 1|1\rangle = -1\,. \tag{2.78} \end{equation}\] Akivaizdu, kad Pauli-\(Z\) tikriniai vektoriai \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) nėra \(X\) ir \(Y\) operatorių tikriniai vektoriai. Šį dėsningumą pirmiausia matome iš to, kad \(X\) ir \(Y\) operatoriai veikdami \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) pakeičia šiuos vektorius, pavyzdžiui, \(X|0\rangle = |1\rangle\). Formaliai, Pauli \(X\), \(Y\), \(Z\) operatoriai yra tarpusavyje nekomutatyvūs ir todėl neturi bendrų tikrinių vektorių. Pauli-\(X\) ir \(Y\) operatorių tikriniai vektoriai yra jau minėti: \[\begin{align} |0_x \rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,,\quad |1_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\,; \tag{2.79}\\ |0_y \rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ \mathrm{i} \\ \end{bmatrix}\,,\quad |1_y \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ -\mathrm{i} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.80} \end{align}\] Pauli-\(X\) ir \(Y\) operatorių tikrinės vertės yra taip pat 1 ir -1, pavyzdžiui, \(\lambda_{0x} = \langle 0_x |X|0_x \rangle = 1\), \(\lambda_{1x} = \langle 1_x |X|1_x \rangle = -1\). Operatoriai, turintys identiškas tikrines vertes, yra unitariškai ekvivalentiški (angl. unitary equivalent). Tai reiškia, kad jie gali būti transformuojami vienas į kitą panaudojus tam tikrus unitarinius operatorius \(U\), \(A = UBU^{\dagger}\). Ši operacija matricos reprezentacijoje atlieka operatoriaus \(B\) perteikimą kitais baziniais vektoriais.

Panašiai kaip baziniai vektoriai leidžia išreikšti bet kuriuos kitus vektorius toje vektorių erdvėje, visos \((2\times 2)\) dydžio unitarinės matricos \(U\) gali būti išreikštos Pauli matricų \(\{I, X, Y, Z\}\) suma su atitinkamais koeficientais: \[\begin{equation} U = c_I I + c_x X + c_y Y + c_z Z\,. \tag{2.81} \end{equation}\] Čia \(c_I\) yra realusis skaičius, \(c_x\), \(c_y\), \(c_z\) – kompleksiniai skaičiai, kurie kartu tenkina lygybę: \[\begin{equation} |c_I|^2 + |c_x|^2 + |c_y|^2 + |c_z|^2 = 1\,. \tag{2.82} \end{equation}\] Unitariniai ir ermitiniai operatoriai priklauso platesnei operatorių grupei, vadinamai normaliaisiais operatoriais (angl. normal operators). Normalieji operatoriai pasižymi \(AA^{\dagger}=A^{\dagger}A\), o jų tikriniai vektoriai, susieti su skirtingomis tikrinėmis vertėmis, yra ortogonalieji. Toliau matysime, kad normaliuosius operatorius galima paprastai išreikšti taikant vadinamąją spektrinę dekompoziciją.

2.7 Diadinė operatorių dekompozicija

Šiame poskyryje pateikiame būdą išreikšti operatoriams taikant bra ir ket vektorių matematinę konstrukciją, vadinama išorine sandauga (angl. outer product), dar žinoma kaip diadinė (angl. dyad) dekompozicija. Ši matematinė konstrukcija itin supaprastina abstraktų operatorių ir vektorių veikimo skaičiavimą kvantinėje kompiuterijoje nereikalaujant naudoti matricų reprezentacijų.

Pirmiausiai atkreipiame dėmesį, kad bendrą matricą galima visada išreikšti kitų matricų suma (nebūtinai unikalia). Imkime šį \((2\times 2)\) matricos pavyzdį: \[\begin{equation} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} + c\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} + d\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.83} \end{equation}\] Kiekviena iš keturių \((2\times 2)\) matricų yra vektoriaus stulpelio ir vektoriaus eilutės sandaugos rezultatas. Pavyzdžiui, antra matrica viršuje gaunama: \[\begin{equation} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\lbrack 0\: 1\rbrack = \begin{bmatrix} 1 \cdot 0\ & 1 \cdot 1 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} = |1\rangle\langle 0|\,. \tag{2.84} \end{equation}\] Tai galima palyginti su vidine vektorių sandauga, kuri yra vektoriaus eilutės ir vektoriaus stulpelio sandauga, o jos rezultatas yra skaičius. Prisiminę, kad vektorius stulpelis nusako ket, o eilutė bra, matome, kad viršuje pavyzdyje pateikta išorinė sandauga ir jos matricos išraiška gali būti užrašoma glaustai \(|1\rangle\langle 0|\). Čia \(|1\rangle\) ir \(\langle 0|\) yra kubito Pauli-\(Z\) ket (bra) tikriniai vektoriai. Tad bet kokia \((2\times 2)\) matrica yra išreiškiama diadine dekompozicija taip: \[\begin{equation} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix} = a|0\rangle\langle 0| + b|1\rangle\langle 0| + c|0\rangle\langle 1| + d|1\rangle\langle 1|\,. \tag{2.85} \end{equation}\] Apžvelkime diadų bendruosius principus ir jų taikymą. Imkime du vektorius \(|\nu\rangle\) ir \(|\omega\rangle\), priklausančius \(V\) vektorių erdvei. Jų išorinė sandauga užrašoma \(|\nu\rangle\langle\omega|\) ir yra operatorius, veikiantis \(V\) erdvėje. Galime patikrinti, kad diada yra tiesinis operatorius, veikdami ja vektorius \(a|\psi\rangle\) ir \(b|\phi\rangle\): \[\begin{equation} \begin{aligned} |\nu\rangle\langle\omega|\big(a|\psi\rangle + b|\phi\rangle\big) = & a|\nu\rangle\langle\omega|\psi\rangle + b|\nu\rangle\langle\omega|\phi\rangle = az|\nu\rangle + bc|\nu\rangle \\ = & (az + bc)|\nu\rangle\,. \end{aligned} \tag{2.86} \end{equation}\] Diada veikianti vektorių jį transformuoja į kitą vektorių. Matome, kad diada \(|\nu\rangle\langle\omega|\) pasuka vektorius \(|\psi\rangle\) ir \(|\phi\rangle\) į \(|\nu\rangle\) vektoriaus kryptį, jeigu jie persikloja su \(|\omega\rangle\). Persiklojimą atspindi skaičius, gautas vidinėje sandaugoje, čia \(z = \langle\omega|\psi\rangle\) ir \(c = \langle\omega|\phi\rangle\). Dėl daugybos asociatyvumo, \(|\nu\rangle\big(\langle\omega|\psi\rangle\big) = \big(|\nu\rangle\langle\omega|\big)|\psi\rangle\), į \(|\nu\rangle\langle\omega|\psi\rangle\) galime žvelgti dviem būdais. Pirmuoju būdu nusakoma vektoriaus ir skaičiaus sandauga, antruoju – vektoriaus veikimas diada. Diada \(|\nu\rangle\langle\omega|\) gali operuoti bra vektorius iš dešinės, pavyzdžiui, naryje \(\langle\psi|\nu\rangle\langle\omega|\). Šiuo atveju vidinė sandauga atliekama su \(|\nu\rangle\), o bra \(\langle\psi|\) būtų pasuktas į \(\langle\omega|\).

Diados \(D = |\nu\rangle\langle\omega|\) ermitinė jungtis yra: \[\begin{equation} D^{\dagger} = |\omega\rangle\langle\nu|\,. \tag{2.87} \end{equation}\] Vienetinis \(V\) vektorių erdvės operatorius \(I\) yra išreiškiamas diadomis naudojant šios erdvės bazinių vektorių \(\big\{|m\rangle\big\}\) rinkinį ir visus juos susumuojant: \[\begin{equation} I = \sum_m |m\rangle\langle m|\,. \tag{2.88} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad vienodi bra ir ket simboliai diadoje nurodo matricos pagrindinės įstrižainės elementus \(a_{mm}\). Visi tiesiniai operatoriai turi diadinę dekompoziciją. Šią dekompoziciją galime formaliai išreikšti įterpę norimą \(A\) operatorių tarp vienetinių operatorių ir panaudodami vienetinio operatoriaus diadines dekompozicijas: \[\begin{equation} \begin{aligned} A = & IAI = \sum_{m,n} |m\rangle\langle m|A|n\rangle\langle n| = \sum_{m,n} \langle m|A|n\rangle |m\rangle\langle n| \\ = & \sum_{m,n} a_{mn}|m\rangle\langle n|\,. \end{aligned} \tag{2.89} \end{equation}\] Čia \(a_{mn} = \langle m|A|n\rangle\) yra jau matytas objektas, jis įvardija \(a_{mn}\) matricos elementą \(m\) eilutėje ir \(n\) stulpelyje. Pauli operatorius ir Hadamardo transformaciją galima paprastai išreikšti diadomis vektorių \(\big\{|0\rangle , |1\rangle\big\}\) bazėje: \[\begin{align} X = & \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = |0\rangle\langle 1| + |1\rangle\langle 0|\,; \tag{2.90} \\ Y = & \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \\ \end{bmatrix} = - \mathrm{i}|0\rangle\langle 1| + \mathrm{i}|1\rangle\langle 0|\,; \tag{2.91}\\ Z = & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix} = |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1|\,; \tag{2.92}\\ I = & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = |0 \rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1|\,; \tag{2.93}\\ H = & \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 0| + |0\rangle\langle 1| - |1\rangle\langle 1|\big) \,. \tag{2.94} \end{align}\] Pavyzdžiui, Hadamardo matricos elementai \(h_{01} = 1\), \(h_{11} = -1\). Iliustruodami diadų naudojimą, pateikiame \(X|1\rangle\) bei \(YX|0\rangle\): \[\begin{align} X|1\rangle = & |1\rangle\langle 0|1\rangle + |0\rangle\langle 1|1\rangle = |0\rangle\,; \tag{2.95} \\ YX|0\rangle = & \big( -\mathrm{i}|0\rangle\langle 1| + \mathrm{i}|1\rangle\langle 0|\big)\big(|0\rangle\langle 1| + |1\rangle\langle 0|\big)|0\rangle\nonumber \\ = & -\mathrm{i}|0\rangle\langle 0|0\rangle + \mathrm{i}|1\rangle\langle 1|0\rangle = - \mathrm{i}|0\rangle\,. \tag{2.96} \end{align}\] Taikant bazinių vektorių ortogonalumą, vidinės sandaugos \(\langle 0|0\rangle = 1\), \(\langle 1|0\rangle = 0\). Atkreipiame dėmesį, kad čia svarbus operatorių veikimo eiliškumas, kadangi Pauli operatoriai yra tarpusavyje nekomutatyvūs.

Normaliuosius operatorius (\(AA^{\dagger}=A^{\dagger}A\)), kuriems priklauso unitariniai ir ermitiniai operatoriai, galima visada išreikšti vadinamąja spektrine dekompozicija (angl. spectral operator decomposition): \[\begin{equation} A = \sum_k \lambda_k |k\rangle\langle k| = \sum_k \lambda_k P_k\,. \tag{2.97} \end{equation}\] Skaičius \(\lambda_k\) yra operatoriaus \(A\) tikrinė vertė, asocijuota su tikriniu vektoriumi \(|k\rangle\). Tikrinių verčių rinkinys \(\{\lambda_k\}\) yra operatoriaus \(A\) spektras. Čia \(P_k = |k\rangle\langle k|\) nusako svarbią, vadinamąją projekcinių operatorių (angl. projection operator) klasę. Jie atlieka projekciją į poerdvį, susietą su tikrine verte \(\lambda_k\), kurį dengia su ja susieti tikriniai vektoriai \(|k\rangle\). Tai matome iš išraiškos: \[\begin{equation} P_k |v\rangle = |k\rangle\langle k|v\rangle = \langle k|v\rangle |k\rangle = a|k\rangle\,. \tag{2.98} \end{equation}\] Čia \(a = \langle k|v\rangle\) nusako persiklojimą \(|v\rangle\) vektoriaus išilgai \(|k\rangle\), kitaip tariant – jo projekciją. Jeigu sistemoje nėra \(|k\rangle\) tikrinių vektorių išsigimimo, tada šis poerdvis yra 1 dimensijos, dengiamas \(|k\rangle\) vektoriaus. Kitos projekcinių operatorių savybės yra: \[\begin{align} \sum_k P_k = & I\,; \tag{2.99}\\ P_i P_j = & P_i \delta_{ij}\,. \tag{2.100} \end{align}\] Pirmoji savybė, vadinamoji pilnumo lygtis (angl. completenes equation) teigia, kad susumavę visus vektorių erdvės projekcinius operatorius gausime vienetinį operatorių \(I\). Antroji savybė rodo, kad dviejų skirtingų projekcinių operatorių sandauga yra nulinė (\(i \neq j\)), arba lygia pačiam operatoriui (\(i = j\)). Taip yra todėl, kad taip apibūdinti skirtingi \(P_k\) atlieka vektorių projekcijas į ortogonaliuosius poerdvius.

Verta paminėti, kad unitariniai operatoriai \(U\) turi spektrinę dekompoziciją, kurios forma yra: \[\begin{equation} U = \sum_k \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_k}|k\rangle\langle k|\,. \tag{2.101} \end{equation}\] Čia \(\varphi_k\) yra realusis skaičius ir, kaip minėta, tikrinės vertės yra fazės faktoriai \(\lambda_k = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi_k}\).

Matome, kad projekcinių operatorių dekompozicijoje yra tik matricos pagrindinės įstrižainės elementai (diagonalioji matrica). Tokią formą turi viršuje diadomis išreikštas Pauli-\(Z\) operatorius, kadangi dekompozijoje buvo naudojami jo tikriniai vektoriai \(\big\{|0\rangle , |1\rangle\big\}\). Identiškai atrodytų ir Pauli-\(X\) bei \(Y\) operatoriai, jeigu operatorių diadinėje dekompozicijoje išreikštume juos su jų tikriniais vektoriais: \[\begin{align} X = & |0_x\rangle\langle 0_x| - |1_x\rangle\langle 1_x|\,; \tag{2.102}\\ Y = & |0_y\rangle\langle 0_y| - |1_y\rangle\langle 1_y|\,. \tag{2.103} \end{align}\]

2.8 Matricos pėdsakas

Matricos pėdsakas (angl. trace) yra operacija, kuri sudeda visus matricos pagrindinės įstrižainės elementus \(a_{mm} = \langle m|A|m\rangle\): \[\begin{equation} \mathrm{Tr}(A) = \sum_m \langle m|A|m\rangle = \sum_m a_{mm}\,. \tag{2.104} \end{equation}\] Operatoriaus pėdsakas yra apibrėžtas kaip šio operatoriaus matricos reprezentacijos pėdsakas. Matricos pėdsakas nepriklauso nuo to, su kokiais baziniais vektoriais išreiškiamas operatorius. Įterpdami vienetinį operatorių \(I = \sum_i |i\rangle\langle i|\) išreikštą \(\big\{|i\rangle\big\}\) vektorių bazėje į išraišką viršuje gauname: \[\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{Tr}(A) = & \sum_m \langle m|A|m\rangle = \sum_{m,i} \langle m|i\rangle\langle i|A|m\rangle \\ = & \sum_{m,i} \langle i|A|m\rangle\langle m|i\rangle = \sum_i \langle i|A|i\rangle\,. \end{aligned} \tag{2.105} \end{equation}\] Visi trys Pauli operatoriai \(X\), \(Y\), \(Z\) turi nulinį pėdsaką. Pavyzdžiui: \[\begin{align} \mathrm{Tr}(Y) = & \mathrm{Tr}\left( \begin{bmatrix} 0 & -\mathrm{i} \\ \mathrm{i} & 0 \\ \end{bmatrix} \right) = 0 + 0 = 0\,; \tag{2.106}\\ \mathrm{Tr}(Z) = & \mathrm{Tr}\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix} \right) = 1 + ( -1) = 0\,.\tag{2.107} \end{align}\] Matricos pėdsakas turi šias savybes: \[\begin{align} \mathrm{Tr}(A + B) = & \mathrm{Tr}(A) + \mathrm{Tr}(B)\,;\tag{2.108}\\ \mathrm{Tr}(zA) = & z\mathrm{Tr}(A)\,;\tag{2.109}\\ \mathrm{Tr}(AB) = & \mathrm{Tr}(BA)\,.\tag{2.110} \end{align}\] Pirmoje eilutėje užrašyta savybė yra vadinamasis tiesiškumas; antroje eilutėje \(z\) – skaičius. Trečia savybė nusako matricos pėdsako cikliškumą. Pavyzdžiui, \(\mathrm{Tr}(ABC) = \mathrm{Tr}(BCA) = \mathrm{Tr}(CAB)\). Taip pat galima lengvai patikrinti, kad diados \(|m\rangle\langle n|\) pėdsakas yra \(\mathrm{Tr}\big(|m\rangle\langle n|\big) = \langle n|m\rangle = \delta_{nm}\).

2.9 Tenzorinė vektorių sandauga

Norint apibūdinti sudėtinę kvantinę sistemą, sudarytą iš daugiau nei vieno kubito, pasitelkdami tenzorinę sandaugą formaliai konstruojame didesnę jų būsenas talpinančią vektorių erdvę. Imkime kaip pavyzdį du kubitus. Kiekvienas iš jų individualiai yra nusakytas identiškose 2 dimensijų kompleksinėse vektorių erdvėse, vadinsime jas \(V\) ir \(U\). Sistema, sudaryta iš dviejų kubitų, nusakoma erdvėje, kuri yra tenzorinė šių vektorių erdvių sandauga \(V\otimes U\), žymima ženklu \(\otimes\). Šios vektorių erdvės dimensija \(d\) yra \(V\) ir \(U\) dimensijų sandauga, \(d = 2\times 2 = 4\). Bendrai \(n\) kubitų erdvė nusakoma \(n\) skaičiumi 2 dimensijų sandaugomis, tai yra \(2^n\) dimensijų erdvė.

\(V\otimes U\) erdvės elementai yra individualių erdvių vektorių tenzorinės sandaugos, \(|v\rangle\otimes|u\rangle\), ir jų tiesinės kombinacijos. Galime 2 kubitų vektorius išreikšti tiesinėje algebroje, imkime: \[\begin{equation} |v\rangle = \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}\,,\quad |u\rangle = \begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.111} \end{equation}\] Tada jų tenzorinė sandauga \(|v\rangle\otimes|u\rangle\) yra: \[\begin{equation} |v\rangle\otimes|u\rangle = \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a\begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix} \\ b\begin{bmatrix} c \\ d \\ \end{bmatrix} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.112} \end{equation}\] Gautas vektorius stulpelis yra sudarytas iš keturių elementų. Naudodami \(V\) ir \(U\) vektorių erdvių bazinius vektorius galime iš jų suformuoti \(V\otimes U\) erdvę dengiančius bazinius vektorius. Tokia erdvė yra 4 dimensijų, tad turėtume rasti keturis bazinius vektorius. Skaičiuojamasis ortogonalus 2 kubitų rinkinys yra sudarytas iš \(V\) ir \(U\) erdvių \(\big\{|1\rangle , |0\rangle\big\}\) bazinių vektorių tenzorinių sandaugų \(\{|0\rangle\otimes|0\rangle, |1\rangle\otimes|0\rangle, |0\rangle\otimes|1\rangle, |1\rangle\otimes|1\rangle \}\): \[\begin{equation} \begin{aligned} |0\rangle\otimes|0\rangle = & \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\,,\quad |1\rangle\otimes|0\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\,,\\ |0\rangle\otimes|1\rangle = & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\,,\quad |1\rangle\otimes|1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.113} \end{equation}\] Skaičiuojamasis \(n\) kubitų bazinių vektorių rinkinys analogiškai bus sudarytas iš visų skirtingų \(2^n\) tenzorinių 1 kubito bazinių vektorių sandaugų kombinacijų. Kiekvienas toks vektorius stulpelis turės \(2^n\) elementų, kuriame vienas iš elementų bus 1, o visi likusieji \(n - 1\) elementai 0.

Kai nėra rizikos suklaidinti skaitytoją, stengsimės supaprastinti vektorių simboliką praleisdami \(\otimes\) ir sujungdami tenzorinę vektoriaus išraišką į vieną skaičių eilutę. Pavyzdžiui, 2 kubitų bazinių vektorių rinkinys identiškai rašomas \(\big\{|00\rangle , |10\rangle , |01\rangle, |11\rangle\big\}\). Literatūroje taip pat galima sutikti naudojamą tenzorinės vektorių sandaugos žymėjimą su praleistu tenzoriaus ženklu, pavyzdžiui, \(|\psi\rangle|\varphi\rangle = |\psi\rangle\otimes |\varphi\rangle\). Šioje knygoje vartojame tik du būdus – įterpdami \(\otimes\) tarp vektorių arba sujungdami juos vienu vektoriaus simboliu.

Pateikiame pagrindines aritmetines operacijas su vektoriais išreikštais tenzorinėmis sandaugomis. Sandauga su skaičiumi: \[\begin{equation} z\big(|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\big) = \big(z|\psi\rangle\big)\otimes|\phi\rangle = |\psi\rangle\otimes\big(z|\phi\rangle\big)\,. \tag{2.114} \end{equation}\] Tenzorinė dviejų vektorių sandauga, kai vienas vektorius yra išreikštas kitų dviejų sudėtimi (superpozicijoje): \[\begin{equation} \big(|\psi\rangle + |u\rangle\big)\otimes |\phi\rangle = |\psi\rangle\otimes|\phi\rangle + |u\rangle\otimes|\phi\rangle\,. \tag{2.115} \end{equation}\] Dualusis tenzorinis vektorius (bra) yra formuojamas taip: \[\begin{equation} \big(|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\big)^{\dagger} = \langle\psi|\otimes \langle\phi|\,. \tag{2.116} \end{equation}\] Naudojame susitarimą, kuriame išlaikomas simbolių \((\phi, \psi, u\ldots)\) eiliškumas ir tik pakeičiama skliaustelių forma iš ket į bra. Atliekant įvairias operacijas yra svarbu sekti, kuriai vektorių erdvei priskirtas posistemės vektorius tenzorinėje sandaugoje. Mat vidinė vektorių sandauga yra apibrėžta tik tarp tos pačios vektorių erdvės elementų. Imkime dvi tenzorines dviejų kubitų būsenas \(|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\) ir \(|v\rangle\otimes|u\rangle\), kai \(|\psi\rangle , |v\rangle \in V\) bei \(|\phi\rangle , |u\rangle \in U\). Vidinė sandauga atliekama tarp vektorių, priklausančių tai pačiai posistemei: \[\begin{equation} \big(\langle u|\otimes\langle\omega|\big)\big(|\psi\rangle\otimes|\phi\rangle\big) = \langle u|\psi\rangle\langle\omega |\phi\rangle\,. \tag{2.117} \end{equation}\] Rezultatas bus vėlgi bendrai kompleksinis skaičius, kuris yra dviejų skaičių sandauga \(\langle u|\psi\rangle\langle\omega|\phi\rangle = cz\), gauta iš šių dviejų vidinių sandaugų: \(\langle u|\psi\rangle = c\), \(\langle\omega |\phi\rangle = z\).

2.10 Tenzorinė operatorių sandauga

Operatoriai, gauti iš 1 kubito operatorių tenzorinių sandaugų, formaliai leidžia apibūdinti didesnės kubitų sistemos transformacijas. Dviejų 1 kubito operatorių tenzorinę sandaugą \(A\otimes B\), veikiančią \(V\otimes U\) vektorių erdvėje, galime išreikšti matricos forma taip: \[\begin{equation} A\otimes B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} aB & bB \\ cB & dB \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} ae & af \\ ag & ah \\ \end{matrix} & \begin{matrix} be & bf \\ bg & bh \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} ce & cf \\ cg & ch \\ \end{matrix} & \begin{matrix} de & df \\ dg & dh \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.118} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį į blokinę struktūrą bei \((4\times 4)\) matricos dydį. Tokio matricos dydžio ir tikimės iš operatoriaus, veikiančio 4 dimensijų erdvėje, nusakančioje dviejų kubitų būsenas. Iš unitariųjų operatorių \(A\) ir \(B\) sukonstruotas operatorius \(A\otimes B\) yra taip pat unitarusis. Tai galima parodyti formaliai prisimenant, kad unitariojo operatoriaus ir jo ermitinės jungties sandauga yra vienetinis operatorius: \[\begin{equation} (A\otimes B)(A\otimes B)^{\dagger} = (A\otimes B)(A^{\dagger}\otimes B^{\dagger}) = AA^{\dagger}\otimes BB^{\dagger} = I\otimes I = I\,. \tag{2.119} \end{equation}\] Kitos operatorių, išreikštų tenzorinėmis sandaugomis, savybės: \[\begin{align} A\otimes(B + C) = & A\otimes B + A\otimes C\,;\tag{2.120}\\ (A\otimes B)(C\otimes D) = & (AC\otimes BD)\,;\tag{2.121}\\ \mathrm{Tr}(A\otimes B) = & \mathrm{Tr}(A)\mathrm{Tr}(B)\,.\tag{2.122} \end{align}\] Iliustruodami tenzorinės operatorių sandaugos naudojimą, imkime dviejų kubitų sistemą, kuriai atliekama pirmam kubitui Pauli-\(X\), o antram Pauli-\(Z\) transformacijos: \[\begin{equation} X\otimes Z\big(|v\rangle\otimes|u\rangle\big) = X|v\rangle\otimes Z|u\rangle\,. \tag{2.123} \end{equation}\] Tai yra tiesinis operatorius, o \(X\) ir \(Z\) veikia atitinkamo kubito vektorių erdvėje. Šią operaciją galime perteikti ir naudodami tiesinę algebrą: \[\begin{equation} \begin{aligned} X\otimes Z\big(|0\rangle\otimes|1\rangle\big) = & \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\otimes\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.124} \end{equation}\] Arba, pirmiau išskleidę tenzorines sandaugas, randame tą patį: \[\begin{equation} \begin{aligned} X\otimes Z\big(|0\rangle\otimes|1\rangle\big) = & \begin{bmatrix} 0 \cdot Z & 1 \cdot Z \\ 1 \cdot Z & 0 \cdot Z \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.125} \end{equation}\] Galime parodyti, kad operatorių \(A\otimes B\), veikiančių \(V\otimes U\) erdvėje, tikrinės vertės yra individualių operatorių \(A\) ir \(B\) tikrinių verčių sandaugos. Imkime \(A|k\rangle = \lambda_k |k\rangle\) ir \(B|l\rangle = \lambda_l |l\rangle\), kai \(\lambda_k\) ir \(\lambda_l\) yra atitinkamų operatorių tikrinės vertės, asocijuotos su jų tikriniais vektoriais \(|k\rangle\) bei \(|l\rangle\). Tada: \[\begin{equation} (A\otimes B)\big(|k\rangle\otimes |l\rangle\big) = A|k\rangle\otimes B|l\rangle = \lambda_k |k\rangle\otimes\lambda_l |l\rangle = \lambda_k\lambda_l \big(|k\rangle\otimes |l\rangle\big)\,. \tag{2.126} \end{equation}\] Matome, kad \(A\otimes B\) operatoriaus tikriniai vektoriai yra \(\big\{|k\rangle\otimes |l\rangle\big\}\) vektorių rinkinys, o tikrinės vertės \(\{\lambda_k \lambda_l\}\). Jeigu \(A\) yra \((n\times n)\) matrica, o \(B\) \((p\times p)\), kai \(n\) ir \(p\) gali būti vienodi arba skirtingi, tada egzistuoja \(np\)-skaičius tikrinių vektorių ir \(\big\{|k\rangle\otimes |l\rangle\big\}\) rinkinys pateikia juos visus. Šie vektoriai yra tarpusavyje ortogonalūs: \[\begin{equation} \big(\langle k'|\otimes\langle l'|\big)\big(|k\rangle\otimes|l \rangle\big) = \langle k'|k\rangle\langle l'|l\rangle = \delta_{k'k}\delta_{l'l}\,, \tag{2.127} \end{equation}\] ir todėl gali būti naudojami kaip bazinių vektorių rinkinys. Toliau imkime normalųjį operatorių \(A\), išreikštą spektrine dekompozicija: \[\begin{equation} A = \sum_k \lambda_k |k\rangle\langle k| = \sum_k \lambda_k P_k\,. \tag{2.128} \end{equation}\] Tenzorinė dviejų normaliųjų operatorių sandauga \(A\otimes B\) taip pat gali būti išreiškiama naudojant šių dviejų operatorių projekcinius operatorius: \[\begin{equation} \begin{aligned} A\otimes B = & \sum_k \lambda_k |k\rangle\langle k|\otimes \sum_l \lambda_l |l\rangle\langle l| = \sum_{k,l} \lambda_k \lambda_l |k\rangle\langle k|\otimes |l\rangle\langle l| \\ \equiv & \sum_m \lambda_m |m\rangle\langle m|\,. \end{aligned} \tag{2.129} \end{equation}\] Tai nusako diagonaliąją matricą, o \(\big\{|kl\rangle \equiv |k\rangle\otimes |l\rangle \equiv |m\rangle\big\}\) yra bazinių vektorių rinkinys, dengiantis \(V\otimes U\) erdvę. Čia \(A\otimes B\) operatoriaus tikrinės vertės, asocijuotos su tikriniais vektoriais \(\big\{|m\rangle\big\}\), yra \(A\) ir \(B\) operatorių tikrinių verčių sandaugos, \(\lambda_m = \lambda_k \lambda_l\). Pavyzdžiui, Pauli-\(Z\) operatorių tenzorinė sandauga taikant spektrinę dekompoziciją išreiškiama: \[\begin{equation} \begin{aligned} Z\otimes Z = & |0\rangle\langle 0|\otimes |0\rangle\langle 0| - |1\rangle\langle 1|\otimes |0\rangle\langle 0| - |0\rangle\langle 0|\otimes |1\rangle\langle 1| + |1\rangle\langle 1|\otimes |1\rangle\langle 1| \\ = & |00\rangle\langle 00| - |10\rangle\langle 10| - |01\rangle\langle 01| + |11\rangle\langle 11| \\ = & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.130} \end{equation}\] Matome, kad yra tik dvi skirtingos operatoriaus \(Z\otimes Z\) tikrinės vertės, \(\lambda_k \lambda_l \in (1, -1)\), ir keturi tikriniai vektoriai. Tad su šiomis tikrinėmis vertėmis susieti poerdviai yra dvigubai išsigimę.

Kvantinėje kompiuterijoje dažnai aptinkami operatoriai, kurie vienu metu keičia tik vieno kubito būseną. Pavyzdžiui, operatorius trečiam kubitui 4 kubitų registre, atliekantis Pauli-\(Y\) vartus, nekeičiant kitų, yra išreiškiamas \(I\otimes I\otimes Y\otimes I\). Operatoriai, turintys formą \(A\otimes B\otimes C\otimes D\cdots\), yra vadinami lokaliaisiais, kadangi jie atlieka operacijas su atskirais kubitais nepriklausomai nuo kitų kubitų būsenos. Bendresnio pobūdžio, vadinamosios nelokaliosios transformacijos, yra nusakomos lokaliųjų operatorių sumomis, pavyzdžiui, veikiančios du kubitus \(A\otimes B + C\otimes D\).

2.11 Operatorių funkcijos

Kvantinėje kompiuterijoje dažnai sutinkamos transformacijos, nusakomos matricų funkcijomis. Kitaip nei įprastinės funkcijos, kurių reikšmės bei vertės yra skaičiai, matricų funkcijų reikšmės bei vertės yra matricos. Laimei, kvantinėje kompiuterijoje visos matricos, naudojamos atlikti būsenų transformacijoms, priklauso normaliųjų operatorių klasei. Šiuos operatorius galime perteikti spektrine dekompozicija: \[\begin{equation} A = \sum_k \lambda_k |k \rangle\langle k| = \sum_k \lambda_k P_k\,. \tag{2.131} \end{equation}\] Analitinės normaliųjų operatorių funkcijos \(f(A)\) tada randamos paprasta žinoma formule: \[\begin{equation} f(A) = \sum_k f(\lambda_k)P_k\,. \tag{2.132} \end{equation}\] Operatoriaus funkcija \(f\) yra įvertinama imant operatoriaus \(A\) tikrines vertes \(\lambda_k\), kaip jos reikšmes, kurios daugina atitinkamus projekcinius operatorius \(P_k\). Pavyzdžiui, dažnai algoritmuose aptinkama ermitinio operatoriaus \(A\) eksponentė, \(f(\alpha A) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha A}\), kai \(\alpha\) – realusis skaičius: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha A} = \sum_k \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha\lambda_k}P_k\,. \tag{2.133} \end{equation}\] Šiuo principu galime rasti, pavyzdžiui, Pauli-\(Z\) operatoriaus (\(\lambda_0 = 1\), \(\lambda_1 = -1\)) eksponentę \(f(\alpha A) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha Z}\): \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha Z} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}|0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}|1\rangle\langle 1| = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{2.134} \end{equation}\] Kitas būdas rasti matricos eksponentę yra taikant Teiloro eilutę (angl. Taylor series): \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha Z} = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{(\mathrm{i}\alpha Z)^j}{j!}\,. \tag{2.135} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad Pauli operatoriai pasižymi savybe \(Z^j = Z\), kai \(j\) – nelyginis skaičius, ir \(Z^j = I\), kai \(j\) – lyginis skaičius. Sugrupavę lyginius bei nelyginius narius ir panaudodami kosinusų bei sinusų Teiloro eilutes randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha Z} = & \left( I - \frac{\alpha^{2}I}{2!} + \frac{\alpha^{4}I}{4!} - \cdots \right) + \left( \mathrm{i}\alpha Z - \frac{\mathrm{i}\alpha^{3}Z}{3!} + \frac{\mathrm{i}\alpha^{5}Z}{5!} - \cdots \right) \\ = & \cos(\alpha)I + \mathrm{i}\sin(a)Z\,. \end{aligned} \tag{2.136} \end{equation}\] Perteikdami \(I\) ir \(Z\) matricų forma bei taikydami Oilerio formulę prieiname prie tos pačios išraiškos: \[\begin{equation} \begin{aligned} \cos(\alpha)I + \mathrm{i}\sin(a)Z = & \begin{bmatrix} \cos(\alpha) + \mathrm{i}\sin(a) & 0 \\ 0 & \cos(\alpha) - \mathrm{i}\sin(a) \\ \end{bmatrix} \\ = & \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} \\ \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.137} \end{equation}\] Taikydami spektrinę dekompoziciją galime taip pat rasti ir normaliųjų operatorių tenzorinės sandaugos funkcijas. Pavyzdžiui, dviejų operatorių \(A\otimes B\) funkcija: \[\begin{equation} f(A\otimes B) = \sum_{k,l} f(\lambda_k \lambda_l )P_k \otimes P_l\,. \tag{2.138} \end{equation}\] Funkcijos \(f\) argumentai yra \(P_k\) ir \(P_l\) operatorius atitinkančių tikrinių verčių sandaugos \(\lambda_k \lambda_l\). Imkime Pauli-\(Z\) operatorių eksponentę \(f(A\otimes B) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha Z\otimes Z}\): \[\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha Z\otimes Z} = & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}|0\rangle\langle 0|\otimes |0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}|1\rangle\langle 1|\otimes |0\rangle\langle 0| \\ & + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha}|0\rangle\langle 0|\otimes |1\rangle\langle 1| + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}|1\rangle\langle 1|\otimes |1\rangle\langle 1| \\ = & \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha} \end{bmatrix}\,. \end{aligned} \tag{2.139} \end{equation}\]