4 skyrius. Kvantiniai loginiai vartai ir grandinės

Šiame skyriuje pateikiame įprastinių kvantinių loginių elementų arsenalą. Juos pasitelkus formuojami žemiausio loginio lygio kvantiniai algoritmai. Matysime, kaip loginės registro būsenų operacijos yra pavaizduojamos grafiškai ir kaip iš jų sekų formuojamos kvantinės grandinės.

4.1 Vieno kubito loginiai vartai

Pradėkime nuo paprasčiausių loginių elementų, atliekančių 1 kubito būsenų transformacijas. Kaip pamename, kvantiniai loginiai vartai yra nusakomi unitariniais operatoriais. Tokio operatoriaus veikimas į būseną \(|\psi\rangle\) yra pavaizduojamas grafiškai (žr. 4.1 pav.).

4.1 pav. Loginiai vartai \(U\) veikiantys būsenos \(|\psi\rangle\) kubitą.

Kiekvienam kubitui yra priskiriama atskira grandis – horizontali linija. Kvantinė grandis pati nedaro įtakos kubito būsenai ir nusako jo laisvą evoliuciją laike. Grandys yra skaitomos iš kairės į dešinę ir atspindi laike atliekamas loginių vartų sekas. Kairėje pusėje nusakoma pradinė kubito būsena, čia \(|\psi\rangle\), jai atliekami loginiai vartai \(U\) ir dešinėje išvedama pakitusi būsena \(U|\psi\rangle\). Visi 1 kubito loginiai vartai turi vieną įvedimą ir vieną išvedimą, o bendras kubitų skaičius algoritmo metu nesikeičia. Žinoma, ne visi kubitai registre turi būti panaudojami.

Čia pateikiame loginius vartus ir jų efektą skaičiuojamiesiems baziniams vektoriams \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\). Norint nusakyti, kaip loginiai vartai keičia kubito būseną, esančią superpozicijoje, pakanka žinoti, kaip loginiai vartai keičia \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) atskirai, nes operatoriai veikia tiesiniu būdu kiekvieną vektorių superpozicijoje: \[\begin{equation} U\big(|0\rangle + |1\rangle\big) = U|0\rangle + U|1\rangle\,. \tag{4.1} \end{equation}\] Skaičiavimuose galima atlikti bazinių vektorių transformaciją ir naudoti kitų bazinių vektorių rinkinį, pavyzdžiui Pauli-\(X\) tikrinius vektorius \(|0_x\rangle\) ir \(|1_x\rangle\). Svarbu prisiminti, kad loginių vartų efektas, pateiktas \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) baziniams vektoriams, bus bendrai kitoks, jeigu tie patys vartai pritaikomi, pavyzdžiui, \(|0_x\rangle\) ir \(|1_x\rangle\) ir jais išreikštoms būsenoms.

4.2 pav. matome dviejų kubitų registro kvantinės grandinės pavyzdį.

4.2 pav. 2 kubitų registro kvantinė grandinė. Matomi individualius kubitus veikiantys loginiai vartai ir abu kubitus vienu metu veikiantys \(U_3\)

Standartiškai algoritmo pradžioje kubitai yra inicijuojami į \(|0\rangle\) būsenas (nurodome ket juodame fone), o atskiri kubitai sunumeruojami simboliais \(k_1, k_2,\ldots\) . Viršuje kubitui \(k_1\) yra atliekama 1 kubito loginių vartų seka \(U_1\), \(U_2\), abu kubitus veikiantis \(U_3\) ir galiausiai \(U_4\). Atkreipiame dėmesį, kad tiesinėje algebroje pirmo kubito loginių vartų sekos efektas yra apskaičiuojamas taip: \(U_4 U_3 U_2 U_1 |0\rangle\). Tai yra, pirmiausiai operatorius \(U_1\) iš kairės daugina dešinėje vektorių \(|0\rangle\), toliau jis dauginamas su \(U_2\), \(U_3\), ir galiausiai \(U_4\). Ši atvirkštinė tvarka tarp matematinio skaičiavimo ir atvaizdavimo kvantinėse grandinėse gali būti klaidinanti. Kadangi tai yra plačiai paplitusi ir standartine tapusi vartosena, šį skirtumą belieka tik įsiminti. Norėdami formaliai išsamiai aprašyti parodytas logines operacijas, veikiančias du kubitus \(|k_1\rangle\otimes |k_2\rangle\), rašytume jas taip \((U_4\otimes U_4)(U_3)(U_2\otimes I)(U_1\otimes U_1)(|0\rangle\otimes |0\rangle)\). Operatorius \(U_3\) veikia abu kubitus, o \(U_2\) atlikimo metu kubitui \(k_2\) nepritaikoma jokia loginė operacija (laukimo stadija) – tai nusakoma vienetiniu operatoriumi \(I\).

Pradėsime nuo Pauli-\(X\), \(Y\) ir \(Z\) loginių vartų, kurių matematinės išraiškos ir savybės buvo pristatytos 2 skyriuje. Pauli-\(X\) loginiai vartai yra klasikinių NE loginių vartų atitikmuo, jie sukeičia 0 ir 1 vertes (žr. 4.3 pav.)

4.3 pav. Pauli-\(X\) loginių vartų efektas skaičiuojamiesiems baziniams vektoriams

Pauli-\(Y\) vartai taip pat sukeičia 0 ir 1 vertes, tačiau dar prideda \(\pm \pi/2\) fazę (\(\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\pi/2} = \pm\mathrm{i}\)), nusakomą menamuoju skaičiumi \(\mathrm{i}\) (žr. 4.4 pav.)

4.4 pav. Pauli-\(Y\) loginių vartų efektas

Pauli-\(Z\) vartai (žr. 4.5 pav.) nekeičia įvedamos \(|0\rangle\) būsenos, tačiau prideda \(\pi\) fazę \(|1\rangle\) būsenai (\(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -1\)).

4.5 pav. Pauli-\(Z\) loginių vartų efektas

Hadamardo vartai (žr. 4.6 pav.) suformuoja lygią \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) bazinių vektorių superpoziciją.

4.6 pav. Hadamardo loginių vartų efektas skaičiuojamiesiems baziniams vektoriams

Kaip pamename, Blocho sferoje 1 kubito būsena yra parametrizuojama dviem kampais \(\theta\) ir \(\varphi\). Čia \(\theta\) nusako kampą su \(z\) ašimi, o \(\varphi\) kampas yra skaičiuojamas nuo \(x\) ašies imant Blocho vektoriaus projekciją į \(x\)–\(y\) plokštumą. Tačiau praktikoje atliekant Blocho vektoriaus posūkius kvantiniame kompiuteryje yra dažnai naudojami loginiai vartai, kurie nusako posūkį apie vieną iš trijų Blocho sferos (\(x, y, z\)) ašių. Šie loginiai vartai yra vadinami \(R_x(\theta)\), \(R_y(\theta)\) ir \(R_z(\theta)\), parametras \(\theta\) nusako, kad posūkis atliekamas apie nurodytą ašį kampu \(\theta\): \[\begin{align} R_{x}(\theta) \equiv & \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\theta X}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I - \mathrm{i}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)X = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\mathrm{i}\sin(\theta/2) \\ -\mathrm{i}\sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \\ \end{bmatrix}\,;\tag{4.2}\\ R_y(\theta) \equiv & \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\theta Y}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I - \mathrm{i}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)Y = \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \\ \end{bmatrix}\,;\tag{4.3}\\ R_z(\theta) \equiv & \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\theta Z}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)I - \mathrm{i}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)Z = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\theta}{2}} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\theta}{2}} \\ \end{bmatrix}\,.\tag{4.4} \end{align}\]

Panagrinėkime šiek tiek plačiau \(R_z(\theta)\) loginius vartus (žr. 4.7 pav.), kuriuos kvantinėje grandinėje ir supaprastinta matricos bei diadų forma išreiškiame:

4.7 pav. Posūkio apie Blocho sferos \(z\) ašį \(R_z(\theta)\) loginių vartų efektas skaičiuojamiesiems baziniams vektoriams

\[\begin{align} R_z(\theta) \equiv & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \\ \end{bmatrix}\,;\tag{4.5}\\ R_z(\theta) = & |0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|1\rangle\langle 1|\,.\tag{4.6} \end{align}\] Supaprastinome \(R_z(\theta)\) išraišką iškeldami bendrą \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2}\) narį, kurį toliau ištrynėme. Šį narį 1 kubito loginiuose vartuose galima ignoruoti, kadangi jis daugina bendrą kubito būseną ir nusako įtakos neturinčią globalią fazę. Dėl šio supaprastinimo kampas, kuriuo vartais \(R_z(\theta)\) pasukamas Blocho vektorius apie \(z\) ašį, yra, kaip nurodyta, \(\theta\), o ne \(\theta/2\).

Kaip matome, \(R_z(\theta)\) neturi įtakos \(|0\rangle\) būsenai, bet prideda fazę \(\theta\) būsenai \(|1\rangle\). Pavyzdžiui, jeigu ši būsena būtų \(|\psi\rangle = a|0\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}b|1\rangle\), tada \(R_z(\theta)|\psi\rangle = a|0\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\alpha + \theta)} b|1\rangle\). Dėl šios savybės \(R_z(\theta)\) yra dažnai vadinami 1 kubito fazės vartais (angl. phase gate). Pauli-\(Z\) loginiai vartai yra ne kas kita, kaip \(R_z(\theta)\) su \(\theta=\pi\) (iki globalios fazės). Algoritmuose taip pat dažnai naudojami \(R_z(\pi/4)\) ir \(R_z(\pi/2)\), kurie standartiškai yra nurodomi raidėmis \(T\) ir \(S\), atitinkamai: \[\begin{align} T = & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \\ \end{bmatrix}\,;\tag{4.7} \\ S = & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \\ \end{bmatrix}\,.\tag{4.8} \end{align}\] Loginiai vartai \(S\) yra dar vadinami \(\sqrt{Z}\), kadangi \(S^2 = Z\).

Naudojant trijų operatorių su trimis skirtingais parametrais seką, \(R_x(\theta)R_y(\gamma)R_z(\varphi)\), galima formaliai išreikšti bet kokią 1 kubito būsenos unitariąją transformaciją \(U_3(\theta,\gamma,\varphi)\). Tačiau praktikoje dažniau aptinkamos vadinamosios Oilerio dekompozicijos \(N\)-\(M\)-\(N\) (angl. Euler decomposition), kuriose \(N,M \in \{ R_z, R_y, R_z\}\). Pavyzdžiui, \(Z\)-\(Y\)-\(Z\) dekompozicija, naudojanti du skirtingus rotacijos operatorius: \[\begin{equation} U_3(\theta,\gamma,\varphi) = R_z(\theta)R_y(\gamma)R_z(\varphi) = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}(\theta + \varphi)/2}\cos(\gamma/2) & -\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-\theta + \varphi)/2}\sin(\gamma/2) \\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta - \varphi)/2}\sin(\gamma/2) & \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta + \varphi)/2}\cos(\gamma/2) \\ \end{bmatrix}\,. \tag{4.9} \end{equation}\]

4.2 Kvantinių grandinių lygybės ir atvirkštiniai loginiai vartai

Yra begalė būdų pasukti vektorių Blocho sferoje į norimą orientaciją naudojant skirtingus loginius vartus. Pavyzdžiui, Hadamardo transformacija gali būti išreikšta rotacijų seka apie \(x\), \(y\), \(z\) ašis. Keletas būdų tai atlikti: \[\begin{align} H = & R_x(\pi)R_y\left(-\frac{\pi}{2}\right)\,; \tag{4.10}\\ H = & R_x\left(-\frac{\pi}{2}\right)R_z\left(-\frac{\pi}{2}\right)\,.\tag{4.11} \end{align}\] Antrąją išraišką iliustruojame 4.8 pav., kaip trajektoriją Blocho sferos paviršiuje, pradedant nuo \(|0\rangle\) būsenos iki galutinės \(|0_x\rangle\). Atkreipiame dėmesį, kad žvelgiant į teigiamą \(x\), \(y\), ar \(z\) ašį nuo sferos centro į jos išorę, posūkis teigiamu kampu \(+\theta\) apibūdinamas prieš laikrodžio rodyklę, o neigiamas \(-\theta\) pagal laikrodžio rodyklę.

4.8 pav. Ekvivalentinis \(H\) loginės operacijos realizavimas naudojant rotacijos loginius vartus \(R_x\) ir \(R_z\) pavaizduojant kubito \(|0\rangle\) vektoriaus sukimo trajektoriją Blocho sferoje. Šalia \(x, y, z\) ašių pažymėti atitinkami posūkio operatoriai ir nurodytos teigiamos \(+\theta\) sukimo kryptys

Skirtingose kvantinių procesorių architektūrose gali būti apribotas tam tikrų 1 kubito loginių vartų naudojimas. Todėl gali atsirasti poreikis sukompiliuoti kvantinę grandinę kitomis loginių vartų sekomis ar ją supaprastinti sumažinant bendrą loginių vartų skaičių. Pateikiame keletą svarbesnių 1 kubito loginių vartų lygybių pavyzdžių: \[\begin{align} HXH = & Z\,,\quad HYH = -Y\,,\quad HZH = X\,; \tag{4.12}\\ ZXZ = & -X\,,\quad ZYZ = -Y\,,\quad ZZZ = Z\,;\tag{4.13} \\ SXS^{\dagger} = & Y\,,\quad SYS^{\dagger} = -X\,,\quad SZS^{\dagger} = Z\,.\tag{4.14} \end{align}\] Kaip galime pastebėti, viršuje pateikiamos tokios loginių vartų sekos: \(KPK^{\dagger} = P'\). Čia \(P\) ir \(P'\) yra Pauli operatoriai, o \(K\) yra parenkamas iš 1 kubito Klifordo grupės (angl. Clifford group) operatorių. Šiai grupei priklausančius 1 kubito loginius vartus, tarp kurių yra ir Pauli-{\(X\), \(Y\), \(Z\)}, galima sugeneruoti vien tik \(H\) ir \(S\) loginių vartų sekomis. Viršuje matėme kaip realizuoti Pauli-\(Y\), na o \(X\) ir \(Z\) randami: \[\begin{equation} HSSH = X\,,\quad SS = Z\,. \tag{4.15} \end{equation}\]

Norėdami patikrinti, ar lygybės egzistuoja tarp skirtingų vartų sekų, galime jas nusakančias matricas tiesiog sudauginti ir palyginti, ar jos vienodos. Iliustracijai: \[\begin{equation} HXH = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & - 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ \end{bmatrix} = Z\,. \tag{4.16} \end{equation}\] Klifordo vartais taip pat galima tarpusavyje transformuoti tolydžiai parametrizuotus posūkio loginius vartus, pavyzdžiui \(R_z(\theta)\) ir \(R_x(\theta)\): \[\begin{equation} HR_z(\theta)H = R_x(\theta)\,. \tag{4.17} \end{equation}\] Naudodami matricų funkcijos \(R_z(\theta)\) išraišką, lygybę viršuje patikriname: \[\begin{equation} \begin{aligned} H\big\lbrack \cos(\theta/2)I - \mathrm{i}\sin(\theta/2)Z \big\rbrack H = & \cos(\theta/2)HIH - \mathrm{i}\sin(\theta/2)HZH \\ = & \cos(\theta/2)I - \mathrm{i}\sin(\theta/2)X = R_x(\theta)\,. \end{aligned} \tag{4.18} \end{equation}\]

Trys Pauli bei Hadamardo loginiai vartai yra ermitiniai operatoriai (\(U=U^{\dagger}\)) ir todėl patys sau atvirkštiniai. Atliekant du ermitinius operatorius vieną po kito anuliuojamas jų efektas, pavyzdžiui, \(ZZ = I\), \(HH = I\). Kitaip nei Pauli ir Hadamardo vartai, dauguma kitų kvantinių loginių vartų nėra sau atvirkštiniai. Pavyzdžiui, jau minėti \(S\) ir \(T\) nėra ermitiniai operatoriai, nes \(S\ne S^{\dagger}\) ir \(T\ne T^{\dagger}\). Tačiau, kaip ir visi unitariniai operatoriai, jie turi sau atvirkštinius operatorius. Tai yra jų ermitinės jungties operatoriai, žymimi su durklu, pavyzdžiui \(T^{\dagger}\) ir \(S^{\dagger}\): \[\begin{align} T^{\dagger} = & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/4} \\ \end{bmatrix}\,; \tag{4.19}\\ S^{\dagger} = & \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\pi/2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -\mathrm{i} \\ \end{bmatrix}\,.\tag{4.20} \end{align}\] Matome, kad ermitinėje jungtyje atsiranda minuso ženklas prie nario, nusakančio kampą. Atvirkštinių vartų efektą galima interpretuoti kaip Blocho vektoriaus sukimą apie tą pačią ašį priešinga kryptimi tokiu pačiu kampu. Dėl šios priežasties atlikus operaciją \(UU^{\dagger}|\psi\rangle = I|\psi\rangle = |\psi\rangle\) būsena nepakinta. Tai savo ruožtu reiškia, kad kvantinėse transformacijose, nusakytose unitariaisiais operatoriais, visada įmanoma grąžinti kvantinę būseną į pradinę (kitaip tariant, atsukti laiką atgal). Tam tereikia atlikti atvirkštinius loginius vartus atbuline seka.

4.3 Kubitų būsenų matavimas

Norint sužinoti kubito būseną, algoritmo vykdymo metu ar jo pabaigoje atliekamas matavimas. Šioje knygoje matavimo operacija yra žymima pusapskritimiu su rodyklyte, nukreipta į klasikinį registrą, žymimą brūkšniuota linija ir raide \(c\). Praktikoje dažnai taikomas principas, kad algoritmo gale visi kubitai yra pamatuojami, net jeigu tai nėra parodoma simboliais kvantinės grandinės pabaigoje. Matavimai standartiškai atliekami santykinai su Pauli-\(Z\) operatoriaus tikriniais vektoriais, tai yra skaičiuojamaisiais baziniais vektoriais \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\). Kubitui esant šių bazinių vektorių superpozicijoje, galimi matavimo rezultatai yra Pauli-\(Z\) tikrinės vertės \(+1\) arba \(-1\). Radus \(+1\) indikuojama, kad būsena yra \(|0\rangle\), bei \(|1\rangle\), jeigu tikrinė vertė yra \(-1\). Tai nusako vieną klasikinį bitą informacijos, o atlikus matavimą gautas rezultatas yra įrašomas klaisikiniame bitų registre.

4.9 pav. Loginė grandinė sukuria kubito \(k_1\) lygią superpoziciją ir atlieka jo būsenos matavimą. Rezultatas įrašomas klasikiniame registre \(c\)

Grandinėje 4.9 pav. yra pateiktas vienas iš paprasčiausių praktinės svarbos kvantinių algoritmų, kuris atlieka atsitiktinių skaičių generavimą (angl. random number generator). Atlikę Hadamardo transformaciją gauname lygią superpoziciją: \[\begin{equation} H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big( |0\rangle + |1\rangle \big)\,. \tag{4.21} \end{equation}\] Pamatavus šią būseną tikimybės rasti \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) yra lygios: \[\begin{equation} \big|\langle 0|\psi\rangle\big|^2 = \big|\langle 1|\psi\rangle\big|^2 = \frac{1}{2}\,. \tag{4.22} \end{equation}\] Tad po pakartotinio šio algoritmo įvykdymo yra sugeneruojama atsitiktinė dvejetainė 0 ir 1 skaičių seka. Dėl kvantinio atsitiktinumo matavimo procese, šios sekos fundamentaliai neįmanoma nuspėti.

4.4 Dviejų kubitų loginiai vartai CNOT

Dviejų kubitų vartai, veikdami \(|k_1\rangle\otimes |k_2\rangle\) būseną, atlieka sąlygines logines operacijas: „Jeigu kubitas \(k_1\) yra būsenoje \(|x\rangle\), tada kubitui \(k_2\) atliekama operacija \(U\)“. Čia \(U\) gali būti bet kokia 1 kubito būsenos unitarioji transformacija. Vienas iš plačiausiai naudojamų 2 kubitų vartų yra CNOT (angl. controlled not, trumpinys CNOT), kuriuos grandinėse vadinsime \(cX\). Pasirinktas pirmas kubitas yra naudojamas kaip kontrolinis (angl. control), nuo kurio būsenos priklauso ar antram, adresatiniam (angl. target) kubitui, bus taikomi Pauli-\(X\) loginiai vartai. Vartai \(cX\) yra iliustruojami 4.10 pav.

4.10 pav. 2 kubitų sąlyginiai loginiai vartai \(cX\) (arba CNOT)

CNOT vartus galime išreikšti diadomis ir matricos forma: \[\begin{align} cX = &|0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes X\,;\tag{4.23}\\ cX = & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\,.\tag{4.24} \end{align}\] Kaip pavyzdį imkime \(cX\), kuriame pirmas kubitas yra kontrolinis, ir pritaikykime jį \(|1\rangle\otimes|0\rangle\) būsenai: \[\begin{align} cX|1\rangle\otimes|0\rangle = & |0\rangle\langle 0|1\rangle\otimes I|0\rangle + |1\rangle\langle 1|1\rangle\otimes X|0\rangle = |1\rangle\otimes X|0\rangle = |1\rangle\otimes|1\rangle\,;\tag{4.25}\\ cX|1\rangle\otimes|0\rangle = & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\,.\tag{4.26} \end{align}\] Apibendrinus, \(cX\) vartų efektas 2 kubitų skaičiuojamiesiems baziniams vektoriams: \[\begin{align} cX|0\rangle\otimes|0\rangle = & |0\rangle\otimes|0\rangle\,;\tag{4.27} \\ cX|0\rangle\otimes|1\rangle = & |0\rangle\otimes|1\rangle\,;\tag{4.28} \\ cX|1\rangle\otimes|0\rangle = & |1\rangle\otimes|1\rangle\,;\tag{4.29} \\ cX|1\rangle\otimes|1\rangle = & |1\rangle\otimes|0\rangle\,.\tag{4.30} \end{align}\] Matome, kad kai kontrolinis kubitas yra \(|0\rangle\), antro kubito būsena nesikeičia, o jeigu kontrolinis kubitas yra \(|1\rangle\), antro kubito vertė apverčiama. Tai lengva pamatyti žvelgiant į diadų formą, kurioje Pauli-\(X\) vartai veikia kartu tik su pirmo kubito \(|1\rangle\) būsena. \(cX\) vartų efektą baziniams vektoriams galima interpretuoti ir kaip modulio(2) bitų sudėtį (\(0 + 0 = 0\), \(0 + 1 = 1\), \(1 + 0 = 1\), \(1 + 1 = 0\)), naudojančią simbolį \(\oplus\). Pritaikius \(cX\) tarp kubitų \(k_1\) ir \(k_2\), mod(2) sudėtis yra užrašoma antro kubito būsenoje: \[\begin{equation} cX|k_1 \rangle\otimes |k_2 \rangle = |k_1 \rangle\otimes |k_1 \oplus k_2 \rangle\,. \tag{4.31} \end{equation}\] Galima atsakymą užrašyti ir pirmo kubito būsenoje naudojant \(cX\) vartus, kuriuose antras kubitas yra kontrolinis, o pirmas adresatinis.

Norint aiškiau pateikti matematines lygtis gali būti pravartu indikuoti operatoriuose kontrolinį ir adresatinį kubitus. Šioje knygoje, kai bus tą pravartu daryti, CNOT vartuose nurodysime kaip pirmą skaičių kontrolinį kubitą, antrą adresatinį, pavyzdžiui \(cX_{12}\). Formulėse (4.23)–(4.24) pateikėme diadų ir matricų formas \(cX_{12}\), sukeitus juos vietomis, \(cX_{21}\), atitinkamai pasikeistų ir matematinės išraiškos: \[\begin{align} cX_{21} = & I\otimes|0\rangle\langle 0| + X\otimes|1\rangle\langle 1|\,;\tag{4.32}\\ cX_{21} = & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}\,.\tag{4.33} \end{align}\] Matėme, kaip 2 kubitų būsena keičiasi pritaikius \(cX\), kai kubitai yra viename iš bazinių vektorių. Gauti rezultatai yra identiški klasikiniams \(cX\) vartams. Tačiau kvantinėje kompiuterijoje kontrolinio kubito būsena gali būti \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijoje. Koks yra \(cX\) efektas, šiuo atveju panagrinėsime žvelgdami į 4.11 pav. grandinę.

4.11 pav. Kvantinį 2 kubitų supynimą atliekanti grandinė

Po Hadamardo transformacijos kontrolinis \(k_1\) kubitas yra lygioje superpozicijoje. Toliau yra \(cX\) vartai, kurie veikia tiesiškai kiekvieną narį superpozicijos būsenoje: \[\begin{equation} \begin{aligned} cX\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes|0\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(cX|0\rangle\otimes|0\rangle + cX|1\rangle\otimes|0\rangle\big) \\ = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle\otimes|0\rangle + |1\rangle\otimes|1\rangle\big)\,. \end{aligned} \tag{4.34} \end{equation}\] Matome, kad po šių dviejų loginių vartų sekos gavome supintą 2 kubitų būseną \(|\chi^{+}\rangle\) Belo bazinį vektorių. Naudojant Hadamardo ir \(cX\) vartus šia tvarka galima unikaliai konvertuoti skaičiuojamuosius 2 kubitų bazinius vektorius į Belo bazinius vektorius: \[\begin{equation} |00 \rangle \rightarrow |\chi^{+}\rangle\,,\quad |10 \rangle \rightarrow |\chi^{-}\rangle\,,\quad |01 \rangle \rightarrow |\eta^{+}\rangle\,,\quad |11 \rangle \rightarrow |\eta^{-}\rangle\,. \tag{4.35} \end{equation}\] Pavyzdžiui, norėdami paruošti Belo \(|\eta^{-}\rangle\) būseną, pirmiausia pakeičiame \(k_1\) ir \(k_2\) pradines būsenas į \(|11\rangle\) naudodami Pauli-\(X\) vartus ir tada vėl atliekame \(H\) ir \(cX\).

Kadangi \(cX\) operatorius yra ermitinis, atlikus vieną po kito du \(cX\) su tais pačiais kontroliniu ir adresatiniu kubitais, jų būsenos nepakinta. Kvantinio supynimo panaikinimas tarp dviejų kubitų taip pat yra atliekamas naudojant \(cX\) vartus. Pavyzdžiui, atliekant \(cX\) vartus supintajai \(|\chi^{+}\rangle\) Belo būsenai supynimas yra panaikinamas ir grįžtame į faktorizuojamąją būseną: \[\begin{equation} cX|\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes |0\rangle\,. \tag{4.36} \end{equation}\]

Kitą visiškai supintą 3 kubitų vadinamą GHZ būseną (angl. Greenberger-Horne-Zeilinger) galima gauti atlikę 4.12 pav. parodytą grandinę.

4.12 pav. Kvantinį 2 kubitų supynimą atliekanti grandinė

\[\begin{equation} |\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|000\rangle +|111\rangle\big)\,. \tag{4.37} \end{equation}\]

Užbaigdami šį poskyrį paminėsime naudingą \(cX\) loginių vartų variaciją, kurioje adresatiniam kubitui pritaikomi Pauli-\(X\) vartai, jeigu kontrolinio kubito būsena yra \(|0\rangle\), o ne \(|1\rangle\). Šio operatoriaus, vadinsime jį \(cX_0\), išraiška yra: \[\begin{equation} cX_0 = |0\rangle\langle 0|\otimes X + |1\rangle\langle 1|\otimes I\,. \tag{4.38} \end{equation}\]

Kvantinėje grandinėje \(cX_0\) vartai yra žymimi su tuščiu apskritimu kontroliniame kubite, bei gali būti paprastai konvertuojami iš standartinio \(cX\) pasitelkiant dvejus Pauli-\(X\) vartus (žr. 4.13 pav.). Pirmieji Pauli-\(X\) sukeičia kontrolinio kubito būsenas \(|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle\), o antrieji atstato jas atgal po atliktų standartinių \(cX\).

4.13 pav. 2 kubitų salyginių loginių vartų \(cX\) variacija, kurioje antro kubito būsena keičiama, jeigu pirmojo būsena \(|0\rangle\)

4.5 Tofoli loginiai vartai

Trijų kubitų sąlyginiai loginiai vartai, kuriuose du kubitai naudojami kaip kontroliniai, yra vadinami CCNOT (angl. controlled controlled NOT, trumpinys CCNOT) ir yra geriau žinomi, kaip Tofoli vartai (angl. Toffoli). Grandinėse juos žymėsime \(ccX\). Kubito vertė yra apverčiama, jeigu abu kontroliniai kubitai yra \(|1\rangle\) būsenose. 4.14 pav. iliustruojame šiuos vartus, veikiančius būseną \(|k_1\rangle\otimes|k_2\rangle\otimes|k_3\rangle\) su \(k_1\) ir \(k_2\) kontroliniais bei \(k_3\) adresatiniu kubitu. Išreiškus \(ccX\) vartus diadomis: \[\begin{equation} ccX = \big(|00\rangle\langle 00| +|01\rangle\langle 10| + |10\rangle\langle 01|\big) \otimes I + |11\rangle\langle 11|\otimes X\,. \tag{4.39} \end{equation}\] Kvantiniuose kompiuteriuose \(ccX\) vartai paprastai nėra elementarūs, tačiau sukompiliuojami iš 1 kubito ir 2 kubitų loginių vartų sekų.

4.14 pav. Toffoli loginiai vartai

4.6 SWAP ir Fredkin loginiai vartai

Loginiai vartai SWAP, grandinėse žymimi sutrumpintai \(W\), veikdami tarp dviejų kubitų \(k_1\) ir \(k_2\) sukeičia jų būsenas vietomis: \[\begin{equation} W|\psi_1\rangle\otimes |\psi_2\rangle = |\psi_2\rangle\otimes |\psi_1\rangle\,. \tag{4.40} \end{equation}\] Šie loginiai vartai efektyviai sukeičia kubitus vietomis ir todėl gali būti naudojami pergrupuoti kubitus registre. Tai yra itin naudinga situacijose, kuriuose kvantinis procesorius neturi fizinės galimybės atlikti, pavyzdžiui, \(cX\) loginių vartų tarp tam tikrų kubitų porų. Siekiant apeiti šį apribojimą galima naudoti SWAP operacijas kaskadų principu sukeičiant kubitų pozicijas į vietas, kuriuose \(cX\) loginiai vartai yra leidžiami, bei vėl grąžinti kubitus į pradines pozicijas. Šiuos vartus galima išreikšti diadomis arba matricos pavidalu taip: \[\begin{align} W = & |0\rangle\otimes|0\rangle\langle 0|\otimes\langle 0| + |0\rangle\otimes|1\rangle\langle 1|\otimes\langle 0| + |1\rangle\otimes|0\rangle\langle 0|\otimes\langle 1| + |1\rangle\otimes|1\rangle\langle 1|\otimes\langle 1| \nonumber\\ = & |00\rangle\langle 00| + |01\rangle\langle 10| + |10\rangle\langle 01| + |11\rangle\langle 11|\,; \tag{4.41} \\ W = &\begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{4.42} \end{align}\] SWAP vartai iliustruojami 4.15 pav.

4.15 pav. SWAP loginiai vartai

SWAP taip pat galima įkomponuoti į sąlyginius loginius vartus, kurie yra vadinami Fredkin vartais. Lygtyse juos žymėsime \(cW\). 4.16 pav. pavaizduoti Fredkin vartai sukeičia kubitų \(k_2\) ir \(k_3\) būsenas, jeigu kontrolinis kubitas \(k_1\) yra būsenoje \(|1\rangle\). \[\begin{equation} cW = |0\rangle\langle 0|\otimes I\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes W\,. \tag{4.43} \end{equation}\]

4.16 pav. Fredkin, arba kontroliuojami SWAP, loginiai vartai

SWAP bei Fredkin paprastai nėra elementarios kubitų transformacijos fiziniame lygmenyje, tačiau gali būti realizuojamas iš 1 kubito ir 2 kubitų loginių vartų sekų. Vienas būdas atlikti SWAP 2 kubitų būsenai naudojant \(cX\) vartus parodytas 4.17 pav.:

4.17 pav. SWAP loginių vartų realizavimas pasitelkiant tris cX loginius vartus

Loginiai vartai iSWAP, sutrumpintai \(iW\), yra tiesiogiai realizuojami kai kuriuose kvantinių procesorių architektūruose, tarp jų - grįstuose superlaidžiomis grandinėmis. Loginius vartus \(iW\) galime išreikšti diadų forma taip: \[\begin{equation} iW = |00\rangle\langle 00| + \mathrm{i}(|01\rangle\langle 10| + |10\rangle\langle 01|) + |11\rangle\langle 11|\,. \tag{4.44} \end{equation}\] Lyginant su \(W\) matome, kad būsenoms \(|01\rangle\) ir \(|10\rangle\) papildomai pritaikoma \(\mathrm{i}\) fazė.

4.7 Bendro tipo sąlyginiai loginiai vartai \(\boldsymbol{cU}\)

Bendro tipo 2 kubitų sąlyginiuose vartuose \(cU\) adresatiniam kubitui pritaikoma bet kokia 1 kubito unitarinė transformacija \(U\), jeigu pirmas kubitas yra \(|1\rangle\) būsenoje. Šiuos vartus diadų forma ir grandinėje išreiškiame: \[\begin{equation} cU = |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes U\,. \tag{4.45} \end{equation}\]

4.18 pav. Bendro tipo 2 kubitų loginiai vartai \(cU\), kuriuose antram kubitui pritaikomi bendro tipo 1 kubito loginiai vartai \(U\), kontroliuojant pirmu kubitu

Prieš pereidami prie kitų temų, atkreipsime dėmesį į 1 kubito globalios fazės svarbą 2 kubitų (ir bendrai \(n\) kubitų) loginiuose vartuose. Bendro tipo 2 kubitų transformacijose \(cU\) globali pavienių kubitų fazė tampa svarbi santykinė fazė tarp atskirų kubitų. Kaip matėme šio skyriaus pirmoje dalyje, bendriausio tipo 1-kubito loginius vartus \(U_3(\theta,\gamma,\varphi)\) galime išreikšti tokia matricos forma: \[\begin{equation} U_3 = \begin{bmatrix} a & - b^{*} \\ b & a^{*} \end{bmatrix}\,. \tag{4.46} \end{equation}\] Čia \(a\) ir \(b\) yra kompleksiniai skaičiai, o matricos \(U_3\) determinantas \(\det U_3 = |a|^{2} + |b|^{2} = 1\). Visos unitarinės \((2 \times 2)\) dydžio matricos \(U\), kurių determinantas lygus vienetui, sudaro specialiają unitarinių matricų grupę \(\mathrm{SU}(2)\). Ši grupė išsamiai apibūdina visas 1 kubito transformacijas, tačiau yra platesnės unitarinių matricų \(\mathrm{U}(2)\) grupės pogrupis, \(\mathrm{SU}(2) \subset \mathrm{U}(2)\). Unitarinę matricą \(U\), priklausančią \(\mathrm{U}(2)\), galime išreikšti sudauginant \(\mathrm{SU}(2)\) matricą \(V\) su fazės nariu, \(U = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}V\). Globalios fazės narys \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}\), veikiantis 1 kubito būseną nedaro fizinės įtakos, nes \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}V|\psi\rangle = V|\psi\rangle\). Todėl jį 1-kubito transformacijose ignoruojame. Tačiau sąlyginiuose 2 kubitų loginiuose vartuose unitarinė (1 kubito) transformacija \(U\), pritaikoma adresatiniam kubitui, gali priklausyti \(U \in \mathrm{U}(2)\), o ne \(U \in \mathrm{SU}(2)\) grupei. Pabrėždami šį aspektą toliau pateikiame sąlyginius posūkio apie \(z\) ašį vartus \(cR_z(\theta)\) bei fazės vartus \(cP(\theta)\) (angl. controlled phase gate).

Vartai \(cR_z(\theta)\) pritaiko antram kubitui posūkio operatorių \(R_z(\theta)\), jeigu pirmojo būsena yra \(|1\rangle\). Grandinėje, diadų ir matricos formoje \(cR_{z}(\theta)\) atrodo taip (žr. 4.19 pav.):

4.19 pav. Salyginiai 2 kubitų loginiai vartai \(cR_z(\theta)\)

\[\begin{align} cR_z(\theta) = & |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes R_z(\theta)\,; \tag{4.47} \\ cR_{z}(\theta) = & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{4.48} \end{align}\] Pritaikę \(cR_z(\theta)\) 2 kubitų bazinių vektorių superpozicijos būsenai \(|\psi\rangle = \big(|00\rangle + |10\rangle + |01\rangle + |11\rangle\big)/2\) randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} cR_z(\theta)|\psi\rangle = & \frac{1}{2}\Big\lbrack \big(|00\rangle + |01\rangle\big) + |1\rangle\otimes R_z(\theta)\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\Big\rbrack \\ = & \frac{1}{2}\left\lbrack |00\rangle + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2}|10\rangle + |01\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta/2}|11\rangle \right\rbrack\,. \end{aligned} \tag{4.49} \end{equation}\] Šio skyriaus pirmoje dalyje analizuodami 1 kubito vartus \(R_z(\theta)\) iškėlėme fazės narį \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2}\). Tačiau šioje situacijoje \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta/2}\) nusako svarbią santykinę fazę tarp 2 kubitų bazinių vektorių, o ne globalią visos 2 kubitų būsenos \(|\psi\rangle\) fazę. Globali 2 kubitų fazė būtų vėlgi būtų nusakoma \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}\), dauginančiu visą \(|\psi\rangle\) būseną kartu.

Sąlyginiai fazės vartai \(cP(\theta)\) matricos forma atrodo taip: \[\begin{equation} cP(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \\ \end{bmatrix}\,. \tag{4.50} \end{equation}\] Pritaikę juos tai pačiai visų 2 kubitų bazinių vektorių superpozicijos būsenai \(|\psi\rangle\) randame, kad fazė suteikiama tik \(|11\rangle\) baziniam vektoriui: \[\begin{equation} cP(\theta)|\psi\rangle = \frac{1}{2}\big\lbrack |00\rangle + |10\rangle + |01\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|11\rangle\big\rbrack\,. \tag{4.51} \end{equation}\] Vartų \(cP(\theta)\) efektas skiriasi nuo \(cR_z(\theta)\) santykine 2 kubitų faze, kuri yra „globali” antrojo kubito fazė. Norėdami formaliau perteikti 1 kubito „globalią” fazę \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}\), tokius 1 kubito fazės vartus žymime \(\Phi(\eta)\): \[\begin{equation} \Phi(\eta) = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta} & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta} \\ \end{bmatrix} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}I\,. \tag{4.52} \end{equation}\] Sąlyginiai \(c\Phi(\eta)\) vartai, kurie perteikia „globalią” \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}\) fazę adresatinio kubito \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) būsenoms, jeigu kontrolinis kubitas \(|1\rangle\) būsenoje, yra: \[\begin{align} c\Phi(\eta) = & \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta} \end{bmatrix}\,; \tag{4.53} \\ c\Phi(\eta) = & |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes\Phi(\eta) = \big( |0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}|1\rangle\langle 1| \big)\otimes I\,. \tag{4.54} \end{align}\] Iš diadinės \(c\Phi(\eta)\) dekompozicijos galima atkreipti dėmesį, kad iš tiesų nereikia vykdyti 2 kubitų sąlyginių vartų. Šie loginiai vartai susiprastina į 1 kubito loginius vartus, veikiančius vien kontrolinį kubitą, su identitetu \(\otimes I\) adresatiniam kubitui: \[\begin{equation} \begin{aligned} \Phi(\eta/2)R_z(\eta) = & \big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta/2}|0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta/2}|1\rangle\langle 1|\big) \big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\eta/2}|0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta/2}|1\rangle\langle 1|\big) \\ = & |0\rangle\langle 0| + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\eta}|1\rangle\langle 1|\,. \end{aligned} \tag{4.55} \end{equation}\] Tad sąlyginius 2 kubitų fazės vartus \(c\Phi(\eta)\) galime perteikti 1 kubito vartais, \(\Phi(\eta/2)R_z(\eta) \equiv D\): \[\begin{equation} c\Phi(\eta) = D\otimes I\,. \tag{4.56} \end{equation}\] Dabar akivaizdu, kad sąlyginius 2 kubitų santykinės fazės vartus \(cP(\theta)\) galime realizuoti pasitelkdami \(cR_z(\theta)\) ir \(c\Phi(\eta)\). (4.49) lygtyje gautai būsenai \(cR_z(\theta)|\psi\rangle\) pritaikome \(c\Phi(\eta)\) su faze \(\eta = \theta/2\): \[\begin{equation} c\Phi(\theta/2)cR_z(\theta)|\psi\rangle = cP(\theta)|\psi\rangle\,. \tag{4.57} \end{equation}\] Realiame kvantiniame kompiuteryje 2 kubitų sąlyginių loginių vartų asortimentas gali būti itin ribotas, o bendro tipo sąlyginiai vartai \(cU\) yra veikiau aukštesnio lygio loginių operacijų abstrakcija. Šios operacijos bus sudarytos iš kvantiniame kompiuteryje prieinamų elementariųjų loginių vartų. Dažnai daroma prielaida, kad iš 2 kubitų vartų yra prieinami tik \(cX\). Tad norint įvykdyti visas įmanomas \(n\) kubitų registro transformacijas universaliame kompiuteryje reikalingas būdas, kaip perteikti \(cU\) naudojant tik 1 kubito bendrus loginius vartus bei \(cX\).

Pirma dekompozicija, realizuojanti \(cU\), yra: \[\begin{equation} cU = AcXBcXC\,. \tag{4.58} \end{equation}\] Čia \(A\), \(B\) ir \(C\) yra 1 kubito loginiai vartai, kurie veikdami būseną \(|\psi\rangle\) tenkina lygybę \(ABC|\psi\rangle = I|\psi\rangle\). Ši dekompozicija yra pagrįsta teiginiu, kad bet kokį 1 kubito operatorių \(U \in \mathrm{SU}(2)\) galima išreikšti \(U = AXBXC\). Operatoriai \(A\), \(B\), \(C\) turi būti rasti kiekvienam norimam \(U\) ir yra bendrai sudaryti iš posūkio operatorių \(R_x(\theta)\), \(R_y(\theta)\), \(R_z(\theta)\).

4.20 pav. Sąlyginių loginių vartų \(cU\) realizavimas naudojant ABC dekompoziciją

4.20 pav. grandinėje matome, kad jeigu kontrolinis kubitas yra \(|0\rangle\) būsenoje, tada adresatiniam kubitui pritaikomi paeiliui trys operatoriai, \(ABC|\psi\rangle = I|\psi\rangle\) ir todėl nepakeičia jo būsenos. O štai jeigu kontrolinis kubitas yra \(|1\rangle\) būsenoje, \(AXBXC|\psi\rangle = U|\psi\rangle\), kaip ir norima. Taip pat, jeigu sąlyginiuose vartuose \(cU\) unitarusis operatorius \(U \in \mathrm{U}(2)\), tada \((D\otimes I)AXBXC|\psi\rangle = U|\psi\rangle\). Papildomi fazės vartai \(D\), veikiantys kontrolinį kubitą šios grandinės pabaigoje, leidžia teisingai perteikti norimą santykinę 2 kubitų būsenos fazę.

Loginiuose vartuose gali būti daugiau nei vienas kontrolinis kubitas. Ši aukštesnio lygio operacijų abstrakcija yra itin pravarti konstruojant logines grandines, tačiau praktikoje taip pat reikia dekompozicijos į elementarius loginius vartus jai realizuoti. 4.21 pav. pateikti 3 kubitų bendro tipo \(ccU\) ir jų dekompozicija naudojant elementarius \(cX\), 1 kubito loginius vartus \(V\) ir atvirkštinius \(V^{\dagger}\), \(V^{\dagger}V = I\). Jie yra parenkami, kad tenkintų lygybę \(VV = U\). Pavyzdžiui, Tofoli loginiai vartai gali būti išreikšti šia dekompozicija pasirinkus \(V = (1 - \mathrm{i})(I + \mathrm{i}X)/2\), nes \(VV = X\).

4.21 pav. 3 kubitų sąlyginių loginių vartų \(ccU\) realizavimas

Tofoli loginiai vartai \(ccX\) yra plačiai naudojami kvantinėse grandinėse ir juos pasitelkus galima lengvai išreikšti \(k\) skaičiumi kubitais kontroliuojamus loginius vartus \(c^{k}U\). Iliustracijai, 4.22 pav. parodyta \(ccU\) dekompozicija, naudojanti Tofoli sekas. Šį metodą panagrinėsime detaliau.

4.22 pav. 3-kubitų sąlyginių loginių vartų ccU realizavimas pasitelkiant Tofoli loginius vartus

Tofoli vartais pagrįstas metodas naudoja papildomus kubitus, vadinamus ancilomis (angl. ancilla qubits), kurios atlieka juodraščio funkciją kvantinėse grandinėse. Ancilos yra inicijuojamos į \(|a_1 a_2 \rangle = |00\rangle\) būsenas, o atlikus norimą operaciją vėl grąžinamos į pradines \(|00\rangle\). Imkime konkretų pavyzdį, kuriame \(ccU = ccP(\theta)\) nusako minėtus, tačiau dvigubai kontroliuojamus, sąlyginius 3 kubitų fazės vartus. Pritaikius \(ccP(\theta)\) 3-kubitų registrui būsena \(|k_1 k_2 k_3\rangle = |111\rangle\) įgauna fazę, \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|111\rangle\), o štai visi kiti baziniai vektoriai nėra paveikiami. Sakysime, kad 3 kubitų registras yra pradinėje lygioje visų bazinių vektorių superpozicijoje, tad kartu su dviem ancilomis (kubitais) jų būsena formoje \(|k_1 k_2 k_3 \rangle\otimes|a_1 a_2 \rangle\) yra: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle + |001\rangle + |010\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle + |110\rangle + |111\rangle\big)\otimes |00\rangle\,. \tag{4.59} \end{equation}\] Paskutiniai du kubitai yra minėtos ancilos, atskirtos tenzorių daugybos ženklu dėl aiškumo. Tolesniuose žingsniuose pritaikysime dvejus Tofoli loginius \(ccX\) vartus. Pirmasis, vadinsime jį \(ccX_1\), naudoja įvesties registro kubitus \(k_1\) ir \(k_2\) kaip kontrolinius, o adresatinis yra pirmasis ancila kubitas \(a_1\). Iš to randame: \[\begin{equation} \begin{split} ccX_1|\psi\rangle = & \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle + |001\rangle + |010\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle\big)\otimes|00\rangle \\ & + \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|110\rangle + |111\rangle\big)\otimes|10\rangle\,. \end{split} \tag{4.60} \end{equation}\] Šie vartai parenka būsenas \(|11k_3\rangle\) ir jas supina su pirmu ancila kubitu, kuriam būsena pakeičiama į \(|1\rangle\). Tolesnis \(ccX_2\) naudoja įvesties registro kubitą \(k_3\) ir ancilą \(a_1\) kaip kontrolinį kubitą, o adresatinis yra antrasis ancila kubitas \(a_2\): \[\begin{equation} \begin{split} (ccX_2)(ccX_1)|\psi\rangle = & \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle + |001\rangle + |010\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle\big)\otimes|00\rangle \\ & + \frac{1}{\sqrt{8}}|110\rangle\otimes|10\rangle + \frac{1}{\sqrt{8}}|111\rangle\otimes|11\rangle\,. \end{split} \tag{4.61} \end{equation}\] Šie vartai supina \(|111\rangle\) būseną su ancilų \(|11\rangle\) būsena. Trečiame žingsnyje pritaikome sąlyginius fazės vartus \(cP(\theta)\), kuriuose kontrolinis kubitas yra antra ancila \(a_2\), o adresatinis šiuo atveju gali būti bet kuris iš trijų įvesties kubitų, sakysime, \(k_3\): \[\begin{equation} \begin{split} cP(\theta)(ccX_2)(ccX_1)|\psi\rangle = & \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle + |001\rangle + |010\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle\big)\otimes|00\rangle \\ & + \frac{1}{\sqrt{8}}|110\rangle\otimes|10\rangle + \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}}{\sqrt{8}}|111\rangle\otimes|11\rangle\,. \end{split} \tag{4.62} \end{equation}\] Šie trys loginiai žingsniai efektyviai pritaikė fazę \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\) būsenai \(|111\rangle\). Tolesniuose dviejuose žingsniuose pritaikome Tofoli vartus atbuline tvarka siekdami atstatyti abiejų ancila kubitų būsenas atgal į \(|00\rangle\), taip paruošiant jas potencialiai tolimesniems skaičiavimams: \[\begin{equation} \begin{split} (ccX_1)(ccX_2)(cP(\theta))(ccX_2) & (ccX_1)|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle + |001\rangle + |010\rangle \\ & + |011\rangle + |100\rangle + |101\rangle + |110\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|111\rangle\big)\otimes|00\rangle\,. \end{split} \tag{4.63} \end{equation}\] Bet kokia \(k\) kontroliuojamų sąlyginių loginių vartų \(c^{k}U\) dekompozicija, pagrįsta Tofoli vartais \(ccX\), paremta iliustruotu kaskadų principu. Šiam metodui reikalingi \(2(k - 1)\) skaičius Tofoli vartų ir papildomų \(k - 1\) ancila kubitų.

Kvantinių ryšių protokoluose, klaidų taisymo ir kituose algoritmuose galima aptikti mišrių kvantinių-klasikinių loginių operacijų. 4.23 pav. parodytas grandinės pavyzdys, kuriame \(cX\) yra kontroliuojami klasikinio registro \(c\) būsenos.

4.23 pav. Mišri kvantinė-klasikinė loginė grandinė, kurioje \(k_2\) kubitui pritaikomi Pauli-\(X\), kontroliuojami klasikiniu registru

Šioje grandinėje po Hadamardo vartų kubitas \(k_1\) yra lygioje būsenų superpozicijoje, o bendra būsena: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes|0\rangle\,. \tag{4.64} \end{equation}\] Atlikus būsenos matavimą su \(k_1\) kubitu, yra lygi tikimybė rasti jį \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenoje. Šis atsakymas yra įregistruojamas klasikiniame bitų registre \(c\) kaip atitinkamai 0 arba 1 bito vertė. Jeigu bito vertė yra 1, kubitui \(k_2\) atliekami \(X\) vartai ir pakeičia būseną į \(|1\rangle\). Tad dviejų kubitų būsena tampa \(|1\rangle\otimes|1\rangle\). O štai, jeigu pirmo kubito matavimo rezultatas nusako \(|0\rangle\) būseną, tada galutinė abiejų kubitų būsena lieka \(|0\rangle\otimes|0\rangle\). Grandinė generuoja mišrią kvantinę būseną, kurią galima užrašyti tankio operatoriumi: \[\begin{equation} \rho = \frac{1}{2}|00\rangle\langle 00| + \frac{1}{2}|11\rangle\langle 11|\,. \tag{4.65} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad \(\rho\) yra nekoherentinė būsena, nes \(1/2\) nusako klasikines tikimybes, o ne kvantines amplitudes. Tačiau, jeigu realizuotume šią grandinę daug kartų ir atliktume Pauli-\(Z\) matavimus, rezultatuose matytume idealią koreliaciją tarp kubitų būsenų. Nežinant visos loginės procedūros tokiais matavimais būtų neįmanoma pasakyti, ar stebima supintoji 2 kubitų grynoji būsena nusakoma \(\rho = |\chi^{+}\rangle\langle\chi^{+}|\), ar faktorizuojamoji mišrioji \(\rho\). Kvantinių koreliacijų nebuvimas pasimatytų, pavyzdžiui, jeigu vietoj Pauli-\(Z\) matavimo atliktume nelokalųjį Belo tipo matavimą. Prie to sugrįšime kitame poskyryje.

4.8 Bendro tipo būsenų matavimai

Projekciniai kubitų būsenų matavimai gali būti atliekami bet kokių vektorių bazėje. Niekaip ypatingai neišsiskiria standartiškai naudojama Pauli-\(Z\) bazė {\(|0\rangle\), \(|1\rangle\)}. Kvantinės kriptografijos protokoluose dažnai aptinkami projekciniai matavimai Pauli-\(Z\) ir Pauli-\(X\) tikrinių vektorių bazėje. Norint atlikti Pauli-\(X\) matavimus praktiškai, nebūtina naudoti skirtingą fizinį matavimo įrenginį. Tam tereikia standartinius Pauli-\(Z\) bazinius vektorius transformuoti į tuos, kurių atžvilgiu norima matuoti būsenas, ir atlikti įprastinį Pauli-\(Z\) matavimą. Ekvivalentiškumas čia atsiranda dėl to, kad vidinės sandaugos modulio kvadrato reikšmė, randama skaičiuojant projekcinio matavimo tikimybes, nepriklauso nuo eiliškumo: \(\big|\langle\psi |\chi\rangle\big|^2 = \big|\langle\chi |\psi\rangle\big|^2\).

Kaip konkretų pavyzdį atlikime būsenos, išreikštos Pauli-\(Z\) tikriniais vektoriais \(|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\), projekcinius matavimus Pauli-X tikrinių vektorių bazėje: \[\begin{equation} |0_x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\,,\quad |1_x\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\,. \tag{4.66} \end{equation}\] Hadamardo loginiai vartai atlieka norimą transformaciją tarp šių bazinių vektorių: \(H|0\rangle = |0_x\rangle\), \(H|1\rangle = |1_x\rangle\). Atlikus kubito esančio \(|\psi\rangle\) būsenoje projekcinį matavimą {\(|0_x\rangle\), \(|1_x\rangle\)} Pauli-\(X\) bazėje, tikimybės randamos \(p = \big|\langle 0_x |\psi\rangle\big|^2 = |a + b|^2 /2\) ir \(p = \big|\langle 1_x |\psi\rangle\big|^2 = |a - b|^2 /2\). Tą patį gauname pirmiausiai atlikę \(|\psi\rangle\) būsenos transformaciją, \(H|\psi\rangle \equiv |\psi_x\rangle\), ir toliau matuodami įprastiniu būdu Pauli-\(Z\) bazėje: \(\big|\langle 0 |\psi_x \rangle\big|^2 = \big|\langle 0_x |\psi\rangle\big|^2\), \(\big|\langle 1 |\psi_x \rangle\big|^2 = \big|\langle 1_x |\psi\rangle\big|^2\).

Kadangi pabaigoje vis tiek atliekame Pauli-\(Z\) matavimą, galutinės būsenos bus tikriniai vektoriai \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\). Todėl, jeigu norima pilnai imituoti Pauli-\(X\) matavimą, reikia atlikti dar vieną Hadamardo transformaciją gautai būsenai po matavimo. Tokiu atveju, gavus bitą 0 arba 1, galutinė būsena bus deterministiškai pakeičiama į \(|0_x \rangle\) arba \(|1_x \rangle\), atitinkamai. Grandinė, atliekanti Pauli-\(X\) matavimą \(|0\rangle\) būsenai, iliustruota 4.24 pav.

4.24 pav. Grandinė, atliekanti Pauli-\(X\) matavimą \(|0\rangle\) būsenai

Atkreipiame dėmesį į praktikoje pasitaikančius iš eilės atliekamus skirtingo tipo matavimus. Pavyzdžiui, jeigu pirmiausiai \(|0_x \rangle\) kubito būsenai atliksime Pauli-\(X\) matavimus, užtikrintai rasime \(|0_x \rangle\) būseną. Tačiau Pauli-\(Z\) matavime rezultatas bus būsena \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) su \(p = 0.5\) tikimybėmis. Po Pauli-\(Z\) matavimo sekantys Pauli-\(X\) matavimai taip pat suteiktų \(|0_x \rangle\) arba \(|1_x \rangle\) su \(p = 0.5\) tikimybe, kadangi Pauli-\(Z\) matavimas pakeičia \(|0_x \rangle\) būseną į \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\). Tai formaliai išplaukia iš Haizenbergo neapibrėžtumo principo (angl. Heisenberg uncertainty principle), kuris teigia, kad dviejų (ar daugiau) nekomutatyvių ermitinių operatorių \(A\) ir \(B\), \(\lbrack A, B\rbrack \neq 0\), matavimuose, pirmojo operatoriaus matavimo rezultatas turi įtakos antrojo operatoriaus matavimo rezultatams. Kaip pamename, Pauli {\(X\), \(Y\), \(Z\)} operatoriai yra visi tarpusavyje nekomutatyvūs.

Belo projekcinis matavimo būdas (angl. Bell measurement) yra svarbus siekiant unikaliai atskirti supintąsias 2 kubitų būsenas. Vien tik 1 kubito transformacijomis ir standartiniais lokaliais matavimais neįmanoma atskleisti Belo būsenų. Šiame skyriuje minėjome, kad skaičiuojamuosius 2 kubitų bazinius vektorius galima unikaliai asocijuoti su Belo būsenomis. Belo matavimas yra pagrįstas atvirkštine kvantinio supynimo grandine, kurioje kiekviena būsena pakeičiama atgal į su ja asocijuotą 2 kubitų skaičiuojamąjį bazinį vektorių: \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle \rightarrow |00\rangle\,,\quad |\chi^{-}\rangle \rightarrow |10\rangle\,,\quad |\eta^{+}\rangle \rightarrow |01\rangle\,,\quad |\eta^{-}\rangle \rightarrow |11\rangle\,. \tag{4.67} \end{equation}\] Po šios transformacijos, atlikus Pauli-\(Z\) projekcinius matavimus su abiem kubitais galima užtikrintai sužinoti, kokia tai Belo būsena. Tai yra nedestruktyvus matavimo būdas, nes po matavimo galime vėl deterministiškai atstatyti pradinę Belo būseną. Kvantinė grandinė, atliekanti Belo matavimą, yra parodyta 4.25 pav.

4.25 pav. 2 kubitų Belo matavimas

Užbaigdami šį poskyrį sugrįžtame palyginti, kokie yra Belo matavimo rezultatai šio skyriaus ankstesniame poskyryje minėtai mišriai būsenai \(\rho\), kuri pasižymi klasikinėmis, o ne kvantinėmis koreliacijomis kaip grynoji supintoji būsena. Atlikę mišriąjai būsenai \(\rho\) Belo matavime aptinkamą \(cX\) ir \(H\) transformacijų seką randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} (H\otimes I)(cX)\rho(cX)^{\dagger}(H^{\dagger}\otimes I) = & \frac{1}{2}|00\rangle\langle 00| + \frac{1}{2}|10\rangle\langle 10| \\ = & \frac{1}{2}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\big(\langle 0| + \langle 1|\big)\otimes |0\rangle\langle 0|\,. \end{aligned} \tag{4.68} \end{equation}\] Akivaizdu, kad šis tankio operatorius yra faktorizuojamas \(\rho = \rho_1\otimes\rho_2\). Atlikus Pauli-\(Z\) matavimą, antras kubitas visada bus rastas \(|0\rangle\) būsenoje, nes \(\rho_2 = |0\rangle\langle 0|\). O štai pirmas kubitas gali būti rastas \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenoje su \(p = 0.5\) tikimybe, tad galutinė dviejų kubitų būsena bus \(|00\rangle\) arba \(|10\rangle\). Čia ir matome skirtumą, nes supintajai grynąjai būsenai \(\rho = |\chi^{+}\rangle\langle\chi^{+}|\) atlikus tą pačią loginių vartų seką, kubitų pora bus visada randama \(|00\rangle\) būsenoje. Galimybė aptikti \(|10\rangle\) būseną pradingsta dėl destruktyvios interferencijos loginėse Belo matavimo operacijose.

4.9 Universalių loginių vartų rinkinys

Skirtingų loginių vartų rinkinys, leidžiantis įvykdyti bet kokią n kubitų registro būsenų transformaciją norimu tikslumu, yra vadinamas universaliu. Barenko teorema (angl. Barenco theorem) teigia, kad kvantinių loginių vartų rinkinys \(\big\{ U_3(\theta,\gamma,\varphi), cX\big\}\) yra universalus. Todėl vien tik 1 kubito \(U_3(\theta,\gamma,\varphi)\) bei 2 kubitų \(cX\) loginių vartų kombinacijomis galima įvykdyti visus algoritmus kvantiniame kompiuteryje. Matematiškai tai reiškia, kad bet kokią \((2^n\times 2^n)\) dydžio unitarinę matricą \(U\), nusakančią vektoriaus transformaciją \(d = 2^n\) dimensijų Hilberto erdvėje, galima išskaidyti į paprastesnes \((2^n \times 2^n)\) matricas, kurių kiekviena netrivialiai veikia tik 1 kubito (2 dimensijų) ir 2 kubitų (4 dimensijų) poerdvius. Jos yra vadinamos dviejų lygių unitariosiomis matricomis (angl. two-level unitary matrix). Tiksliau, galima išskaidyti \(U = U_1 U_2\cdots U_N\), čia \(U_i\) yra 2 lygių unitariosios matricos, atlikti dekompozicijai reikalingas jų skaičius \(N\) tenkina \(N \leq d(d - 1)/2\).

Norint įvykdyti visas įmanomas 1 kubito unitarines transformacijas \(U_3(\theta,\gamma,\varphi)\) reikia, kad parametrizuoti loginiai vartai galėtų tolydžiai pasukti Blocho vektorių. Tačiau nėra žinoma, kaip atlikti tolydžiąsias transformacijas su begaliniu tikslumu turint ribotus išteklius. Tam tikrose situacijose gali būti naudingiau pakeisti riboto tikslumo tolydžiai parametrizuotus loginius vartus diskrečiaisiais, bet tiksliau veikiančiais loginiais vartais. Solovėjaus-Kitaevo teorema (angl. Solovay-Kitaev theorem) teigia, kad tolydžias 1 kubito transformacijas galima apytikriai pakeisti naudojant vien tik \(H\), \(S\), ir \(T\) loginių vartų kombinacijas. Pageidaujamai mažo dydžio bet kokių 1 kubito loginių vartų paklaida \(\varepsilon\) (angl. arbitrarily small error) gali būti pasiekta su \(O\big(\log^2(1/\varepsilon)\big)\) skaičiumi loginių vartų iš šio rinkinio. Tai bendrai yra priimtinas loginių vartų skaičiaus padidėjimas. Keturių loginių vartų rinkinys {\(H\), \(S\), \(T\), \(cX\)}, vadinamas Klifordo-T grupe (angl. Clifford-T group), yra universalus ir dažnai aptinkamas praktikoje. Egzistuoja ir kitų universaliųjų rinkinių, pavyzdžiui, {\(H\), \(ccX\)} ir {\(H\), \(S\), \(cX\), \(ccX\)}.

Šiame skyriuje trumpai paminėjome Klifordo loginių vartų grupę. Klifordo grupės 1 ir 2 kubitų loginių vartų rinkinys yra sudarytas iš {\(H\), \(S\), \(cX\)}. Ši grupė yra plačiai naudojama kvantinių klaidų taisymo algoritmuose. Nors jais pagrįsti kvantiniai algoritmai gali sukurti daug įvairių supintųjų registro būsenų, tačiau Klifordo grupė nesudaro universalaus loginių vartų rinkinio. Būtent \(T\) loginiai vartai, įtraukti Klifordo-T grupėje, negali būti pageidaujamai tiksliai išreikšti vien su {\(H\), \(S\), \(cX\)}. Gotsmano-Nilo teorema (angl. Gottesman-Knill theorem) teigia, kad Klifordo grupe pagrįsti kvantiniai algoritmai gali būti efektyviai modeliuojami klasikiniu kompiuteriu su polinominiu laiko kompleksiškumu.