9 skyrius. Kvantinių klaidų aptikimas ir taisymas
Klaidų taisymas iš pirmo žvilgsnio neatrodo itin estetiškas ar įdomus užsiėmimas. Tačiau kvantinėje kompiuterijoje tai yra viena iš labiausiai apšviečiančių ir stebinančių sričių. Dekoherencija, viena iš pagrindinių klaidų priežasčių, yra susijusi su mus supančių klasikinių reiškinių atsiradimu iš pasaulio, kuris fundamentaliai vadovaujasi kvantinėmis taisyklėmis. Dekoherencija neleidžia realizuoti makroskopinio dydžio objektų, esančių kvantinės superpozicijos būsenose. Atliekant klaidų analizę ir taisymą taip pat geriau atsiskleidžia gili informacijos sąvokos reikšmė ir supynimo svarba kvantinėje kompiuterijoje.
9.1 Klasikinės ir kvantinės klaidos
Kvantinė kompiuterija pasikliauja delikačiomis kubitų superpozicijos būsenomis. Praktikoje, kubitai nėra idealiai izoliuoti nuo aplinkos, jų neišvengiama sąveika su išorinėmis sistemomis mažina gebėjimą išlikti superpozicijos būsenose ilgą laiką. Pirmame skyriuje minėtos \(T_1\) ir \(T_2\) dekoherencijos trukmės atspindi, kaip intensyviai išorinės sąveikos vyksta su kubitais, taip pat įvardija laiko skalę, pagal kurią galima spręsti, kiek loginių operacijų įmanoma atlikti iki tol, kol neatsiras didelė klaidų tikimybė. Dekoherencija nėra vienintelis klaidų šaltinis – atliekamų loginių vartų netikslumai taip pat neišvengiami. Unitariosios operacijos yra nusakomos tolydžiai kintančiais parametrais, todėl praktikoje atsiremiama į ribotą loginių vartų tikslumą. Nepaisant šių klaidų šaltinių, praktinės svarbos pageidaujamo ilgumo kvantiniai skaičiavimai gali būti atlikti pasitelkiant klaidų taisymo algoritmus. Tam yra reikalaujama, kad dekoherencijos trukmės nebūtų per daug trumpos, o loginių vartų netikslumai – per daug dideli. Tada pasitelkus papildomus išteklius – kubitus ir logines operacijas – galima formaliai pasiekti klaidoms atsparius skaičiavimus. Šiame procese klaidos yra taisomos dinaminiškai viso skaičiavimo proceso metu. Žinoma, kvantines būsenas norima apsaugoti ir statinėse situacijose – siunčiant kubitus kvantiniais ryšiais ar saugant kvantinio kompiuterio atmintyje. Kaip matysime, panašūs principai yra taikomi abiem situacijoms.
Šiuolaikiniai klasikiniai kompiuteriai yra itin atsparūs skaičiavimo klaidoms ir šiuo atžvilgiu gali būti traktuojami kaip esantys be trūkumų. Klaidos turi didesnę tikimybę atsirasti siunčiant skaitmeninę informaciją komunikacijos kanalais ir ją užrašant į atmintį. Klaidų atsiradimas daugeliu atvejų yra nenuspėjamas (formaliau – stochastinis) ir šnekamojoje kalboje vadinamas triukšmu (angl. noise). Pagrindinis principas norint užtikrinti, kad esant triukšmui informacija nebus prarasta, yra pasitelkti papildomą, vadinamąją perteklinę informaciją. Jeigu dalis informacijos ir yra prarandama, perteklinė informacija padeda užtikrinti, kad informacijos turinys bus sėkmingai atstatytas. Šį principą taiko ir žmonės tarpusavio komunikacijoje, kai paprašoma pakartoti gerai neišgirstą sakinį. Kaip to pavyzdį kompiuterijoje imkime, kad Agnė ketina nusiųsti Benui informaciją dvejetainiu pavidalu naudodama triukšmingą komunikacijos kanalą, kuriame triukšmo efektas yra kiekvieną bitą apversti (\(0 \leftrightarrow 1)\) su tikimybe \(p\) (\(0 \leq p \leq 1\)), nepriklausomai nuo kitų bitų verčių. Tad tikimybė, kad bus gautas teisingas bitas, yra \(1 - p\). Siekdama apsaugoti dvejetainę informaciją, Agnė kiekvieną turinio bitą prieš siuntimą pakeičia trimis identiškais bitais: \(0 \rightarrow 000\), \(1 \rightarrow 111\). Šios 0 ir 1 trijų bitų sekos yra formaliai vadinamos loginiais 0 ir 1 bitais, o pasirinktas specifinis būdas perteikti bitų vertėms vadinamas kodu. Benas, žinodamas Agnės kodavimo būdą ir taikydamas daugumos balsavimo metodą (angl. majority voting), gavęs bitų seką gali nuspręsti, koks bitas jam buvo siųstas. Pavyzdžiui, jeigu gauta seka yra 001, daugumos balso principu jis nusprendžia, kad įvyko klaida trečiajame bite ir buvo siųsta \(000\). Toks trijų bitų kodavimo būdas bus sėkmingas, jeigu kode atsiranda ne daugiau nei viena klaida. Galima nesunkiai parodyti, kad bendra tikimybė, nusakanti, jog įvyks nepataisoma dviejų ar trijų bitų apvertimo klaida, yra \(3p^2 (1 - p) + p^3\). Tad palyginus su \(p\), kai siunčiamas pavienis bitas, trijų bitų kodas sumažina nepataisomų klaidų tikimybę, jeigu \(p < 0.5\), ir suteikia sparčiai didėjantį pranašumą toliau mažėjant \(p\).
Klasikiniuose klaidų taisymo koduose yra taikomas bitų kopijavimas pridedant perteklinę informaciją, o siekiant klaidas aptikti ir jas taisyti bitų sekos yra tiesiogiai nuskaitomos. Akivaizdu, kad abu šie procesai negali būti pritaikomi kvantiniam kompiuteriui ir kvantiniams ryšiams. Bendrosios kvantinės būsenos neįmanoma nukopijuoti, o tokios būsenos tiesioginis nuskaitymas sugriauna superpoziciją ir joje laikomą informaciją. Be to, bitų apvertimas yra vienintelė galima klaida klasikinėje terpėje; o štai kvantinių klaidų įvairovė yra didesnė, nes klaidos kinta tolydžiai dėl analoginio kvantinių būsenų pobūdžio. Pavyzdžiui, 1 kubito būseną \(|\psi\rangle\) nusakome Blocho vektoriumi, kuris apibūdinamas dviem tolydžiais parametrais, nurodančiais kampus. Jeigu loginiais vartais norima pasukti šį vektorių, sakykime, apie \(x\) ašį kampu \(\theta\), tačiau gaunamas \(\theta + \varepsilon\), netikslumas \(\varepsilon\) yra viena galima klaida. Tai galima formaliai užrašyti dviem unitariaisiais operatoriais, veikiančiais kubitą paeiliui: \[\begin{equation} ER_x(\theta)|\psi\rangle = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon X/2}\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta X/2}|\psi\rangle\,. \tag{9.1} \end{equation}\] Čią \(R_x(\theta) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta X/2}\) nusako tikslią operaciją, o po jos rašomas klaidos operatorius \(E = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon X/2}\). Nepageidaujamos išorinės sąveikos taip pat gali įvesti šias klaidas. Įsivaizduokime vėl, kad sąveikos efektas yra pasukti Blocho vektorių aplink x ašį kampu \(\varepsilon\), kai pradinė kubito būsena yra \(|0 \rangle\). Siekiant supaprastinti simboliką, toliau minuso ženklą ir faktorių 2 įtrauksime į \(\varepsilon\). Randame paveiktą būseną: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varepsilon X}|0\rangle = \big\lbrack\cos(\varepsilon)I + \mathrm{i}\sin(\varepsilon)X\big\rbrack|0\rangle = \cos(\varepsilon)|0\rangle + \mathrm{i}\sin(\varepsilon)|1\rangle\,. \tag{9.2} \end{equation}\] Tai formaliai nusako nepaveiktos būsenos \(|0\rangle\) ir klaidingos būsenos \(|1\rangle\) superpoziciją. Tikimybė, kad atlikus matavimą kubitas bus rastas būsenose \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\), kai \(\varepsilon\) yra itin mažas, tampa: \[\begin{align} p\big(|0\rangle\big) = & \cos^2(\varepsilon) \approx 1 - \varepsilon^2\,; \tag{9.3}\\ p\big(|1\rangle\big) = & \sin^2(\varepsilon) \approx \varepsilon^2\,.\tag{9.4} \end{align}\] Jeigu ši sąveika, ar loginių vartų paklaida, įvyktų sistemiškai \(n\) kartų, tada tikimybės būtų atitinkamai \(1 - (n\varepsilon)^2\) ir \((n\varepsilon)^2\). Itin mažos paklaidos skaičiavimo metu gali būti toleruotinos, nes tikimybė rasti klaidingą būseną bus itin maža. Tačiau dideliuose algoritmuose, tokiuose kaip atliekant Šoro pirminių skaičių faktorizavimą, loginių vartų skaičius gali siekti \(\sim 10^{10}\) ir daugiau. Loginių vartų paklaida \(\varepsilon\) atitinkamai turi būti mažesnė nei \(\sim 10^{-10}\). Šios knygos rašymo metu loginių vartų tikslumas siekia \(\sim 10^{-4}\), tad klaidų taisymo algoritmai yra pageidautini.
Kvantinis supynimas ir su juo įvedamos koreliacijos klaidų taisymo algoritmuose dar kartą iliustruoja ypatingą šio ištekliaus svarbą. Nepaisant klaidų analoginio pobūdžio ir begalinio tikslumo norint jas apibūdinti, šis išteklius užtikrina, kad reikia taisyti tik diskrečias trijų tipų klaidas. Kitaip tariant, kvantinėje kompiuterijoje klaidos yra efektyviai skaitmenizuojamos. Pirmojo tipo klaida yra, kaip ir klasikinėje skaitmeninėje kompiuterijoje, vadinama bito apvertimo klaida (angl. bit-flip error), kuri sukeičia kubito būsenas \(|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle\). Kubito apvertimo klaidos procesas yra nusakomas Pauli-\(X\) operatoriumi, kuris veikdamas bendrą superpozicijos būseną turi efektą: \[\begin{equation} X\big(a|0\rangle + b|1\rangle\big) = a|1\rangle + b|0\rangle\,. \tag{9.5} \end{equation}\] Fazės apvertimo klaida (angl. phase-flip error) yra išskirtinai kvantinio pobūdžio, nes klasikinėje kompiuterijoje fazės atitikmens nėra. Fazės apvertimo klaidos atsiradimas yra nusakomas Pauli-\(Z\) operatoriumi: \[\begin{equation} Z\big(a|0\rangle + b|1\rangle\big) = a|0\rangle - b|1\rangle\,. \tag{9.6} \end{equation}\] Matyti, kad santykinė fazė tarp \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) kubito būsenų yra pakeičiama. Galiausiai, bito ir fazės apvertimo klaidų kombinacija, \(XZ\), yra trečia galima klaida. Primename Pauli operatorių sąryšį \(XZ = -\mathrm{i}Y\). Tad šių dviejų klaidų kombinaciją iki globalios fazės galime išreikšti Pauli-\(Y\) loginiais vartais: \[\begin{equation} -\mathrm{i}Y\big(a|0\rangle + b|1\rangle\big) = a|1\rangle - b|0\rangle\,. \tag{9.7} \end{equation}\]
9.2 Kvantinis supynimas su aplinka ir klaidų atsiradimas
Loginių vartų netikslumai po kiekvieno jų pritaikymo gali įvesti tolydžiai kintančias klaidas. Sistemiškai atsirandančios vienodo tipo klaidos yra lengviau aptinkamos bei ištaisomos, na, o kintančios atsitiktiniu būdu įveda triukšmo pobūdį. Tačiau, net ir palikus kubitus ramybėje, jų būsenos gali būti paveikiamos nekontroliuojamų sąveikų su išorinėmis sistemomis. Bendrą kubitų ir aplinkos kvantinę sistemą visada galime apibūdinti kaip naują išplėstinę sistemą, kuri kinta laike deterministiškai vadovaujantis Šriodingerio lygtimi. Tačiau dėl informacijos apie įvykusias sąveikas trūkumo mūsų požiūriu bus stebimi atsitiktiniai, triukšmo pobūdžio, kubitų būsenų pokyčiai. Dėl sąveikų tarp kvantinių sistemų bendroje situacijoje atsiranda supynimas. Siekdami iliustruoti supynimo įtaką imkime paprastą pavyzdį, kuriame kubitas yra paruoštas pradinėje superpozicijos būsenoje: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\,. \tag{9.8} \end{equation}\] Jeigu atliksime šiai būsenai (idealiai veikiančius) Hadamardo loginius vartus, ji taps \(H|\psi\rangle = |0\rangle\). Tad išmatavus kubito būseną su \(p = 1\) tikimybe rasime \(|0\rangle\). Sakykime, kad prieš atliekant \(H\) kubitas patyrė sąveiką \(U\) su aplinkos sistema \(|e\rangle\), ir tai lėmė jų kvantinį supynimą ir bendrą būseną: \[\begin{equation} U|\psi\rangle\otimes|e\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle\otimes|e_1\rangle + |1\rangle\otimes|e_2\rangle\big)\,. \tag{9.9} \end{equation}\] Čia \(|e_0\rangle\) ir \(|e_1\rangle\) yra aplinkos sistemos būsenos. Nežinodami apie įvykusią sąveiką, atliekame kubitui Hadamardo vartus: \[\begin{equation} H\otimes I\big(U|\psi\rangle\otimes|e\rangle\big) = \frac{1}{2}\big(|0\rangle + |1\rangle )\otimes|e_1\rangle + \frac{1}{2}\big(|0\rangle - |1\rangle )\otimes|e_2\rangle\big)\,. \tag{9.10} \end{equation}\] Matome, kad kvantinis supynimas neleidžia panaikinti kubito būsenos \(|1\rangle\), kaip tai atsitinka dėl interferencijos \(H|\psi\rangle\). Tolesniame žingsnyje vėl išmatuojame kubito būseną, tikimybės \(p(0)\) ir \(p(1)\) rasti \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) yra: \[\begin{align} p(0) = & \frac{1}{4}\big(\langle e_1 | e_1 \rangle + \langle e_2 | e_2 \rangle + \langle e_1 | e_2 \rangle + \langle e_2 | e_1 \rangle\big) \nonumber\\ = & \frac{1}{4}\big(\langle e_1 | e_1 \rangle + \langle e_2 | e_2 \rangle + 2\mathrm{Re}\lbrack \langle e_1 | e_2 \rangle\rbrack\big)\,;\tag{9.11}\\ p(1) = & \frac{1}{4}\big(\langle e_1 | e_1 \rangle + \langle e_2 | e_2 \rangle - 2\mathrm{Re}\lbrack \langle e_1 | e_2 \rangle\rbrack\big)\,.\tag{9.12} \end{align}\] Norėdami įvertinti šias tikimybes, turime daugiau pasakyti apie išorinę sistemą. Darydami prielaidą, kad ji yra normuotoji, o būsenos ortogonaliosios, \(\langle e_1 | e_2 \rangle = 0\), randame \(p(0) = p(1) = 1/2\). Tai nusako lygias tikimybes rasti \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) pamatavus sistemos kubito būseną. Todėl nežinant apie įvykusią sąveiką ir kvantinį supynimą mūsų požiūriu atrodys, kad kubito būsena tampa visiškai atsitiktinė, o ne \(|0\rangle\), kaip tikėtasi. Informacija, koduojama bendrosios būsenos amplitudėse, tampa efektyviai nebepasiekiama, nes yra delokalizuojama koreliacijose tarp aplinkos ir kubito. Sąveikos su aplinka priveda kvantines sistemas prie dekoherencijos, dėl kurios jos panašėja į klasikines triukšmingas sistemas.
Norėdami aiškiau pamatyti, kaip atsiranda trys minėtos Pauli operatoriais nusakomos kubitų būsenų klaidos, imkime bendriausio tipo unitariąją transformaciją \(U\), veikiančią kubito ir aplinkos kvantinę sistemą. Ji nebūtinai apibūdinama dviem skirtingomis būsenomis, kaip kubitai, bet gali turėti jų daug daugiau. Transformacijos įtaka kubito standartiniams baziniams vektoriams ir aplinkos pradinei būsenai \(|e\rangle\) išreiškiama taip: \[\begin{align} U|0\rangle\otimes|e\rangle = & |0\rangle\otimes|e_1 \rangle + |1\rangle\otimes|e_2 \rangle\,;\tag{9.13} \\ U|1\rangle\otimes|e\rangle = & |0\rangle\otimes|e_3 \rangle + |1\rangle\otimes|e_4 \rangle\,.\tag{9.14} \end{align}\] Bendroje situacijoje, aplinkos sistemos būsena, kuri dalyvavo sąveikoje, gali būti nenormuotoji ir skirtingi \(|e_i \rangle\) tarpusavyje neortogonalūs, \(\langle e_i | e_j \rangle \neq 0\). Imkime bendrą kubito būseną \(|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\), tada randame: \[\begin{equation} \begin{aligned} U|\psi\rangle\otimes|e\rangle = & a\big(|0\rangle\otimes|e_1 \rangle + |1\rangle\otimes|e_2 \rangle\big) + b\big(|0\rangle\otimes|e_3 \rangle + |1\rangle\otimes|e_4 \rangle\big) \\ = & \frac{1}{2}\Big\lbrack\big(a|0\rangle + b|1\rangle\big) \otimes\big(|e_0 \rangle + |e_3 \rangle\big) + \big(a|1\rangle + b|0\rangle\big) \otimes\big(|e_1 \rangle + |e_2 \rangle\big) \\ & + \big(a|0\rangle - b|1\rangle\big) \otimes\big(|e_0 \rangle - |e_3 \rangle\big) + \big(a|1\rangle - b|0\rangle\big) \otimes\big(|e_1 \rangle - |e_2 \rangle\big)\Big\rbrack\,. \end{aligned} \tag{9.15} \end{equation}\] Antroje eilutėje pergrupavome būsenas siekdami parodyti, kad kubito sąveika su aplinka gali būti išreikšta Pauli operatoriais, veikiančiais kubito superpozicijos būseną: \[\begin{equation} U|\psi\rangle\otimes|e\rangle = I|\psi\rangle\otimes|e_I \rangle + X|\psi\rangle\otimes|e_x \rangle + Z|\psi\rangle\otimes|e_z \rangle + XZ|\psi\rangle\otimes|e_{xz}\rangle\,. \tag{9.16} \end{equation}\] Aplinkos būsenas pervadinome taip: \[\begin{equation} \begin{aligned} |e_I \rangle = & \frac{\big(|e_0 \rangle + |e_3 \rangle\big)}{2}\,,\quad |e_x \rangle = \frac{\big(|e_1 \rangle + |e_2 \rangle\big)}{2}\,,\\ |e_z \rangle = & \frac{\big(|e_0 \rangle - |e_3 \rangle\big)}{2}\,,\quad |e_{xz}\rangle = \frac{\big(|e_1 \rangle - |e_2 \rangle\big)}{2}\,. \end{aligned} \tag{9.17} \end{equation}\] Matome, kad aplinkos ir kubito sistema tampa supintąja. Pirmoji superpozicijoje būsena \(I|\psi\rangle\otimes|e_I \rangle\) įvardija nepakitusią kubito pradinę būseną. Kubito apvertimo klaida yra nusakoma nariu \(X|\psi\rangle\otimes|e_x \rangle\), o štai fazės klaida, taip pat fazės ir kubito apvertimo klaidų kombinacija nusako būsenas \(Z|\psi \rangle\otimes|e_z \rangle\) ir \(XZ|\psi \rangle\otimes|e_xz \rangle\), atitinkamai. Tai neturėtų būti stebinantis rezultatas, kadangi visos \((2 \times 2)\) dydžio unitariosios matricos, nusakančios visas įmanomas 1 kubito būsenų transformacijas, gali būti išreikštos Pauli matricų \(\{I, X, Y, Z\}\) tiesinėmis kombinacijomis.
9.3 Bito apvertimo klaidos aptikimas ir taisymas
Darome prielaidą, kad klaidos atsiranda kiekviename registro kubite atskirai nuo kitų kubitų. Tai yra vadinamosios nekoreliuotos triukšmo pobūdžio klaidos. Formaliai sakysime, kad klaidos atsiranda siunčiant kvantines būsenas per triukšmingą kvantinį kanalą (angl. noisy quantum channel). Tai gali įvardyti kubitų siuntimą kvantiniais ryšiais arba kubitų laiko evoliuciją tam tikru laiko intervalu kvantiniame kompiuteryje. Kubitas nukeliauja kanalą nepaveiktas su tikimybe \(1 - p\) ir patiria klaidą su tikimybe \(p\). Šioje stadijoje taip pat darome prielaidą, kad loginiai vartai veikia idealiai, be netikslumų. Dinaminę klaidų taisymo metodologiją, apimančią dekoherencijos ir loginių vartų efektus kartu, aptariame šio skyriaus pabaigoje.
Kvantinių klaidų taisymo algoritmai yra dažnai pristatomi pradedant nuo 3 kubitų kodų, skirtų taisyti bito apvertimo arba fazės apvertimo klaidas. Pavieniui jie nėra pilnieji kodai, galintys ištaisyti visas klaidų kombinacijas, tačiau leidžia pamatyti esminius klaidų aptikimo ir taisymo principus. Šių dviejų kodų sujungimu konkatenacijos būdu (angl. concatenation) yra pagrįstas Šoro 9 kubitų kodas – vienas iš pirmųjų gebantis ištaisyti bendrojo tipo klaidas.
Kaip ir klasikiniame bito apvertimo klaidos pavyzdyje, loginis kubitas yra sudaromas iš trijų fizinių kubitų. Vieno kubito būsena \(|\psi\rangle\) yra perteikiama loginiu kubitu \(|\psi\rangle_L\) taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle \rightarrow |\psi\rangle_L = a|0\rangle_L + b|1\rangle_L = a|000\rangle + b|111\rangle\,. \tag{9.18} \end{equation}\] Būsenos yra normuotosios, \(|a|^2 + |b|^2 = 1\), o 1 kubito baziniai vektoriai koduojami \(|0\rangle\rightarrow |000\rangle\), \(|1\rangle \rightarrow |111\rangle\). Atkreipiame dėmesį, kad loginiame kubite \(|\psi\rangle_L\) baziniai vektoriai yra „patrigubinami”, tačiau \(|\psi\rangle\) būsena nėra nukopijuojama tris kartus, \(|\psi\rangle\otimes|\psi\rangle\otimes|\psi\rangle\), ir todėl neprieštarauja uždraustojo kopijavimo teoremai. Loginis kubitas \(|\psi\rangle_L\) nusako supintąją trijų fizinių kubitų kvantinę būseną, kurią galima sukurti pradedant nuo kubito \(|\psi\rangle\) būsenoje ir dviejų papildomų kubitų \(|00\rangle\) būsenoje atliekant dvejus \(CNOT\) loginius vartus.
9.1 pav. Loginio kubito būsenos \(|\psi\rangle_L\) paruošimas naudojant 3 fizinius kubitus
Visi trys fiziniai kubitai, formuojantys loginį kubitą, gali būti paveikti triukšmo; tad šis kodas bus veiksmingas, jeigu bito apvertimo klaida atsiranda ne daugiau nei viename iš trijų kubitų. Toliau pažiūrėkime, kaip aptikti atsirandančią bito apvertimo klaidą loginiame kubite.
Tiesioginiai 3 kubitų būsenų matavimai nėra išeitis aptikti ir taisyti klaidas. Sakykime, kad atsiranda klaida pirmajame kubite, kuri pakeičia \(|\psi\rangle_L\) būseną taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle_L \rightarrow a|100\rangle + b|011\rangle\,. \tag{9.19} \end{equation}\] Atlikę Pauli-\(Z\) matavimus su visais 3 kubitais rastume \(|100\rangle\) arba \(|011\rangle\) būsenas su \(|a|^2\) ir \(|b|^2\) tikimybėmis, atitinkamai. Tai užtikrintų klaidos aptikimą, tačiau superpozicija bus sugriauta, o negalėdami sužinoti \(a\) ir \(b\) amplitudžių šios būsenos nebeatstatysime. Aptikti klaidas 3 kubitų kode galima pritaikius vadinamąjį nelokalų matavimą, pasitelkiant papildomus ancila kubitus. Atkreipiame dėmesį, kad abu kodai \(|0\rangle_L\) ir \(|1\rangle_L\) yra \(Z\otimes Z\otimes I\), \(Z\otimes I\otimes Z\) ir \(I\otimes Z\otimes Z\) operatorių tikriniai vektoriai su vienodomis tikrinėmis vertėmis \(\lambda = 1\). Pavyzdžiui, \(Z\otimes Z\otimes I|0 \rangle_L = |0\rangle_L\) ir \(Z\otimes Z\otimes I|1\rangle_L = |1\rangle_L\). Tokį dėsningumą matome iš to, kad Pauli-\(Z\) operatoriai tenzorinėje operatorių sandaugoje, veikdami pavienių kubitų būsenas \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) jas sudaugina su \(\lambda = 1\) ir \(\lambda = -1\) tikrinėmis vertėmis, atitinkamai. Tad \(Z\otimes Z\otimes I\) veikdamas pirmąjį ir antrąjį kubitus \(|000\rangle\) ir \(|111\rangle\) būsenose, arba jų superpozicijoje, sudaugina bendrą būseną su \(\lambda_1 \lambda_2 = 1\). Tačiau, jeigu vienas iš šių dviejų kubitų patyrė bito apvertimo klaidą, tada jų būsenos skirsis, o tikrinių verčių sandauga taps \(\lambda_1 \lambda_2 = -1\). Siekiant nustatyti, kuriame iš trijų kubitų įvyko klaida, pakanka atlikti du matavimus \(Z\otimes Z\otimes I\) ir \(Z\otimes I\otimes Z\), arba bet kurią iš kitų dviejų porų kombinacijos. Pavyzdžiui, jeigu \(Z\otimes Z\otimes I\) ir \(Z\otimes I\otimes Z\) matavimų tikrinės vertės yra abi \(\lambda_1 \lambda_2 = \lambda_1 \lambda_3 = -1\), galime unikaliai konstatuoti, kad įvyko klaida pirmajame kubite. Kitos dvi galimybės \(\lambda_1 \lambda_2 = -1\) ir \(\lambda_1 \lambda_3 = 1\) bei \(\lambda_1 \lambda_2 = 1\) ir \(\lambda_1 \lambda_3 = -1\) indikuoja klaidą antrajame ir trečiajame kubite, atitinkamai. Kvantinė grandinė 9.2 pav. iliustruoja bito apvertimo klaidos aptikimą ir taisymą.
9.2 pav. Bito apvertimo klaidos aptikimą ir taisymą atliekanti grandinė
Siekdami atlikti \(Z\otimes Z\otimes I\) ir \(Z\otimes I\otimes Z\) operatorių matavimus panaudojame papildomus ancila kubitus, inicializuotus pradinėje \(|00\rangle\) būsenoje. Keturi \(CNOT\) vartai su ancila adresatiniais kubitais nusako aptikimo stadiją, kuri yra pagrįsta dviejų kubitų lyginumo nustatymu. Matome, kad \(Z\otimes Z\otimes I\) matavimas realizuojamas keičiant pirmosios ancilos \(a_1\) būseną. Esant skirtingoms kubitų \(k_1\) ir \(k_2\) būsenoms, ji tampa \(|a_1 \rangle = |k_1\oplus k_2 \rangle\); čia \(\oplus\) yra \(\mod(2)\) bitų sudėtis. Tad, jeigu \(|k_1 \rangle = |k_2 \rangle\), tada \(|a_1 \rangle = |0 \rangle\), ir tai atitinka tikrinę vertę \(\lambda_1 \lambda_2 = 1\), indikuojančią lyginį lyginumą. Jeigu \(|k_1 \rangle\neq |k_2 \rangle\), tada \(|a_1 \rangle = |1\rangle\), ir tai nusako tikrinę vertę \(\lambda_1 \lambda_2 = -1\) bei nelyginį lyginumą. Operatoriaus \(Z\otimes I\otimes Z\) matavimas yra analogiškai užrašomas keičiant antrosios ancilos būseną \(|a_2 \rangle = |k_1\oplus k_3 \rangle\). Užbaigiant aptikimo stadiją, bendra loginio kubito ir ancilų su klaida pirmajame fiziniame kubite būsena tampa: \[\begin{equation} |\psi\rangle_L \rightarrow \big(a|100\rangle + b|011\rangle\big)\otimes|11\rangle\,. \tag{9.20} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad ancilos ir loginio kubito būsena yra faktorizuojamoji, todėl ancilų kubitų matavimo procesas neturi įtakos loginio kubito būsenai. Ancilų kubitų būsenos yra išmatuojamos, ir tai leidžia aptikti įvykusią klaidą. Čia svarbu atkreipti dėmesį, kad kode atlikti nelokalūs matavimai suteikia informaciją apie koreliacijas tarp dviejų būsenų, nusakančią, ar jos vienodos, ar skirtingos (lyginumas). Šios informacijos pakanka klaidų nustatymui neatskleidžiant loginio kubito būsenos amplitudžių \(a\) ir \(b\). Jų atskleidimas sugriautų superpoziciją ir joje laikomą informaciją.
| Būsena po klaidos sindromo nustatymo | Tikimybė rasti šią būseną |
|---|---|
| \(\big(a|000\rangle+b|111\rangle\big)\otimes|00\rangle\) | \((1-p)^3\) |
| \(\big(a|100\rangle+b|011\rangle\big)\otimes|11\rangle\) | \(p(1-p)^2\) |
| \(\big(a|010\rangle+b|101\rangle\big)\otimes|10\rangle\) | \(p(1-p)^2\) |
| \(\big(a|001\rangle+b|110\rangle\big)\otimes|01\rangle\) | \(p(1-p)^2\) |
| \(\big(a|110\rangle+b|001\rangle\big)\otimes|01\rangle\) | \(p^2(1-p)\) |
| \(\big(a|101\rangle+b|010\rangle\big)\otimes|10\rangle\) | \(p^2(1-p)\) |
| \(\big(a|011\rangle+b|100\rangle\big)\otimes|11\rangle\) | \(p^2(1-p)\) |
| \(\big(a|111\rangle+b|000\rangle\big)\otimes|00\rangle\) | \(p^3\) |
Visos įmanomos ancilų kubitų būsenos, šiuo atveju keturios skirtingos, yra vadinamos klaidos sindromais (angl. error syndrome). 9.1 lentelė nusako visas apvertimo klaidas kartu su atitinkamomis būsenomis ir tikimybėmis šią būseną rasti.
Pagal sindromo būseną, yra pritaikomi Pauli-\(X\) loginiai vartai pažeistam kubitui ir taip ištaisoma bito apvertimo klaida: \(|11\rangle\rightarrow X\otimes I\otimes I\), \(|10\rangle\rightarrow I\otimes X\otimes I\), \(|01\rangle\rightarrow I\otimes I\otimes X\), tačiau nieko nedaroma radus \(|00\rangle\rightarrow I\otimes I\otimes I\). Tai atliekama naudojant parodytus klasiškai kontroliuojamus loginius vartus, pritaikytus pažeistam kubitui. Šio algoritmo pabaigoje, pagal skaičiavimų paskirtį, galima atlikti dekodavimo žingsnį \(|\psi\rangle_L \rightarrow |\psi\rangle\otimes|00\rangle\), kuris panaikina loginį kubitą ir palieka vieną fizinį kubitą \(|\psi\rangle\) būsenoje. Tai yra atliekama naudojant kodavimo loginių vartų seką atvirkštine tvarka. Toliau panagrinėkime šio 3 kubitų kodo efektyvumą.
Tikimybė, kad trys pavieniai kubitai, nusiųsti per triukšmingą kvantinį kanalą, neįgaus klaidos, yra \((1 - p)^3\). O štai kiekviena iš būsenų, turinčių vieną klaidą, yra randama su tikimybe \(p(1 - p)^2\), būsenos su dviem klaidomis yra \(p^2(1 - p)\), ir \(p^3\) su trimis. Sindromą nusakančios būsenos pradeda kartotis atsiradus dviem ir daugiau klaidų. Tačiau dviejų ir trijų klaidų tikimybė yra daug mažesnė, jeigu \(p\) yra itin mažas. Bendra tikimybė, kad pateiktas trijų kubitų kodas neveiks, yra visų kubitų dviejų ir trijų klaidų tikimybių suma \(3p^2(1 - p) + p^3\), ir tai galima palyginti su tikimybe \(p\), kai nėra naudojamas klaidų taisymo kodas. Pavyzdžiui, kai \(p = 0.1\), nepataisomos klaidos tikimybė trijų kubitų kode yra \(10^2\) kartų mažesnė, o kai \(p = 0.01\), ji yra \(10^4\) mažesnė. Šios tikimybės susilygina kai \(p = 0.5\), todėl, kaip ir klasikiniame pavyzdyje, trijų kubitų taisymo metodas suteiks pranašumo prieš pavienio kubito siuntimą triukšmingu kanalu, jeigu \(p < 0.5\).
9.4 Fazės apvertimo klaidos aptikimas ir taisymas
Bito ir fazės klaidų aptikimas ir taisymas yra glaudžiai susijęs. Surinksime visą informaciją siekdami tai pademonstruoti. 4 skyriuje matėme, kad Pauli-\(Z\) loginius vartus galima išreikšti dviejų Hadamardo ir Pauli-\(X\) vartų sandauga, \(Z = HXH\) bei \(X = HZH\). Hadamardo vartai, veikdami Pauli-\(Z\) bazinius vektorius transformuoja juos į Pauli-\(X\) bazinius vektorius: \(H|0\rangle = |0_x \rangle\), \(H|1\rangle = |1_x \rangle\). O pritaikę šiems Pauli-\(Z\) vartus randame: \[\begin{equation} Z|0_x \rangle = |1_x \rangle\,,\quad Z|1_x \rangle = |0_x \rangle\,. \tag{9.21} \end{equation}\] Kitaip tariant, fazės apvertimo klaida \(\{|0\rangle , |1\rangle\}\) baziniuose vektoriuose yra ne kas kita, kaip bito apvertimo klaida \(\{|0_x \rangle , |1_x \rangle\}\) baziniuose vektoriuose. Tai reiškia, kad atitinkamai transformavę 3 kubitų bito apvertimo kodą galime jį panaudoti norėdami aptikti ir taisyti fazės klaidas.
Siųsdami kubitus per triukšmingą kvantinį kanalą, kuriame atsiranda fazės klaidos, kubito būseną \(|\psi\rangle\) koduojame dviem žingsniais. Pirmiausia, vėl „patrigubiname” bazinius vektorius: \[\begin{equation} |\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle \rightarrow a|000\rangle + b|111\rangle\,. \tag{9.22} \end{equation}\] Tolesniame žingsnyje pritaikome Hadamardo transformacijas kiekvienam iš trijų kubitų: \[\begin{equation} |\psi\rangle_L = H^{\otimes 3}\big(a|000\rangle + b|111\rangle\big) = a|0_x 0_x 0_x \rangle + b|1_x 1_x 1_x \rangle\,. \tag{9.23} \end{equation}\] 9.3 pav. pateikiame grandinę, iliustruojančią šio loginio kubito paruošimą.
9.3 pav. Loginė grandinė, paruošianti loginį kubitą, skirtą taisyti fazės klaidai
Atsiradusi fazės klaida, pavyzdžiui, pirmajame kodo kubite, pakeis loginę būseną taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle_L \rightarrow a|1_x 0_x 0_x \rangle + b|0_x 1_x 1_x \rangle\,. \tag{9.24} \end{equation}\] Norėdami pritaikyti bito apvertimo klaidos aptikimo ir taisymo algoritmą, turime pirmiausiai šią būseną transformuoti atgal į \(\{|0\rangle , |1\rangle\}\) bazinius vektorius. Atlikę Hadamardo transformacijas pažeistai būsenai randame: \[\begin{equation} H^{\otimes 3}\big(a|1_x 0_x 0_x \rangle + b|0_x 1_x 1_x \rangle\big) = a|100\rangle + b|011\rangle\,. \tag{9.25} \end{equation}\] Akivaizdu, kad šis fazės klaidų taisymo kodas turi identiškas charakteristikas bito apvertimo kodui, tad anksčiau pateikta analizė tinka ir čia.
9.5 Tolydžiosios klaidos
Bendroje situacijoje 1 kubito klaidos gali kisti tolydžiai ir yra nusakomos Blocho vektoriaus posūkio operatoriais \(R_x(\theta)\), \(R_y(\theta)\) ir \(R_z(\theta)\) aplink \(x\), \(y\) ir \(z\) ašis kampu \(\theta\). Pritaikykime tolydžiąją bito apvertimo klaidą \(R_x(\theta)\otimes I\otimes I\) pirmajam kubitui \(|\psi\rangle_L\) būsenoje 3 kubitų bito apvertimo taisymo kode: \[\begin{equation} R_{x}(\theta)\otimes I\otimes I|\psi \rangle_L = \cos(\theta/2)\big(a|000\rangle + b|111\rangle) - \mathrm{i}\sin(\theta/2)\big(a|100\rangle + b|011\rangle\big)\,. \tag{9.26} \end{equation}\] Matome loginio kubito būseną, kuri yra klaidos nepaveiktos ir paveiktos būsenos superpozicijoje. Kad aptiktume klaidą, vėl galime taikyti \(Z\otimes Z\otimes I\) ir \(Z\otimes I\otimes Z\) operatorių matavimus naudodami identišką grandinę su dviem ancila kubitais. Tai atlikę randame: \[\begin{equation} \cos(\theta/2)\big(a|000\rangle + b|111\rangle\big)\otimes|00\rangle - \mathrm{i}\sin(\theta/2)\big(a|100\rangle + b|011\rangle\big)\otimes|11\rangle\,. \tag{9.27} \end{equation}\] Ancilų nusakyta sindromo būsena \(|00 \rangle\) yra supinta su loginio kubito būsena, kuriai neįvyko klaida. O štai \(|11\rangle\) sindromo būsena yra supinta su kubitų būsena, kuriai įvyko bito apvertimo klaida. Kaip ir anksčiau, darome prielaidą, kad fizinis kubitas paveikiamas \(R_x(\theta)\) klaidos nepriklausomai nuo kitų kubitų su tikimybe \(p\). Atlikę ancilų kubitų būsenų matavimą galime rasti sindromą \(|00\rangle\) su tikimybe \(p\cos^2(\theta/2)\), dėl kurio loginio kubito būsena lieka nepažeista \(|\psi \rangle_L = a|000\rangle + b|111\rangle\). Sindromo būsena \(|11\rangle\) randama su tikimybe \(p\sin^2(\theta/2)\), o po matavimo loginio kubito būsena tampa \(X\otimes I\otimes I|\psi\rangle_L = a|100\rangle + b|011\rangle\); tai nusako bito apvertimo klaidą.
Klaidų tolydumą nusakantis faktorius \(\theta\) atsiranda šalia amplitudžių ir paveikia tik tikimybes rasti pažeistą ir nepažeistą būsenas. Šiuo atveju, tikimybė rasti pažeistą būseną tampa \(p \rightarrow p\sin^2(\theta/2)\). Atlikus ancilų kubitų matavimus \(\theta\) faktorius iškrinta, o bendra loginių kubitų ir ancilų būsena lieka faktorizuojamoji. Radus \(|a_1 a_2 \rangle = |00\rangle\) sindromą imtis veiksmų nereikia, o štai radus \(|a_1 a_2 \rangle = |11\rangle\) pritaikomi \(X\otimes I\otimes I\) loginiai vartai, ištaisantys klaidą pirmame kubite \((X\otimes I\otimes I)(X\otimes I\otimes I)|\psi\rangle_L \otimes|11\rangle = |\psi\rangle_L \otimes|11\rangle\).
Tai savo ruožtu demonstruoja itin svarbų teiginį, kad kvantinės klaidos gali būti efektyviai diskretizuojamos, nors pačios būsenos gali kisti ir tolydžiai. Tie patys metodai, taikomi taisyti diskrečiosioms kvantinėms klaidoms, kurių yra tik trys rūšys {\(X\), \(Y\), \(Z\)}, kartu ištaiso ir tolydžias klaidas.
9.6 Bendrieji klaidų taisymo principai
Šiame poskyryje pateikiame bendruosius principus, kurie įvardija, kokias klaidas kodai gali ištaisyti, ir bendrą taisymo proceso principą. Vadinkime kubitų klaidas nusakantį unitarųjį operatorių \(E\). Klaidų operatorius, veikiantis \(n\)-kubitų registrą, yra sudarytas iš \(n\) tenzorinių Pauli operatorių sandaugų sekos \({E \in \{I,X,Y,Z\}}^{\otimes n}\). Kubitų bazinius vektorius koduojančias būsenas vadinkime \(|i\rangle_L\). Pirma būtina sąlyga, norint užtikrinti klaidų taisymą, reikalauja, kad klaidų operatoriai, veikiantys skirtingas kodų būsenas, pakeistų jas į kitas, ortogonaliąsias, klaidų būsenas. Tai galime užrašyti glaustai: \[\begin{equation} \langle i| E_a^{\dagger} E_b |j\rangle_L = 0\,,\,\mathrm{jeigu}\, i \neq j\,. \tag{9.28} \end{equation}\] Jeigu skirtingų kodų būsenos \(|i\rangle_L\) ir \(|j\rangle_L\) klaidų operatoriais yra pakeičiamos į klaidų būsenas, kurios nėra ortogonalios kodų būsenoms ir kitoms klaidų būsenoms, jos nebegali būti patikimai atskirtos, ir todėl taisymas tampa neįmanomas. Šiuo atžvilgiu, klaidų operatoriai \(E\) transformuoja kodo būsenas iš kodo erdvės į vieną iš kodo erdvei ortogonalių klaidų būsenų poerdvių.
Antroji sąlyga nusako, kad atliekant matavimą sindromui nustatyti gauta informacija negali atskleisti koduojamos kubitų būsenos. Informacijos atskleidimas bendrai paveikia kvantines būsenas ir atsitiktiniu būdu jas negrąžinamai pakeičia. Šią sąlygą galima glaustai užrašyti: \[\begin{equation} \langle i|E_a^{\dagger} E_b |i\rangle_L = c_{ab}\,. \tag{9.29} \end{equation}\] Vertė \(c_{ab}\) negali priklausyti nuo būsenos \(|i\rangle_L\), nes tai atskleistų apie ją informaciją. Matavimo rezultatas gali priklausyti tik nuo klaidų operatorių \(E_a\) ir \(E_b\). Kubito apvertimo ir fazės klaidų aptikimo stadijoje matėme, kad \(Z\otimes Z\otimes I\) ir \(Z\otimes I\otimes Z\) operatorių matavimai leidžia identifikuoti kubitų būsenų lyginumą, tačiau neatskleidžia informacijos, kokios tai būsenos, tai yra jų amplitudžių. Jeigu minėtos dvi sąlygos yra užtikrintos, tada \(E_a\) ir \(E_b\) priklauso ištaisomų klaidų operatorių rinkiniui, \(\varepsilon \subseteq \{ I,X,Y,Z\}^{\otimes n}\).
Siekdami iliustruoti bendrą klaidų taisymo principą, imkime išplėstinę sistemą, sudarytą iš \(n\) kubitų registro \(|\psi\rangle\), aplinkos sistemos būsenų \(|e\rangle\) ir pradinio ancilos kubito būsenoje \(|0\rangle\): \[\begin{equation} |\Psi\rangle = |\psi\rangle\otimes|e\rangle\otimes|0\rangle\,. \tag{9.30} \end{equation}\] Šioje stadijoje kubitų registras yra veikiamas klaidų operatoriaus \(E_i\) ir supinamas su aplinkos būsenomis. Toliau atliekame unitariąją transformaciją \(U\), supinančią ir ancilos kubitą: \[\begin{equation} U|\Psi\rangle = \sum_{E_i \in \varepsilon} E_i|\psi\rangle\otimes|e_i \rangle\otimes|a_i \rangle\,. \tag{9.31} \end{equation}\] Siekiant identifikuoti ir atstatyti kodą, yra atliekama \(U|\Psi\rangle\) būsenos projekcija į vieną iš ortogonaliųjų klaidų poerdvių. Tai matėme bito ir fazės apvertimo klaidų taisyme, kuriuose ancilos kubitai yra supinami su klaidų būsenomis ir atliekamas projekcinis matavimas. Dėl tokios priežasties superpozicija yra sugriaunama ir ši būsena, su tam tikra tikimybe, pasikeičia į vieną iš galimų: \[\begin{equation} E_i|\psi\rangle\otimes|e_i \rangle\otimes|a_i \rangle\,. \tag{9.32} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad šioje stadijoje kubitų registro būsena \(E_i|\psi\rangle\) yra nebesupinta nei su aplinkos, nei su ancilų sistemų būsenomis. Tad norint atstatyti koduotą būseną yra pritaikomas atvirkštinis klaidos operatorius \(E_i^{\dagger}\), nes \(E_i^{\dagger}E_i|\psi\rangle = |\psi\rangle\).
9.7 Kvantinė Hamingo riba
Siekdami ištaisyti vieno tipo klaidą 1 kubito registre naudojome 3 kubitų kodą. Kyla natūralus klausimas, ar galima rasti kriterijų, pasakantį, kiek minimaliai reikia fizinių kubitų siekiant ištaisyti \(n\) kubitų dydžio registrą, kuriame atsiranda daugiausia \(t\) skaičius klaidų. Tai iš principo leistų ieškoti optimalaus kodo dydžio, neeikvojančio papildomų fizinių kubitų.
Kvantinė Hamingo riba (angl. quantum Hamming bound) suteikia būdą tai įvertinti klasei kodų, kurie yra lietuviškai vadinami neišsigimusiais (angl. non-degenerate). Neišsigimusiuose koduose su kiekvienu skirtingu sindromu galima susieti unikalų kubitą, kuriame įvyko klaida, ir nusakyti klaidos tipą. Klasikiniuose koduose visos klaidos yra neišsigimusios, išsigimusios atsiranda išskirtinai kvantinėje terpėje. Platesnės analizės, apimančios išsigimusius kodus, šios knygos rašymo metu dar nėra, ir lieka išsiaiškinti, ar išsigimusieji kodai gali būti efektyvesni negu neišsigimusieji ir įveikti kvantinę Hamingo ribą.
Siekdami išvesti Hamingo ribą pirmiausia įvertinsime, kiek dominančio kodo dydyje egzistuoja skirtingų klaidų. Pirmiausiai, egzistuoja \(\binom{n}{j}\) skirtingų konfigūracijų, nusakančių, kuriuose \(j\) skaičiuje kubitų iš esamų \(n\) kubitų įvyko klaida. Čia \(\binom{n}{j} = n!/j!(n - j)!\) yra kombinatorinis skaičius. Kiekvienam kubitui yra galimos trys skirtingos klaidos, nusakomos {\(X\), \(Y\), \(Z\)} operatoriais, tad skaičius \(N(t)\) klaidų iš viso yra: \[\begin{equation} N(t) = \sum_{j = 0}^t 3^j\binom{n}{j}\,. \tag{9.33} \end{equation}\] Suma indeksuojama skaičiais \(j\) ir kinta nuo 0 (nėra klaidų) iki didžiausio skaičiaus klaidų \(t\), kai \(t < n\). Pavyzdžiui, \(\binom{3}{2}\) nusako, kad trijuose kubituose galimos dvi klaidos. Dviejų klaidų išsidėstymo skaičius tarp trijų kubitų, neskaičiuojant skirtingo tipo klaidų, yra iš viso trys (\(k_1{-}k_2\), \(k_1{-}k_3\), \(k_2{-}k_3\)). Atsižvelgdami į tai, kad kiekviename iš kubitų gali būti viena iš trijų skirtingų klaidų, randame \(N(2) = 3^2\times 3 = 27\) galimų klaidų konfigūracijų.
Sakykime, kad turime \(k\) skaičių loginių kubitų, kurie yra koduojami naudojant \(n\) skaičių fizinių kubitų. Loginiai kubitai dengia \(2^k\) dimensijų vektorių erdvę, ir visos jos būsenos gali būti išreikštos \(2^k\) baziniais kodo vektoriais \(|i\rangle_L\). Pavyzdžiui, vieno loginio kubito Hilberto erdvė yra 2 dimensijų ir dengiama \(|0\rangle_L\) bei \(|1\rangle_L\). Ankstesniame poskyryje minėjome, kad taisytinų klaidų pirmoji sąlyga reikalauja, jog klaidų operatoriai, veikdami kodo būsenas, pakeistų jas į viena kitai ortogonalias klaidų būsenas. Taip pat kodo būsenos, paveiktos skirtingo klaidų operatoriaus, \(E_a\), turi būti ortogonalios toms paveiktoms \(E_b\). Tad kiekvienai skirtingai klaidai turi būti priskiriamas \(2^k\) dimensijų poerdvis. Kadangi yra \(N(t)\) skaičius skirtingų klaidų konfigūracijų (ir todėl toks pat skaičius klaidų operatorių), erdvės dimensija, talpinanti visas ortogonaliąsias klaidų būsenas (įskaitant klaidų nepažeistą būseną), turi būti bent \(N(t)2^{k}\) dydžio. Tai nusako minimalų \(n\) fizinių kubitų, koduojančių \(k\) loginius kubitus, dimensijos dydį \(2^n\). Hamingo riba randama: \[\begin{equation} \sum_{j = 0}^t 3^j \binom{n}{j}2^k \leq 2^n\,. \tag{9.34} \end{equation}\] Pavyzdžiui, \(k\) loginių kubitų, kuriems leidžiama tik viena (\(t = 1\)) bendrojo tipo kvantinė klaida, ši nelygybė yra: \[\begin{equation} (1 + 3n)2^k \leq 2^n\,. \tag{9.35} \end{equation}\] Galima patikrinti, kiek reikia minimaliai fizinių kubitų siekiant koduoti 1 loginį kubitą, kuriam leidžiama viena bendrojo tipo klaida. Šiuo atveju \(k = t = 1\) ir Hamingo riba nusako, kad \(n = 5\) suteikia lygybę. Tad neegzistuoja neišsigimusis kodas, kuris, koduodamas vieną loginį kubitą mažiau nei penkiuose fiziniuose kubituose, galėtų apsaugoti nuo visų galimų klaidų viename kubite.
Kadangi ne visi kodai yra neišsigimusieji, kvantinę Hamingo ribą galima taikyti veikiau kaip pirminį įvertinimą. Egzistuoja ir kitų kvantinių kodų ribų apibrėžimų, pavyzdžiui, kvantinė Singltono riba (angl. quantum Singleton bound) tinka abejoms kodų klasėms. Jos įrodymo čia nepateiksime, tačiau nelygybė yra: \[\begin{equation} n - k \geq 4t\,. \tag{9.36} \end{equation}\] Simboliai \(n\) ir \(k\) nusako fizinių ir loginių kubitų skaičių, atitinkamai, taip pat didžiausią klaidų paveiktų kubitų skaičių \(t\). Matome, kad mažiausias kubitų skaičius, kai \(k = t = 1\), yra \(n = 5\) ir atitinka Hamingo ribą neišsigimusiems kodams. Šis optimalus kodas gali būti užrašomas \([n, k, t] = [5, 1, 1]\).
9.8 Šoro 9 kubitų kodas
Šoro 9 kubitų kodas yra vienas iš pirmųjų atrastų kodų, leidžiančių ištaisyti bet kuriame iš 9 kubitų vieną bendriausio tipo kvantinę klaidą. Taikant viršuje minėtą susitarimą, tai formaliai yra \([n, k, t] = [9, 1, 1]\) kodas. Šoro kodas naudoja dviejų lygių konkatenaciją. Pirmajame žingsnyje įvykdomas 3 kubitų kodavimas, naudojamas apsaugoti kubitus nuo fazės apvertimo klaidos, \(|0\rangle \rightarrow |0_x 0_x 0_x \rangle\), \(|1\rangle \rightarrow |1_x 1_x 1_x \rangle\). Antrajame žingsnyje kiekvienas iš šių 3 kubitų yra toliau koduojamas dar 3 kubitais, apsaugant juos nuo bito apvertimo klaidos: \[\begin{equation} |0_x \rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}} \rightarrow \frac{|000\rangle + |111\rangle}{\sqrt{2}}\,;\quad |1_x \rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}} \rightarrow \frac{|000\rangle - |111\rangle}{\sqrt{2}}\,. \tag{9.37} \end{equation}\] Bendroje loginio kubito būsenoje \(|\psi\rangle_L = a|0\rangle_L + b|1\rangle_L\) baziniai vektoriai yra: \[\begin{align} |0\rangle_L = & \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle + |111\rangle\big) \otimes\big(|000\rangle + |111\rangle\big) \otimes\big(|000\rangle + |111\rangle\big)\nonumber\\ \equiv & |+\rangle\otimes|+\rangle\otimes|+\rangle\,;\tag{9.38}\\ |1\rangle_L = & \frac{1}{\sqrt{8}}\big(|000\rangle - |111\rangle\big) \otimes\big(|000\rangle - |111\rangle\big) \otimes\big(|000\rangle - |111\rangle\big)\nonumber\\ \equiv & |-\rangle\otimes|-\rangle\otimes|-\rangle\,.\tag{9.39} \end{align}\] Kubitus sugrupavome į tris blokus ir, siekdami supaprastinti simboliką, blokus pervadinome atitinkamai \(|+\rangle\) ir \(|-\rangle\). Grandinė atliekanti kodo paruošimą pateikta 9.4 pav.
9.4 pav. Šoro 9 kubitų kodo loginio kubito paruošimas
Kaip ir 3 kubitų kode, aptikti atsirandančioms bito apvertimo klaidoms pasitelkiami nelokalūs matavimai. Sakykime, kad atsiranda bito apvertimo klaida pirmojo bloko pirmame kubite, \(|+\rangle \rightarrow \big(|100\rangle + |011\rangle\big)\). Klaidos aptikimui pirmajame bloke taikome \(Z_1\otimes Z_2\) ir \(Z_1\otimes Z_3\) matavimus pasitelkdami du ancilų kubitus. Čia, supaprastindami simboliką, praleidome vienetinių operatorių \(I\) rašymą, tad \(Z_1\otimes Z_2 = Z\otimes Z\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\) ir \(Z_1\otimes Z_3 = Z\otimes I\otimes Z\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\otimes I\). Antrajame ir trečiajame bloke klaidos aptikimui analogiškai naudojamos \(Z_4\otimes Z_5\) ir \(Z_4\otimes Z_6\), taip pat \(Z_7\otimes Z_8\) ir \(Z_7\otimes Z_9\) operatorių poros, kurių vertės įrašomos į dar dvi poras ancilų kubitų. Tai leidžia unikaliai nustatyti, kuriame iš 9 kubitų įvyko bito apvertimo klaida, ir ją ištaisyti pritaikius atitinkamam kubitui Pauli-\(X\) loginius vartus.
Jeigu atsiranda fazės klaida, pavyzdžiui, pirmojo bloko viename iš kubitų, šio bloko būsena pakinta taip: \[\begin{align} |0\rangle_L : & \quad |000\rangle + |111\rangle\rightarrow |000\rangle - |111\rangle\,;\tag{9.40}\\ |1\rangle_L : & \quad |000\rangle - |111\rangle\rightarrow |000\rangle + |111\rangle\,.\tag{9.41} \end{align}\] Atkreipiame dėmesį, kad nesvarbu, kuris iš trijų kubitų bloke patiria fazės klaidą, to bloko būsena pasikeičia lygiai taip pat. Tad identifikuoti, kuris kubitas patyrė fazės klaidą, neįmanoma, ir dėl to Šoro kodas yra formaliai išsigimęs. Įvykus klaidai pradinė būsena \(|\psi\rangle_L\) pasikeičia taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle_L \rightarrow a|-\rangle\otimes|+\rangle\otimes|+\rangle + b|+\rangle\otimes|-\rangle\otimes|-\rangle\,. \tag{9.42} \end{equation}\] Vietoj pavienių kubitų bloke palyginimo, kaip daroma aptinkant bito apvertimo klaidą, fazės apvertimo klaidos aptikimui tarpusavyje palyginami patys blokai. Tam atlikti pasitelkiame irgi du ancilų kubitus, į kuriuos užrašomi, šiuo atveju, \(X_1\otimes X_2\otimes X_3\otimes X_4\otimes X_5\otimes X_6\) ir \(X_1\otimes X_2\otimes X_3\otimes X_7\otimes X_8\otimes X_9\) operatorių matavimų rezultatai (praleidžiame vienetinių operatorių \(I\) rašymą likusiems kubitams). Kad tai būtų lengviau suprasti, atkreipiame dėmesį, jog Šoro kodo būsenos \(|+\rangle\otimes|+\rangle\otimes|+\rangle\) ir \(|-\rangle\otimes|-\rangle\otimes|-\rangle\) yra šių operatorių tikriniai vektoriai su tikrinėmis vertėmis +1. Galime išskaidyti šias tikrines vertes į dviejų pavienių blokų tikrinių verčių sandaugas. Naudodami pirmąjį bloką kaip pavyzdį matome, kad individualių blokų būsenos \(|+\rangle\) ir \(|-\rangle\) yra trijų Pauli-\(X\) tenzorių sandaugos operatorių tikriniai vektoriai su tikrinėmis vertėmis \(\lambda = 1\) ir \(\lambda = -1\), atitinkamai: \[\begin{align} X_1\otimes X_2\otimes X_3\big(|000\rangle + |111\rangle\big ) = & |000\rangle + |111\rangle = |+\rangle\,;\tag{9.43}\\ X_1\otimes X_2\otimes X_3\big(|000\rangle - |111\rangle\big ) = & -\big(|000\rangle - |111\rangle) = - |-\rangle\,.\tag{9.44} \end{align}\] Tad bet kurių dviejų blokų būsenų, nepaveiktų klaidos, tikrinių verčių sandauga yra visada +1.
Klaidų aptikimo procese, vadindami \(X_1\otimes X_2\otimes X_3\), \(X_4\otimes X_5\otimes X_6\) ir \(X_7\otimes X_8\otimes X_9\) operatorių, veikiančių kiekvieną iš trijų kubitų blokų, tikrines vertes atitinkamai \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), užrašysime jų porų sandaugas \(\lambda_1 \lambda_2\) ir \(\lambda_1 \lambda_3\) į du ancilų kubitus. Pirmasis minėtas operatorius patikrina pirmą ir antrą blokus, o antrasis – pirmą ir trečią blokus. Jeigu viename iš blokų įvyksta fazės klaida, tikrinė vertė pasikeičia į -1 ir todėl tikrinių verčių poros sandauga tampa -1.
Norėdami realizuoti klaidų aptikimo procesą kvantinėje grandinėje, pirmiausiai Pauli-\(X\) operatorius perrašysime \(X = HZH\). Kad įvykdytume \(X\) operatorių matavimus, kiekvienam kubitui atliekame Hadamardo transformacijas \(H^{\otimes 9}\) ir Pauli-\(Z\) matavimus, pasitelkdami \(CNOT\) vartus ir ancilos kubitą. Pirmų dviejų blokų palyginimui matavimas \(Z_1\otimes Z_2\otimes Z_3\otimes Z_4\otimes Z_5\otimes Z_6\) užrašomas ancilos būsenoje \(|a_1 \rangle = |k_1\oplus k_2\oplus k_3\otimes k_4\oplus k_5\oplus k_6 \rangle\) naudojant \(\mod(2)\) bitų sudėtį. Taip randame \(|a_1 \rangle = |0\rangle\), jeigu dviejų blokų būsenos yra vienodos, ir \(|a_1 \rangle = |1\rangle\), jeigu jos skiriasi. Tai savo ruožtu atspindi \(X_1\otimes X_2\otimes X_3\otimes X_4\otimes X_5\otimes X_6\) operatoriaus \(\pm 1\) tikrines vertes. Tas pats procesas atliekamas su pirmojo ir trečiojo bloko matavimais naudojant \(Z_1\otimes Z_2\otimes Z_3\otimes Z_7\otimes Z_8\otimes Z_9\). Abiejų matavimų rezultatas užrašomas į dviejų ancilų kubitų būsenas \(|a_1 a_2 \rangle\), o standartinis Pauli-\(Z\) matavimas leidžia unikaliai nusakyti, kuriame bloke įvyko fazės klaida. Pavyzdžiui, fazės klaida loginio kubito pirmame bloke bus nusakyta šia bendra būsena: \[\begin{equation} \big(a|-\rangle\otimes|+\rangle\otimes|+\rangle + b|+\rangle\otimes|-\rangle\otimes|-\rangle\big)\otimes|11\rangle\,. \tag{9.45} \end{equation}\] Fazės klaida pirmajame bloke ištaisoma pritaikius \(Z_1\otimes Z_2\otimes Z_3\) loginius vartus. Galiausiai atliekami dar vieni Hadamardo vartai \(H^{\otimes 9}\) visiems kubitams siekiant atstatyti būsenas į \(|+\rangle\) ir \(|-\rangle\) kodų formą, o ancilos grąžinamos į \(|00 \rangle\).
Šoro kodas gali ištaisyti bendriausio tipo klaidą. Tai išplaukia iš šio skyriaus 9.2 poskyryje pateikto įrodymo, kad visas klaidas galima išreikšti Pauli operatorių \(\{I, X, Y, Z\}\) ir jų tenzorinių sandaugų tiesinėmis kombinacijomis. Todėl gebant taisyti \(X\) (bito apvertimo) ir \(Z\) (fazės apvertimo) klaidas, Šoro kode automatiškai galima taisyti ir šių dviejų klaidų kombinaciją, \(XZ = -\mathrm{i}Y.\) Šoro kodas bus efektyvus, jeigu atsiranda ne daugiau nei viena klaida 9 kubituose. Tikimybė, kad siunčiant loginį kubitą per triukšmingą kanalą nė vienas fizinis kubitas nebus pažeistas, yra \((1 - p)^9\). Čia \(p\) nusako tikimybę, kad fizinis kubitas patirs klaidą. Tikimybė, kad Šoro kode įvyks viena klaida, yra \(9p(1 - p)^8\), ir kodas leidžia ją ištaisyti. Tad dvi ar daugiau klaidų atsitiks su tikimybe \(1 - 9p(1 - p)^8 - (1 - p)^9 \approx 36p^2\), jeigu \(p\) yra itin mažas. Palyginus su pavieniu fizinio kubito siuntimu, nepataisomų klaidų tikimybės susilygina, kai \(p \approx 0.032,\) ir Šoro kodas suteikia didėjantį pranašumą toliau mažėjant \(p\).
9.9 Kodų stabilizatoriai
Iki šiol analizavome klaidų taisymo kodus pradėdami nuo kodų būsenų. Idealiai, norėtume turėti sisteminį receptą, leidžiantį sugeneruoti kodą su mus dominančiomis savybėmis – fizinių ir loginių kubitų skaičiumi, ištaisomų klaidų skaičiumi ir juose naudojamais operatoriais aptikti ir taisyti klaidas. Kodų stabilizatorių (angl. code stabilizers) formalizmas atlieka šią funkciją ir yra plačiai taikomas kvantinėje kompiuterijoje. Egzistuoja taisyklės, kaip stabilizatorių kodams konstruoti kvantines grandines, paruošiančias kodų būsenas, aptinkančias ir taisančias klaidas, taip pat leidžiančias lengviau formuluoti klaidoms atsparius skaičiavimus. Kodų stabilizatorių algoritmai gali būti realizuojami vien tik Klifordo grupės loginiais vartais {\(H\), \(S\), \(cX\)}, todėl jų veikimą galima efektyviai modeliuoti ir testuoti klasikiniais kompiuteriais. Toliau glaustai pristatome šios plačios kodų grupės įvadinius principus.
Kodų stabilizatorių formalizmas yra pagrįstas ne kvantinių būsenų, o unitariųjų operatorių analize pasitelkiant grupių teoriją (angl. group theory). Sakoma, kad būsena \(|\psi\rangle\) yra stabilizuojama operatoriaus \(K\), jeigu ji yra šio operatoriaus tikrinis vektorius su +1 tikrine verte: \[\begin{equation} K|\psi \rangle = |\psi\rangle\,. \tag{9.46} \end{equation}\] Pavyzdžiui, 1 kubito būsena \(|0\rangle\) yra stabilizuojama Pauli-\(Z\) operatoriaus, nes \(Z|0\rangle = |0\rangle\). Šoro 9 kubitų kodas yra taip pat stabilizatorių klasės kodas. Aštuoni operatoriai \(Z_1\otimes Z_2\), \(Z_1\otimes Z_3\), \(Z_4\otimes Z_5\), \(Z_4\otimes Z_6\), \(Z_7\otimes Z_8\), \(Z_7\otimes Z_9\) bei \(X_1\otimes X_2\otimes X_3\otimes X_4\otimes X_5\otimes X_6\) ir \(X_1\otimes X_2\otimes X_3\otimes X_7\otimes X_8\otimes X_9\) yra jo stabilizatoriai.
Apžvelgdami operatorių savybes stabilizuojančių \(n\)-kubitų būsenas, pirmiausiai apibūdiname 1 kubito Pauli grupę \(\mathcal{P}\), kuri yra sudaryta iš Pauli operatorių: \[\begin{equation} \mathcal{P} = \{\pm I\,, \pm \mathrm{i}I\,, \pm X\,, \pm \mathrm{i}X\,, \pm Y, \pm \mathrm{i}Y\,, \pm Z, \pm \mathrm{i}Z\, \}\,. \tag{9.47} \end{equation}\] Pauli elementų rinkinys (Pauli operatoriai kartu su juos dauginančiais skaičiais {\(\pm 1\), \(\pm \mathrm{i}\)}) formuoja grupę operatorių sandaugos operacijų atžvilgiu. Pauli grupė pratesiama \(n\) kubitų sistemoms naudojant jos elementų \(n\) tenzorių sandaugą, \(\mathcal{P}^{\otimes n}\). Galima parodyti, kad visi Pauli grupės elementai yra tarpusavyje arba komutatyvūs, arba antikomutatyvūs. Primename, kad du komutatyvūs operatoriai \(A\) ir \(B\) tenkina \(AB=BA\), ir tai standartiškai užrašoma \(\lbrack A,B\rbrack = 0\). Tačiau \(A\) ir \(B\) yra antikomutatyvūs, jeigu sandaugoje sukeitus jų vietas atsiranda minuso ženklas, \(AB = -BA\). Tai išreiškiama \(\{A, B\} = AB + BA = 0\). \(N\) kubitų stabilizatorių būsena \(|\psi\rangle\) yra nusakoma Pauli grupės \(\mathcal{P}^{\otimes n}\) operatorių pogrupe \(\mathcal{G}^{\otimes n}\), kurios visi elementai, vadinkime juos \(K_i\), yra tarpusavyje komutatyvūs. Operatorių pogrupės \(\mathcal{G}^{\otimes n}\) savybes galima glaustai užrašyti taip: \[\begin{equation} \mathcal{G}^{\otimes n} = \big\{K_i|\psi\rangle = |\psi\rangle\,, \lbrack K_i,K_j \rbrack = 0\,, \forall(i,j)\big\} \subset \mathcal{P}^{\otimes n}\,. \tag{9.48} \end{equation}\] Stabilizatorių tarpusavio komutatyvumas užtikrina, kad ir jų sandauga \(K_1 K_2 K_3\cdots\) taip pat stabilizuoja \(|\psi\rangle\). Praktiškai taip pat reikalaujame, kad stabilizatorių rinkinyje visi operatoriai būtų tiesiškai nepriklausomi – negali būti išreikšti kitų rinkinio stabilizatorių sandauga.
Stabilizatoriai \(K_i\) efektyviai užfiksuoja dalį \(n\) kubitų \(2^n\) dimensijų vektorių erdvės, kitaip tariant, jos poerdvį, kuriame atliekamas būsenų kodavimas. Imkime 2 kubitų pavyzdį, kai naudojamas Belo bazinių vektorių rinkinys {\(|\chi^{+}\rangle\), \(|\chi^{-}\rangle\), \(|\eta^{+}\rangle\), \(|\eta^{-}\rangle\)}. Galima lengvai patikrinti, kad operatorius \(X\otimes X\) unikaliai stabilizuoja \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\eta^{+}\rangle\) būsenas. Tad, jeigu naudosime poerdvį, stabilizuotą \(X\otimes X\), šias dvi 2 kubitų ortogonaliąsias būsenas galime naudoti formuodami vieną loginį kubitą: \[\begin{equation} |0\rangle_L = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\quad \mathrm{ir}\quad |1\rangle_L = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle + |10\rangle\big)\,. \tag{9.49} \end{equation}\] Taip 4 dimensijų erdvę sumažinome iki 2 dimensijų, kuri nusako vieno kubito būsenas. Šioje erdvėje operatorius \(Z\otimes Z\) leidžia atskirti \(|0\rangle_L\) ir \(|1\rangle_L\) vieną nuo kitos, nes \(Z\otimes Z|0\rangle_L = |0\rangle_L\) ir \(Z\otimes Z|1\rangle_L = -|1\rangle_L\). Jis atlieka loginio Pauli-\(Z\) rolę, žymimą su brūkšniu, \(\bar{Z} = Z\otimes Z\). Žinoma, galėtume pasirinkti ir \(Z\otimes Z\) operatorių, stabilizuojantį \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\chi^{-}\rangle\) būsenas, ir naudoti jas formuodami loginį kubitą. Tada loginis Pauli-\(Z\) būtų \(\bar{Z} = X\otimes X\) ir leistų atskirti šio loginio kubito \(|0\rangle_L\) ir \(|1\rangle_L\) būsenas. Bendrai, jeigu \(n\) kubitų koduoja \(k\) loginių kubitų, tada yra \(k\) loginių Pauli-\(Z\), \(n - k\) stabilizatorių, o loginių kubitų vektorių erdvės dimensija \(2^{n - k}\). Toks stabilizatorių kodas yra glaustai indikuojamas skliausteliuose \([n, k]\).
Kiekvienas stabilizatorius \(K_i\) yra ermitinis ir tuo pačiu unitarusis operatorius, todėl gali turėti dvi tikrines vertes, \(\lambda = 1\) ir \(\lambda = -1\). Klaidų operatoriai \(\{E_i\}\) taip pat priklauso Pauli grupės operatoriams, \(\mathcal{P}^{\otimes n}\). Todėl bet kuris \(E\) gali būti komutatyvusis arba antikomutatyvusis su tam tikru stabilizatoriumi \(K\) dominančioje \(n\) kubitų erdvėje. Jeigu \(E\) ir \(K\) yra komutatyvieji, tada: \[\begin{equation} KE|\psi\rangle = EK|\psi\rangle = E|\psi\rangle\,. \tag{9.50} \end{equation}\] Tad klaidos operatorius išsaugo \(K\) stabilizatoriaus +1 tikrinę vertę. Tačiau, jeigu \(E\) ir \(K\) yra antikomutatyvieji: \[\begin{equation} KE|\psi\rangle = - EK|\psi\rangle = - E|\psi\rangle\,. \tag{9.51} \end{equation}\] Tai galime interpretuoti kaip stabilizatorių \(K\), veikiantį klaidos paveiktą \(E|\psi\rangle = |\psi\rangle_E\) kodo būseną, \(K|\psi\rangle_E = - |\psi\rangle_E\); tai galiausiai pakeičia stabilizatoriaus tikrinę vertę į -1. Ši tikrinė vertė gali būti aptikta atlikus stabilizatoriaus matavimą siekiant taisyti klaidas. Kaip matėme Šoro 9 kubitų kode, jo stabilizatorių porų kombinacijų matavimas ir rastų tikrinių verčių kombinacijos \(\{ \pm 1, \pm 1 \}\) leidžia identifikuoti klaidą. Mat dalis kodo stabilizatorių yra antikomutatyvieji su specifiniais klaidų operatoriais, ir jų unikali kombinacija leidžia nustatyti, kokie klaidų operatoriai veikė kodo būsenas.
Formaliai \(h\) stabilizatorių turi \(2^h\) skirtingas \(\{\lambda_i, \lambda_j\}\) kombinacijas ir todėl gali identifikuoti tokį skaičių skirtingų klaidų būsenų (įskaitant nepažeistą būseną). Pavyzdžiui, 1 loginio kubito, apsaugoto nuo vienos bendriausios klaidos 5 kubitų kode \([5,1,1]\), Hamingo riba yra \(1 + 3 \cdot 5 \geq 2^4\). Keturi stabilizatoriai identifikuoja \(2^4= 16\) ortogonaliuosius 2 dimensijų klaidų būsenų poerdvius ir todėl suteikia lygybę Hamingo riboje. Šio optimalaus 5 kubitų kodo stabilizatoriai yra: \[\begin{align} K_1 = & X\otimes Z\otimes Z\otimes X\otimes I\,;\tag{9.52} \\ K_2 = & I\otimes X\otimes Z\otimes Z\otimes X\,;\tag{9.53} \\ K_3 = & X\otimes I\otimes X\otimes Z\otimes Z\,;\tag{9.54} \\ K_4 = & Z\otimes X\otimes I\otimes X\otimes Z\,.\tag{9.55} \end{align}\] Atkreipiame dėmesį, kad cikliškai pakeistas operatorius \(K_5 = Z\otimes Z\otimes X\otimes I\otimes X\) nėra tiesiškai nepriklausomas, nes gali būti išreikštas sandauga, \(K_5 = K_1 K_2 K_3 K_4\). Penktasis operatorius, \(\bar{Z} = Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\otimes Z\), yra komutatyvus su keturiais šio kodo stabilizatoriais ir atlieka loginio Pauli-\(Z\) vaidmenį. Taip pat yra apibūdinamas ir loginis Pauli-\(X\) operatorius, \(\bar{X} = X\otimes X\otimes X\otimes X\otimes X\), kuris konvertuoja logines būsenas vieną tarp kitos \(\bar{X}|0\rangle_L = |1\rangle_L\), \(\bar{X}|1\rangle_L = |0\rangle_L\).
Toliau panagrinėkime, kaip sugeneruoti kodo būsenas iš pateiktų stabilizatorių rinkinio. Kodo stabilizatoriai bei loginiai Pauli-\(Z\) yra unitariniai ir kartu ermitiniai operatoriai, tad turi dvi tikrines vertes, +1 ir -1. Taikant spektrinę dekompoziciją, tokį \(n\) kubitų būsenas veikiantį operatorių \(K\) galima užrašyti: \[\begin{equation} K = \sum_{\lambda} \lambda P(\lambda) = P(1) - P(-1)\,. \tag{9.56} \end{equation}\] Pasitelkdami projekcinius operatorius \(P(1)\) ir \(P(-1)\) į vektorių poerdvius, asocijuotus su +1 ir -1 tikrinėmis vertėmis, atitinkamai, bei jų pilnumo savybę \(P(1) + P(-1) = I\), randame: \[\begin{equation} P(1) = \frac{I + K}{2}\,,\quad P(-1) = \frac{I - K}{2}\,. \tag{9.57} \end{equation}\] Bet kokią \(n\) kubitų būseną \(|\psi\rangle\) galima išreikšti jos projekcijų į \(\pm 1\) stabilizatoriaus \(K\) poerdvių būsenas superpozicija: \[\begin{equation} |\psi\rangle = P(1)|\psi\rangle + P(-1)|\psi\rangle\,. \tag{9.58} \end{equation}\] Norint paruošti stabilizatorių rinkinio kodo būseną \(|0\rangle_L\), užduotis yra atlikti pradinės registro būsenos, standartiškai \(|0\rangle^{\otimes n}\), projekciją į \(h\) skaičiaus stabilizatorių rinkinio bendrą +1 poerdvį bei +1 loginio Pauli-\(Z\). Jeigu, sakykime, turime tris tarpusavyje komutatyvius ermitinius operatorius \(K_1, K_2, K_3\), tada projekcinis operatorius į jų bendrą +1 poerdvį, nusakytą \(P(1)\), bus atitinkamai trijų projekcinių operatorių sandauga, \(P(1) = P_1(1)P_2(1)P_3(1)\). Norint paruošti \(|1\rangle_L\), projekcija atliekama į +1 stabilizatorių poerdvį bei loginio Pauli-\(Z\) -1 poerdvį.
Optimalaus \([5, 1, 1]\) kodo atveju pradedame nuo \(|00000\rangle\) ir \(|11111\rangle\) registro būsenų, kurios yra \(\bar{Z}\) tikriniai vektoriai su \(\pm 1\) tikrinėmis vertėmis, atitinkamai. Kodo būsenas (normuotąsias) randame atlikdami projekciją į bendrą keturių stabilizatorių +1 poerdvį: \[\begin{align} |0\rangle_L = & \frac{1}{4}(I + K_1)\otimes(I + K_2)\otimes(I + K_3)\otimes(I + K_4)|00000\rangle\,;\tag{9.59}\\ |1\rangle_L = & \frac{1}{4}(I + K_1)\otimes(I + K_2)\otimes(I + K_3)\otimes(I + K_4)|11111\rangle\,.\tag{9.60} \end{align}\] Hadamardo testo kvantinė grandinė (žr. 6.7.1 poskyrį) gali atlikti norimą projekciją. Atkreipiame dėmesį, kad galutinė Hadamardo testo būsena \(|\chi\rangle\) turi ieškomąją formą: \[\begin{equation} \begin{aligned} |\chi\rangle = & |0\rangle\otimes\left(\frac{I + K}{2}\right)|\psi\rangle + |1\rangle\otimes\left(\frac{I - K}{2}\right)|\psi\rangle \\ = & |0\rangle\otimes P(1)|\psi\rangle + |1\rangle\otimes P(-1)|\psi\rangle\,. \end{aligned} \tag{9.61} \end{equation}\] Atlikus ancilos kubito (pirmasis registras) Pauli-\(Z\) matavimą, pagal tai, ar bus rasta \(|0\rangle,\) ar \(|1\rangle\) būsena, antrojo kubito būsenai \(|\psi\rangle\) bus atlikta projekcija į \(K\) operatoriaus +1 arba -1 tikrinių verčių poerdvį, atitinkamai. Šis metodas yra elementariai praplečiamas \(n\) kubitų sistemai pasitelkiant daugiau ancilų kubitų, o \(K\) gali nusakyti kodų stabilizatorių rinkinio bendrąjį matavimą. Tad jeigu randama +1 ancilos tikrinė vertė, pradinė būsena yra konvertuojama į norimo stabilizatorių kodo būseną. Radus -1 tikrinę vertę, pasitelkus ancilų matavimus atliekama klaidų taisymo stadijai identiška grandinė, konvertuojanti šią būseną į +1 tikrinės vertės būseną. Taip paruošus, pavyzdžiui, loginį \(|0\rangle_L\), kode apibrėžtu loginiu Pauli-\(X\) galima konvertuoti \(|0\rangle_L\) į \(|1\rangle_L\), \(\bar{X}|0\rangle_L = |1\rangle_L\).
9.10 Klaidoms atsparus skaičiavimas
Iki šiol pristatytuose klaidų protokoluose darėme prielaidą, kad klaidos atsiranda tik tada, kai nėra atliekami loginiai vartai ar kubitų matavimai, ancilų kubitai patys nepatiria klaidų, ir kad loginiai vartai yra absoliučiai tikslūs. Šios prielaidos nėra realistinės. Klaidoms atsparus skaičiavimas yra kvantinių grandinių dizaino metodologija, kuri kartu su klaidų taisymo algoritmais leidžia sėkmingai įvykdyti skaičiavimus, kai visi skaičiavimo elementai ir atmintyje laikomi kubitai gali patirti klaidas.
Klaidoms atsparus skaičiavimas yra pagrįstas klaidų sklidimo užkirtimu. Galime įvardyti du pagrindinius šaltinius, kurie leidžia pasklisti klaidoms kvantinėse grandinėse. Pirmasis – tai loginiai vartai. Akivaizdu, kad loginiai vartai, veikiantys tik vieną kubitą, nesugeba leisti klaidoms daugintis ir propaguoti neteisingą informaciją. Tačiau, jeigu 2 kubitų \(cX\) loginiuose vartuose kontrolinis kubitas patyrė klaidą, tada ši klaida bus perteikta į adresatinį kubitą ir kaskados principu gali sklisti toliau. Taip pat galimas ir grynai kvantinis efektas klaidų sklidime dėl 6 skyriuje minėtos fazės atatrankos. Jeigu, prieš atliekant \(cX\) loginius vartus, įvyksta fazės klaida adresatiniame kubite, tada ši klaida perneš fazės klaidą ir į kontrolinį kubitą. Antrasis klaidų sklidimo šaltinis yra kubitų būsenų matavimo procesas, kurio rezultatas naudojamas kaip sąlyga pritaikyti loginius vartus kitiems kubitams. Pavyzdžiui, jeigu klaidų nustatymo procese ancilos matavimas patiria klaidą, tada gali būti pritaikomi neteisingi loginiai vartai taisyti loginiam kubitui.
Siekiant užkirsti kelią klaidų dauginimuisi ir sklidimui, kvantinės grandinės loginiai elementai yra pakeičiami klaidoms atspariais loginiais elementais. Imkime kaip pavyzdį 9.5 pav. parodytą kvantinę grandinę, sudarytą iš klaidoms neatsparių loginių elementų, atliekančią 2 kubitų supynimą ir jų matavimus.
9.5 pav. Klaidoms neatspari loginė grandinė, atliekanti kubitų supynimą ir jų matavimą
9.6 pav. pateikiame klaidoms atsparius \(\overline{H}\) ir \(\overline{cX}\) loginius elementus (vėlgi žymime su brūkšniuku) kodui, kuriame \(k_1\) ir \(k_2\) loginiai kubitai koduojami 3 fiziniais kubitais. Šiuos tris fizinius kubitus, priklausančius \(k_1\) arba \(k_2\), vadinkime kubitų blokais. Matome, kad jeigu vienam iš fizinių kubitų \(k_1\) bloke pritaikomi netikslūs \(H\) loginiai vartai, ši klaida gali paveikti tik šį kubitą \(k_1\) bloke. Loginiai vartai \(\overline{cX}\), veikiantys tarp atskirų kubitų kiekviename bloke, užtikrina, kad \(H\) vartų klaida \(k_1\) bloke paveiks daugiausiai vieną papildomą kubitą \(k_2\) bloke. Tą patį galima pasakyti ir apie pačius \(\overline{cX}\), kurių klaidingas atlikimas paveikia tik po vieną kubitą kiekviename bloke. Loginiai vartai, veikiantys tarp fizinių kubitų blokuose nepriklausomai nuo kitų kubitų, yra vadinami skersiniais (angl. transversal gates). Klaidoms atspari loginė operacija yra formaliai tokia, kurios metu vieno loginio komponento klaidingas veikimas paveikia ne daugiau negu vieną kubitą kiekviename bloke.
9.6 pav. Kvantinė grandinė, dviem 3 kubitų kodo loginiams kubitams atliekanti jų supynimą klaidoms atspariais loginiais vartais
Klaidoms atspari kvantinė grandinė pakeičia loginius vartus \(H\) ir \(cX\), taip pat matavimų operacijas klaidoms atspariais loginiais elementais. Be to, loginių kubitų paruošimas \(\overline{|0\rangle}_L\) turi būti taip pat atliekamas naudojant klaidoms atsparius loginius vartus, o kubitų būsenos yra periodiškai patikrinamos ir prireikus ištaisomos.
9.7 pav. Iliustracijoje 9.5 pav. parodytos loginės grandinės klaidoms atspari versija. Du loginiai kubitai čia koduojami \(n\) kubitais, toliau patikrinama, ar koduojant neįvyko klaidų, ir atitinkamai atliekamas taisymas. Pirmam loginiam kubitui pritaikomi klaidoms atsparūs \(\overline{H}\); matomi dar du periodiškai atliekami klaidų nustatymai ir 2 loginių kubitų klaidoms atsparūs \(\overline{cX}\); galiausiai atliekami klaidoms atsparūs kubitų būsenos matavimai
Siekiant realizuoti klaidoms atsparų būsenų matavimą, vėlgi pasitelkiame Hadamardo testu pagrįstą metodą (žr. 6.7.1 poskyrį). Šiuo metodu galima atlikti loginio Pauli-\(\overline{Z}\) ar bet kokio kito \(n\) kubitų ermitinio operatoriaus \(U\), išreiškiamo skersiniais loginiais vartais, projekcinį matavimą į jo +1 ir -1 poerdvius. Iliustracijai, čia jį pritaikome 3 kubitų būsenos \(|\psi\rangle\) matavimui. Tai atliekanti kvantinė grandinė pateikta 9.8 pav.
Kiekvienam \(|\psi\rangle\) būsenos kubitui yra pasitelkiamas papildomas ancilos kubitas. Šiuo atveju, trys fiziniai ancilų kubitai pradinėje būsenoje \(|a_1 a_2 a_3 \rangle = |000\rangle\) yra paruošiami į superpoziciją \(|\varphi\rangle = \big(|000\rangle + |111\rangle\big)1/\sqrt{2}\), panašią į 3 kubitų loginį kubitą. Kodavimo žingsnis nėra klaidoms atsparus, nes naudojami klaidoms neatsparūs \(H\) ir \(cX\) loginiai vartai. Tačiau po kodo paruošimo kitais trim ancilų kubitais \((a_4, a_5, a_6)\) kodas yra patikrinamas (atliekama kodavimo patikra). Patikra yra pagrįsta jau mums žinomu būsenų lyginumo matavimu. Jeigu kodas teisingas, tada šie ancilų kubitai naudojami tolimesnėms operacijoms. Kitu atveju kodavimas kartojamas iš naujo.
Tolesniame žingsnyje atliekamas skersinis sąlyginis \(cU\) (kontroliuojamas \(U\)). Ancilų kubitų būsena \(|\varphi\rangle\) užtikrina, kad klaidos neplinta šioje stadijoje. Galiausiai ancilų kubitai yra dekoduojami, o galutinė bendra pirmo ancilos kubito ir \(|\psi\rangle\) būsena lieka supintoji \(|0\rangle\otimes P(1)|\psi\rangle + |1\rangle\otimes P(-1)|\psi\rangle\). Išmatavus ancilos kubito būseną bus rasta +1 arba -1 tikrinė vertė ir atlikta \(|\psi\rangle\) būsenos projekcija į atitinkamą poerdvį. Siekiant sumažinti tikimybę, kad klaida dekodavimo stadijos loginiuose vartuose suteiks klaidingą matavimo rezultatą, visa ši matavimo procedūra kartojama tris kartus. Kai taikomas daugumos balso principas nustatant galutinio matavimo rezultatą, klaidingo atsakymo tikimybė sumažėja nuo \(p\) iki \(O(p^2)\). Čia \(p\) yra tikimybė, kad atsiras klaida bet kuriame grandinės elemente.
9.8 pav. Klaidoms atsparūs 3 kubitų kodo loginio kubito būsenos bendrojo tipo matavimai
Galima parodyti, kad tikimybė, jog klaidoms atspariose grandinėse atsiras daugiau nei viena klaida kubitų bloke, yra \(cp^2\). Čia proporcingumo konstanta \(c\) priklauso nuo loginės operacijos bei kodavimo metodo ir bendrai nusako skaičių skirtingų vietų loginiame žingsnyje, kuriose gali įvykti klaida. Tad loginės operacijos klaidoms atsparioje kvantinėje grandinėje įvykdomos sėkmingai su tikimybe \(1 - cp^2\) ir toliau įgaunamas pranašumas mažėjant \(p\).
9.9 pav. Kodų konkatenacijos schema. Nurodytos nepataisomos klaidos tikimybė kiekviename kodavimo lygyje
Kodų konkatenacijos metodas, taikomas kartu su klaidoms atspariomis loginėmis operacijomis, leidžia dar labiau sumažinti atsirandančių klaidų poveikį skaičiavimams. Kodų konkatenacijoje yra atliekamas aukštesnio lygio kodavimas taip sukuriant antro, trečio, ... , \(k\) lygio loginius kubitus (nebūtinai tuo pačiu kodu). Pavyzdžiui, jeigu naudotume tris fizinius kubitus sukurti 1 lygio loginį kubitą, tada kiekvieną iš šių kubitų koduodami dar trimis kubitais gautume 2 lygio loginį kubitą, iš viso panaudoję \(3^2\) fizinius kubitus. Atlikti logines operacijas šiems 2 lygio loginiams kubitams atitinkamai pasitelkiami jiems pritaikyti klaidoms atsparūs elementai, neleidžiantys klaidoms plisti. Pirmo lygio kodavime klaidos tikimybė yra \(cp^2\), antro lygio \(c(cp^2)^2\), ir jeigu konkatenacija yra atliekama \(k\) kartų, loginiame \(k\) lygio kubite – \((cp)^{2^k}/c\). Dėl eksponentės, klaidingo atsakymo tikimybė gali būti padaroma pageidaujamai maža didinant konkatenacijų skaičių \(k\), jeigu \(cp < 1\).
Sakykime, kad norima atlikti skaičiavimą su ne didesne negu \(\varepsilon\) klaidos tikimybe, kuriam reikia pasitelkti iš viso \(p(n)\) skaičių loginių vartų. Skaičius \(n\) nusako problemos dydį, o \(p(n)\) – polinomiškai augantį loginių vartų skaičių. Tad klaidos tikimybė \(p\) per loginį žingsnį turėtų būti \(p < \varepsilon/p(n)\). Todėl mažiausias konkatenacijų skaičius \(k\), reikalingas pasiekti šį tikslą, randamas iš nelygybės: \[\begin{equation} \frac{(cp)^{2^k}}{c} \leq \frac{\varepsilon}{p(n)}\,. \tag{9.62} \end{equation}\] Iš to išplaukia, kad konkatenacijų skaičius turi būti: \[\begin{equation} k \geq \left\{1 + \frac{\log\left\lbrack\frac{p(n)}{\varepsilon}\right\rbrack}{\log\left\lbrack\frac{1}{cp}\right\rbrack}\right\}\,. \tag{9.63} \end{equation}\] Iš anksčiau pateiktų argumentų matome, kad kvantinės grandinės ilgis ir fizinių kubitų skaičius auga tik polilogaritmiškai su \(p(n)/\varepsilon\). Ribinė teorema (angl. threshold theorem) formaliai įvardija, kad klaidos atsiradimo tikimybė kiekviename loginių operacijų žingsnyje turi būti \(p_{\mathrm{th}} < 1/c\), norint užtikrinti, kad \(k\) lygių konkatenacija leistų atlikti pageidaujamo tikslumo ir ilgio kvantinius skaičiavimus. Šios ribos apskaičiavimas yra svarbus kvantinių kompiuterių dizainui, įvairūs vertinimai rodo, kad \(p_{\mathrm{th}} \approx 10^{-4}–10^{-6}\).
9.11 Kvantinis tūris
Dekoherencijos trukmės bei loginių vartų tikslumas įvardija du esminius klaidų šaltinius (žr. 1.9 poskyrį). Tačiau didėjant kubitų skaičiui ir mažėjant šioms klaidoms atsiranda poreikis tiksliau įvertinti skaičiuojamąją galią. Tam idealiai norėtume suformuluoti rodiklį ar keletą rodiklių, kurie taikant standartinį protokolą leistų palyginti skirtingus įrenginius nepriklausomai nuo jų fizinio realizavimo. Galima įvardyti svarbiausius fizinius parametrus, kurie nulemia ankstyvosios NISQ raidos kvantinių kompiuterių skaičiuojamąją galią:
- kubitų skaičius;
- 2 kubitų (arba \(n\) kubitų) loginių vartų realizavimo architektūra procesoriuje;
- loginių grandinių gylis, kurį galima pasiekti, kol rezultatų neužmaskuoja klaidos;
- pasiekiamas loginių vartų rinkinys;
- operacijų skaičius, kurį galima vykdyti lygiagrečiai;
Siekdami apimti visus šiuos parametrus, panagrinėkime kvantiniu tūriu (angl. quantum volume) vadinamą rodiklį. Kvantinis tūris randamas nustačius didžiausią skaičių procesoriaus kubitų, kurie gali patikimai įvykdyti pateikto gylio specifinę grandinę. Kvantinio tūrio rodiklis yra paremtas kvadratinėmis grandinėmis (angl. square circuits), susidedančiomis iš \(d\) skaičiaus loginių vartų sluoksnių, nusakančių grandinės gylį, ir veikia tokiam pačiam \(d\) skaičiui kubitų, vadinamam grandinės pločiu (angl. circuit width). Imkime procesorių, sudarytą iš \(n\) kubitų. Pradėdami protokolą bandytume įvykdyti kvadratinę \(2 \times 2\) grandinę, sudarytą iš \(d=2\) gylio su pasirinktais 2 kubitais. Čia turime laisvę pasirinkti geriausiai funkcionuojančius kubitus procesoriuje. Jeigu, pagal formaliai nustatytus rodiklius, grandinė atliekama sėkmingai, tada tęstume toliau: \(3 \times 3, 4 \times 4, \ldots\), kol rastume didžiausią \(m \times m\) dydžio kvadratinę grandinę (\(m \leq n\)), kurios procesorius nebegali sėkmingai įvykdyti. Taip randamas procesoriaus kvantinis tūris, jis žymimas simboliu \(V_Q\), o jo formalus apibrėžimas yra: \[\begin{equation} \log_2 V_Q = \max_{m \leq n} \{\min(m, d(m))\}\,. \tag{9.64} \end{equation}\] Ši išraiška nusako, kad ieškomas didžiausias \(m\) skaičius kubitų tarp visų procesoriaus \(n\) kubitų, kurie sėkmingai įvykdo grandinę, \(d(m)\) yra maksimalus gylis didžiausioje \(m\) kubitų skaičiaus kvadratinėje grandinėje. Čia tūris pateikiamas naudojant logaritmą su baze 2, tad \(\log_2 V_Q\) galima interpretuoti kaip procesoriaus efektyvų kubitų skaičių, kuris gali būti lygus arba mažesnis nei fizinių kubitų skaičius procesoriuje. Eksponentiškai kubitų skaičiumi išreikštas kvantinis tūris \(V_Q\) atspindi kvantinių būsenų erdvės dydį, kurį procesorius gali efektyviai pasiekti atliekant unitariąsias transformacijas. Jeigu, sakykime \(d(m) = 10\), tada kvantinis tūris, imant eksponentę su baze 2, yra randamas: \(V_Q = 2^{10} = 1024\).
Toliau apžvelgiame kvantinio tūrio įvertinimo protokolą. Kiekvieną loginių vartų sluoksnį sudaro dvi dalys: atsitiktinis visų \(d\) kubitų indeksavimo sukeitimas (angl. permutation) ir atsitiktinės 2 kubitų unitariosios transformacijos, atliekamos kiekvienai porai vienas šalia kito esančių (ar atsiradusių po sukeitimo) kubitų. Kubitų indeksavimo sukeitimas kvantinėje grandinėje bendrai žymimas raide \(\pi\) ir pasitelkia \(SWAP\) loginius vartus. O štai kiekviena iš 2 kubitų operacijų yra parenkama Haar-atsitiktinai (angl. Haar random) iš \((4 \times 4)\) matricų, nusakančių bendro tipo unitariąsias 2 kubitų transformacijas. Šių transformacijų asortimentas yra formaliai vadinamas SU(4) grupe (angl. special unitary group). Haar-atsitiktinis SU(4) matricos parinkimas yra analogiškas atsitiktiniam skaliarinio skaičiaus parinkimui iš lygiai pasiskirsčiusių skaičių rinkinio. Kvantinio tūrio protokolą atliekanti grandinė yra parodyta 9.10 pav.
9.10 pav. Kvadratinėmis \((d \times d)\) grandinėmis pagrįstas kvantinio tūrio nustatymo protokolas
Siekiant įvertinti, ar grandinė buvo įvykdyta sėkmingai, taikomas sunkiųjų išvesties būsenų generavimas (angl. heavy output generation). Išmatuotų galutinių būsenų pasiskirstymas yra nusakomas tikimybėmis \(p_U(x) = |\langle x|U|0\rangle|^2\). Čia \(|0\rangle\) yra pradinė \(n\) kubitų registro būsena, \(U\) nusako visą \(n\) kubitų protokolo unitariųjų transformacijų seką, o \(|x\rangle\) yra galutinė registro būsena. Galutinės būsenos \(|x\rangle\) ir tikimybės \(p_U(x)\) randami atliekant modeliavimą klasikiniu kompiuteriu. Sunkiosios išvesties kubitų būsenos yra tos, kurių tikimybės jas rasti yra didesnės nei visų galimų būsenų tikimybių mediana, \(p_U(x) > p_{\mathrm{med}}\). Taikant Haar-atsitiktinumą galima apskaičiuoti, kad tikimybė rasti būsenas \(|x\rangle\) aukščiau medianos yra \(p=0.85\) ir asimptotiškai artėja prie \(p=0.5\) tikimybės, jeigu įrenginys veikia itin blogai. Kvadratinės grandinės testas yra laikomas įvykdytu, jeigu bent 2/3 visų sugeneruotų būsenų atitinka būsenas su didesnėmis tikimybėmis nei tikimybių mediana.
Didesnis kvantinis tūris gali būti pasiektas procesoriuose, kurie turi daugiau kubitų su ilgomis koherencijos trukmėmis ir mažomis loginių vartų klaidomis. Taip pat svarbu, kad protokolo pateikti \(SWAP\) bei SU(4) loginiai vartai galėtų būti efektyviai išreikšti kvantinio procesoriaus loginių vartų rinkiniu. Svarbu yra ir kubitų maksimalus tarpusavio jungimas, loginių operacijų paralelizavimo galimybės, taip pat optimaliai sukompiliuotos loginės operacijos. Kitu atveju siekiant įvykdyti pateiktą kvantinę grandinę reikės papildomų loginių operacijų skaičiaus, ir realus grandinės gylis įrenginyje bus didesnis, tad tikimybė ją sėkmingai įvykdyti mažės.
Siekdami iliustruoti kubitų tarpusavio jungimo įtaką skaičiavimams, 9.11 pav. pateikiame dvi skirtingas kvantinio procesoriaus kubitų jungčių schemas. Pirmoje pavaizduota IBM superlaidininkais pagrįstų grupės Falcon procesorių architektūra, kurioje kubitų išdėstymas paremtas heksagonine simetrija. Toks kubitų išdėstymas yra specialiai gamintojų pritaikytas atlikti jų parinktiems klaidų taisymo algoritmams, atsižvelgiant į kitus procesoriaus parametrus. Didėjant kubitų skaičiui, jų išdėstymas Falcon procesoriuose toliau bus paremtas heksagonine simetrija. Čia kubitas, pagal savo poziciją, gali turėti nuo vienos iki trijų jungčių su artimiausiai esančiais kubitais kaimynais (angl. nearest-neighbor connectivity). Tai reiškia, kad tiktai tarp šių kubitų įmanomi 2 kubitų loginiai vartai, tokie kaip cX. Pavyzdžiui, atlikti cX tarp kubitų #1 ir #15 tiesiogiai neįmanoma. Tam būtina įvykdyti seką SWAP loginių operacijų tarp tarpinių kubitų, šitaip realizuojant norimą operaciją šiems dviem kubitams.
Antroji pateikta kvantinio procesoriaus architektūra leidžia 2 kubitų loginius vartus atlikti tiesiogiai tarp bet kurių kubitų. Tai vadinamasis visų su visais” jungimasis (angl. all-to-all connectivity). Jonų gardelėmis pagrįsti kvantiniai procesoriai pasižymi galimybėmis realizuoti „visų su visais” architektūrą. Neatsižvelgiant į kitus procesoriaus veikimo faktorius, tokio tipo architektūra turi akivaizdų pranašumą prieš IBM Falcon, nes potencialiai sumažina reikalaujamą loginių vartų skaičių atlikti tam pačiam algoritmui.
9.11 pav. Dvi kvantinio procesoriaus architektūros, pasitelkiančios skirtingą kubitų tarpusavio jungimą. Tai nulemia, tarp kurių kubitų galima atlikti 2 ar daugiau kubitų sąlyginius loginius vartus
Kvantinis tūris leidžia patikimai įvertinti pagrindinius skaičiuojamąją galią nulemiančius faktorius, tačiau yra orientuotas į artimosios raidos NISQ kvantinius kompiuterius. Spartus klasikinių skaičiavimo išteklių augimas gali užkirsti kelią atlikti klasikiniam kvantinės grandinės modeliavimui, kuris reikalingas rezultatų patikrinimui procesoriuose su daugiau nei ~60 kubitų. Augant kubitų skaičiui bei mažėjant klaidoms bus reikalingas kitas būdas įvertinti kvantinių kompiuterių skaičiuojamajai galiai.