5 skyrius. Kvantinė informacija ir ryšiai
5.1 Kvantinės informacijos kopijavimas
Klasikinės informacijos kopijavimas (skaitmeniniu ar kitokiu pavidalu) yra kasdieninis dalykas. Tai atliekame kopijuodami failus kompiuterio atminties laikmenose, informacijos kopijomis yra apsikeičiama tarp kompiuterių naudojant internetą. Nors skamba paradoksaliai, tačiau kvantinės informacijos kopijavimas yra fundamentaliai neįmanomas. Uždraustojo kopijavimo teorema (angl. no-cloning theorem) nusako, kad neįmanoma sukurti nežinomos bendros kvantinės būsenos identiškos kopijos (klono). Dėl šios teoremos svarbos bei gan paprastų argumentų pateiksime jos įrodymą.
Įrodymas: darome prielaidą, kad vis dėlto egzistuoja tokia unitarinė transformacija \(U\), kuri gali sukurti identišką nežinomos kvantinės būsenos \(|\psi\rangle\) kopiją. Kopijavimui atlikti naudojame kvantinį registrą, esantį sutartinėje būsenoje \(|\phi\rangle\), o \(U\) veikia tarp šio registro ir kopijuojamos kvantinės sistemos. Pagal kopijavimo apibūdinimą, \(U\) formaliai atlieka: \[\begin{equation} U|\psi\rangle\otimes |\phi\rangle = |\psi\rangle\otimes |\psi\rangle\,. \tag{5.1} \end{equation}\] Kitaip tariant, antrojo registro būsena yra pakeičiama į identišką pirmojo registro \(|\psi\rangle\) būsenos kopiją, \(|\phi\rangle \rightarrow |\psi \rangle\). Toliau imkime bet kokias dvi normuotas būsenas \(|\kappa\rangle\) ir \(|\tau\rangle\), kurių kopijavimą norime atlikti. Kopijuojančios unitarinės transformacijos efektas šioms būsenoms individualiai yra: \[\begin{equation} U|\kappa\rangle\otimes |\phi\rangle = |\kappa\rangle\otimes |\kappa\rangle\,,\quad U|\tau\rangle\otimes |\phi\rangle = |\tau\rangle\otimes |\tau \rangle\,. \tag{5.2} \end{equation}\] Tolesniame žingsnyje įvertinkime \(|\kappa\rangle\otimes|\kappa\rangle\) ir \(|\tau\rangle\otimes |\tau\rangle\) būsenų vidinę sandaugą: \[\begin{equation} \begin{aligned} \big(\langle\kappa |\otimes\langle\kappa |\big)\big(|\tau\rangle\otimes |\tau\rangle\big) = & \langle\kappa |\tau\rangle^2 = \langle\phi|\otimes\langle\kappa |U^{\dagger}U|\tau\rangle\otimes |\phi\rangle \\ = & \langle\kappa |\tau\rangle\langle\phi |\phi\rangle = \langle\kappa |\tau\rangle\,. \end{aligned} \tag{5.3} \end{equation}\] Viršuje, neprarasdami bendrumo, panaudojome unitarumą \(U^{\dagger}U = I\) bei registro būsenos normuotumą \(\langle\phi |\phi\rangle = 1\). Tad randame šią lygtį: \[\begin{equation} \langle\kappa | \tau\rangle^2 = \langle\kappa | \tau\rangle\,. \tag{5.4} \end{equation}\] Tai yra formaliai kvadratinė lygtis, \(x^2 = x\), kuri turi du sprendinius: \(x = 0\) ir \(x = 1\). Pirmasis sprendinys (\(x = 0\)) nusako, kad \(|\kappa\rangle\) ir \(|\tau\rangle\) yra ortogonaliosios būsenos \(\langle\kappa |\tau\rangle = 0\). Antrasis sprendinys (\(x = 1\)) nusako, kad jos vienodos \(\langle\kappa |\tau\rangle = 1\), \(\rightarrow |\kappa\rangle = |\tau\rangle\) (iki nesvarbios globalios fazės \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}\)). Antrasis sprendinys mūsų nedomina, nes pasirinkome skirtingas būsenas, \(|\kappa\rangle \neq |\tau \rangle\). Pirmasis sprendinys rodo, kad transformacija \(U\) gali atlikti tik ortogonaliųjų būsenų kopijavimą ir todėl prieštarauja prielaidai, kad egzistuoja universali unitarioji transformacija \(U\), galinti kopijuoti bet kokią būseną.
Kvantiniu kompiuteriu galima kopijuoti klasikinę informaciją. Jau žinome tokį \(U\), kuris sugeba kopijuoti bazinių vektorių būsenas \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\), tai \(cX\) loginiai vartai. Tačiau \(cX\) negali nukopijuoti 1 kubito būsenos, kuri yra \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijoje. Imkime pirmąjį kubitą, esantį lygioje \(|0 \rangle\) ir \(|1 \rangle\) superpozicijoje, taip pat antrojo registro kubitą \(|0\rangle\) būsenoje. Randame: \[\begin{equation} cX\frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle)\,. \tag{5.5} \end{equation}\] Šiuo atveju gauname supintąją Belo būseną. Tačiau, jeigu \(cX\) iš tiesų atliktų kopijavimą į antrojo kubito vietą, mes turėtume gauti: \[\begin{equation} \frac{1}{2}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes\big(|0\rangle + |1\rangle\big) = \frac{1}{2}\big(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle\big)\,. \tag{5.6} \end{equation}\] Be unitariųjų transformacijų taip pat yra matavimų tipo nedeterministinės transformacijos. Jos irgi nėra tinkamos atlikti kopijavimą, nes matavimų rezultatai yra atsitiktiniai.
5.2 Kvantinė teleportacija
Klasikinė skaitmeninė informacija ryšiuose yra perduodama siunčiant signalus tuščia erdve, elektros kabeliais bei šviesolaidžiais. Norint persiųsti kvantinę informaciją, kuri yra koduojama kubito būsenoje \(|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\), reikia, kad perduotume amplitudžių vertes \(a\) ir \(b\). Jeigu žinome \(|\psi \rangle\) būsenos paruošimo žingsnius, tada taip pat galime klasikiniu būdu komunikuoti būsenos loginių operacijų seką, kurią atkartojęs gavėjas turės efektyviai identišką kvantinę informaciją savo kubite. Didesnis keblumas iškyla norint persiųsti informaciją, laikomą nežinomoje kvantinėje būsenoje. Šios informacijos iš esmės sužinoti negalime, tad ir ją komunikuoti klasikiniu būdu neįmanoma.
Egzistuoja keletas būdų, kaip persiųsti nežinomo turinio kvantinę informaciją. Pirmasis būdas – kubitų fizinis apsikeitimas tarp lokacijų kvantinio ryšio priemonėmis. Kvantinis ryšys įprastai naudoja fotonus, dar vadinamus skraidančiaisiais kubitais (angl. flying qubits) ir, pavyzdžiui, jų poliarizacijos būsenas, kuriose koduojama informacija. Fotonus galima siųsti dideliais atstumais naudojant įprastus telekomunikacijoms skirtus šviesolaidžius bei tuščia erdve. Tačiau delikačios fotonų būsenos yra lengvai pažeidžiamos siunčiant juos dideliais atstumais. Atsirandanti depoliarizacijos tikimybė gali pakeisti amplitudes ir įvesti klaidas į siunčiamą informaciją. Didėjant atstumui, taip pat didėja fotonų praradimo tikimybė dėl absorbcijos ir sklaidos. Kitaip nei klasikiniuose ryšiuose, siunčiamo kvantinio signalo stiprinti neįmanoma dėl uždrausto kvantinių būsenų kopijavimo. Jeigu šie neigiami efektai nėra per daug žymūs, tada kvantinių klaidų taisymo algoritmais sėkmingo ryšio tikimybę galima itin padidinti.
Kvantinė teleportacija yra praktinės svarbos metodas siunčiant informaciją, koduojamą nežinomoje kubitų būsenoje. Šis metodas nereikalauja tiesioginio dvipusio kvantinių ryšių kanalo tarp bendraujančių šalių, tačiau jos turi turėti kvantinį ryšį su joms bendru supintųjų fotonų šaltiniu. Tai leidžia persiųsti kvantinę informaciją pasitelkiant klasikinių ryšių kanalą tarp bendraujančių šalių, o supintųjų kubitų poros atlieka teleportacijos ištekliaus vaidmenį. Klasikiniu kanalu tereikia nusiųsti po du bitus informacijos siekiant teleportuoti kiekviename kubite tolydžiai kintančiose amplitudėse koduojamą informaciją. Pirmiausiai įvardinkime, ką šiame kontekste reiškia žodis „teleportacija”.
Pagal kvantinę mechaniką dalelės, turinčios vienodas vidines fizikines savybes tokias kaip krūvis, masė ar sukinys, yra identiškos (angl. identical particles) ir negali būti atskirtos viena nuo kitos. Elektronai gali būti atskirti nuo pozitronų, nes pirmieji turi neigiamąjį, o antrieji – teigiamąjį krūvį; tačiau elektronai negali būti atskirti vienas nuo kito. Tad, jeigu turime du elektronus skirtingose lokacijose, tačiau identiškose sūkinio būsenose, sukeitus juos vietomis fundamentaliai neįmanoma pasakyti, kad jie buvo sukeisti. Teleportacijos pavyzdys būtų, jeigu pradėdami nuo dviejų elektronų skirtingose lokacijose ir sukinio būsenose identiškai atkurtume pirmojo elektrono sukinio būseną antrajame elektrone. Teleportacija nėra ribojama vien tik vidiniams laisvės laipsniams, nors ir dažniausiai nagrinėjama jų kontekste. Šis procesas išsaugo visus fizikos principus – čia aktualūs kvantinės informacijos kopijavimo draudimas, energijos tvermė ir kad niekas negali keliauti greičiau už šviesos greitį. Fizinės sistemos akimirksniu nepradingsta ir kitur neatsiranda – tik pakeičia savo būsenas.
5.1 pav. Kvantinė \(k_1\) kubito būsenos \(|\psi\rangle\) teleportacija į \(k_3\) kubitą
Standartiniame teleportacijos scenarijuje (žr. 5.1 pav.) Agnė turi kubitą \(k_1\) būsenoje \(|\psi\rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\), \(|a|^2 + |b|^2 = 1\), kurio amplitudžių \(a\) ir \(b\) ji nežino, tačiau nori \(|\psi\rangle\) nusiųsti Benui. Agnė ir Benas turi galimybę tarpusavyje komunikuoti klasikiniu būdu ir tam naudoja bitus. Jie taip pat turi prieigą prie išorinio šaltinio, kuris proceso pradžioje sugeneruoja 2 kubitų supintą Belo būseną \(|\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\) ir išsiunčia pirmą kubitą (\(k_2\)) Agnei, o antrą (\(k_3\)) Benui. Abu žino, kad yra gavę vieną iš \(|\chi^{+}\rangle\) būsenos kubitų. Viso proceso pabaigoje Agnės \(|\psi\rangle\) kubito būsena yra teleportuojama į Beno turimą \(k_3\) kubitą.
Bendrą pradinę šių trijų kubitų būseną galime užrašyti taip: \[\begin{equation} \begin{aligned} |\Psi\rangle = & |\psi\rangle\otimes |\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big\lbrack a|0\rangle\otimes\big(|00\rangle + |11\rangle\big) + b |1\rangle\otimes\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\Big\rbrack \\ = & \frac{1}{\sqrt{2}}\Big\lbrack a\big(|000\rangle + |011\rangle\big) + b\big(|100\rangle + |111\rangle\big)\Big\rbrack\,. \end{aligned} \tag{5.7} \end{equation}\] Superpozicijos būsenose kubitai yra sunumeruoti taip: \(|k_1 k_2 k_3 \rangle\). Pradinėje būsenoje \(|\Psi \rangle\) nėra nei klasikinių, nei kvantinių koreliacijų tarp Agnės \(k_1\) kubito būsenoje \(|\psi\rangle\) ir Belo poros kubitų \(k_2\) ir \(k_3\). Agnė atlieka dvejus kvantinius loginius vartus savo turimiems kubitams. Pirmiausia ji atlieka \(cX\) vartus, kuriame \(|\psi \rangle\) kubitas yra „kontrolinis”. Randame naują būseną \(|\Psi'\rangle\): \[\begin{equation} |\Psi'\rangle = (cX_{12}\otimes I)|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big\lbrack a\big(|000\rangle + |011\rangle\big) + b\big(|110\rangle + |101\rangle\big)\Big\rbrack\,. \tag{5.8} \end{equation}\] Kitame žingsnyje ji atlieka norimam nusiųsti \(|\psi\rangle\) kubitui Hadamardo transformaciją: \[\begin{equation} \begin{aligned} |\Psi''\rangle = & (H\otimes I\otimes I)|\Psi'\rangle \\ = & \frac{1}{2}\Big\lbrack a\big(|000\rangle + |011\rangle + |100\rangle + |111\rangle\big) \\ & + b\big(|010\rangle + |001\rangle - |110\rangle - |101\rangle\big)\Big\rbrack\,. \end{aligned} \tag{5.9} \end{equation}\] Nedarant jokių kitų transformacijų, šią būseną galima pergrupuoti atskiriant Agnės ir Beno kubitus tenzorių ženklu: \[\begin{equation} \begin{split} |\Psi''\rangle = & \frac{1}{2}\Big\lbrack |00\rangle\otimes\big(a|0\rangle + b|1\rangle\big) + |10\rangle\otimes\big(a|0\rangle - b|1\rangle\big) \\ & + |01\rangle\otimes\big(b|0\rangle + a|1\rangle\big) + |11\rangle\otimes\big( -b|0\rangle + a|1\rangle\big)\Big\rbrack\,. \end{split} \tag{5.10} \end{equation}\] Tai leidžia lengviau pamatyti, kad Agnei atlikus dvi minėtas transformacijas Beno kubito \(k_3\) būsena šioje trijų kubitų superpozicijoje jau primena \(|\psi\rangle\). Toliau Agnė atlieka savo dviejų kubitų būsenos matavimą. Ji gali rasti vieną iš keturių skirtingų dviejų bitų kombinacijų su lygiomis 0.25 tikimybėmis. Pagal tai, kurią kombinaciją Agnė aptiks savo kubituose \(|k_1 k_2 \rangle\), tai automatiškai turės įtakos, kokia bus galutinė Beno kubito \(|k_3 \rangle\) būsena: \[\begin{align} |k_1 k_2\rangle = & |00\rangle\rightarrow |k_3 \rangle = a|0\rangle + b|1\rangle\,;\tag{5.11} \\ |k_1 k_2\rangle = & |10\rangle\rightarrow |k_3 \rangle = a|0\rangle - b|1\rangle\,;\tag{5.12} \\ |k_1 k_2\rangle = & |01\rangle\rightarrow |k_3 \rangle = b|0\rangle + a|1\rangle\,;\tag{5.13} \\ |k_1 k_2\rangle = & |11\rangle\rightarrow |k_3\rangle = - b|0\rangle + a|1\rangle\,.\tag{5.14} \end{align}\] Norėdama užbaigti teleportaciją, Agnė klasikiniu kanalu nusiunčia du bitus informacijos Benui pranešti, kokį rezultatą gavo. Jeigu ji rado \(|00\rangle\), siunčiami bitai 00, jeigu \(|01\rangle\) – bitai 01, ir atitinkamai su kitais dviem. Jeigu Benas gavo bitus 00, jam daryti nieko nereikia, \(|\psi\rangle\) jau yra teleportuota ir jo „rankose”. Visais kitais atvejais Beno kubitas \(k_3\) yra susietas su norima teleportuoti būsena \(|\psi\rangle\) paprasta transformacija – Blocho vektoriaus posūkiu 180° kampu aplink \(x\), \(y\), arba \(z\) ašis. Pavyzdžiui, jeigu Benas gavo bitus 01, savo kubitui \(k_3\) jis atlieka kvantinius loginius vartus \(X\), kurie sukeičia amplitudes vietomis ir taip gaunama \(|\psi\rangle\). Jeigu gauti bitai yra 10, jis atlieka \(Z\) loginius vartus, o jeigu 11 – \(Y\) vartus.
Panagrinėkime, kas šiame procese įvyko. Pirmiausiai matome, kad Agnės kubito \(k_1\) būsena \(|\psi\rangle\), esanti bendrai \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijoje, matavimo metu yra panaikinama. Pas ją lieka kubitai \(k_1\) ir \(k_2\), esantys viename iš skaičiuojamųjų bazinių vektorių. Todėl \(|\psi\rangle\) būsenos kopijavimas neįvyksta ir Agnė nesužino \(|\psi\rangle\) būsenos \(a\) ir \(b\) amplitudžių, taip patvirtinama uždraustojo kopijavimo teorema. Teleportacijoje pagrindinį vaidmenį atlieka supintoji kubitų pora, kuria Agnė ir Benas pasidalijo proceso pradžioje. Agnės atliekama \(cX\) transformacija tarp jos supinto kubito \(k_2\) bei teleportuojamo \(k_1\) supina ir šiuos kubitus. Taip sukuriama trijų kubitų supintoji būsena. Dėl naujai įvestų trijų kubitų kvantinių koreliacijų, Agnės atliekami Hadamardo vartai jos kubitui nelokaliai paveikia bendrą trijų kubitų būseną. Tai ir yra matoma lygtyje Beno kubito amplitudėse. Prieš Agnei atliekant savo kubitų matavimą, Beno kubitas yra superpozicijoje, sudarytoje iš keturių skirtingų būsenų. Dėl įvestų koreliacijų, Agnės matavimas nulemia Beno kubito būsenos pasikeitimą į vieną iš šių keturių galimų. Tai galime interpretuoti kaip projekcinį Belo būsenų matavimą – antri \(cX\) ir \(H\) vartai tai formaliai realizuoja. Galutinė Beno transformacija \(k_3\) kubitui atlieka minimalius pataisymus atstatyti \(|\psi\rangle\).
Teleportacija yra praktinis būdas siųsti kvantinę informaciją ryšių tikslais ar skaičiavimams kvantinių kompiuterių tinkluose. Galime įsivaizduoti scenarijų, kuriame Agnės turimas kvantinis procesorius yra pranašesnis už Beno. Nors Beno kompiuteris turi ribotas skaičiavimų galimybes, tačiau gali patikimai atlikti Pauli-\(X\), \(Y\) ir \(Z\) transformacijas kubitams. Tad Benas gali atlikti jam rūpimus kvantinius skaičiavimus pas Agnę kvantiniame debesyje. Parsisiųsti \(|\psi\rangle\) būseną tolimesniam apdorojimui Benui tereikia bendros prieigos su Agne prie Belo būsenų generavimo šaltinio ir klasikinių ryšių kanalo. Teleportacijos metodas gali būti naudojamas persiųsti ne vien pavienių kubitų būsenoms, bet ir sudėtinėms kubitų supintosioms kvantinėms būsenoms.
5.2 pav. Loginė grandinė, realizuojanti kvantinę teleportaciją. Paskutiniame žingsnyje kubitui \(k_3\) pritaikomi sąlyginiai Pauli loginiai vartai, kontroliuojami klasikinio registro, kurio būseną nulemia pirmų dviejų kubitų matavimo rezultatai
Teleportaciją galime atlikti ir kvantiniame procesoriuje tarp kubitų. Vienas būdas tai užrašyti loginiais vartais yra parodytas 5.2 pav. Matome Agnės kubitą \(k_1\) pradinėje \(|\psi\rangle\) būsenoje, \(|\chi^{+}\rangle\) Belo būsenos generavimą tarp \(k_2\) ir \(k_3\), bei Belo matavimą. Pagal 2 bitų kombinaciją, gautą atlikus Agnės kubitų \(k_1\) ir \(k_2\) matavimus, kubitui \(k_3\) pritaikomi klasiškai kontroliuojami atitinkami sąlyginiai vartai Pauli-\(X\), \(Y\), \(Z\), arba \(I\).
5.3 Kvantinio supynimo sukeitimas
Norint atlikti supynimą tarp dviejų kubitų, paprastai yra naudojama 2 kubitų unitarinė transformacija, pavyzdžiui, \(cX\) loginiai vartai. Kvantinio supynimo sukeitimo metodas (angl. entanglement swapping) leidžia supinti vieną nuo kito nutolusius kubitus nereikalaujant jų tiesioginės tarpusavio sąveikos. Čia taip pat pasitelkiamos supintosios Belo būsenos, atliekančios svarbią rolę kvantiniuose ryšiuose, jų generatorius įprasta vadinti EPR šaltiniais (angl. EPR source, trumpinys nuo Einstein-Podolsky-Rosen).
Kvantinio supynimo sukeitimas praktiškai pritaikomas kvantiniuose tinkluose, nes gali atlikti signalo kartotuvo funkciją (angl. quantum repeater). Norint išvengti signalo sumenkimo nuostolių ir padidinti atstumą tarp kvantinės komunikacijos galutinių taškų, viena išeitis yra pastatyti tarpinius signalo kartotuvus. Gavę supintus kubitus iš nutolusių EPR šaltinių kartotuvai atlieka supynimo sukeitimą (žr. 5.3 pav.). Tai leidžia efektyviai padidinti kvantinio ryšio atstumą ir realizuoti teleportaciją ar kitus protokolus, naudojančius supintąsias būsenas.
5.3 pav. Kvantinio supynimo sukeitimo protokolo iliustracija
Supynimo sukeitimo scenarijuje dalyvauja Agnė, Benas ir Cita. Panašiai kaip ir kvantinėje teleportacijoje, Agnė ir Benas turi pasidaliję po vieną kubitą iš supintos \(|\chi_1^{+}\rangle\) Belo būsenos. Benas ir Cita taip pat turi po vieną kubitą iš antros sugeneruotos Belo būsenos \(|\chi_2^{+}\rangle\). Protokolo pradžioje tarp šių dviejų Belo porų nėra jokių koreliacijų. Kvantinio supynimo sukeitimo tikslas yra supinti Agnės ir Citos kubitus. Bendrą pradinę 4 kubitų būseną galime užrašyti taip: \[\begin{equation} \begin{aligned} |\Psi\rangle = & |\chi_1^{+}\rangle\otimes|\chi_2^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\Big\lbrack\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\otimes\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\Big\rbrack \\ = & \frac{1}{2}\big\lbrack |0000\rangle + |0011\rangle + |1100\rangle + |1111\rangle\big\rbrack\,. \end{aligned} \tag{5.15} \end{equation}\] Superpozicijos būsenose kubitai sunumeruoti \(|k_1 k_2 k_3 k_4 \rangle\). Agnės kubitas \(k_1\) yra supintas su Beno kubitu \(k_2\), Beno kubitas \(k_3\) yra supintas su Citos kubitu \(k_4\). Stebint kvantinės teleportacijos žingsnius, Benas atlieka \(cX\) loginius vartus tarp savo turimos kubitų poros \(k_2\) ir \(k_3\), kuriuose kubitas \(k_2\) atlieka „kontrolinę” rolę. Randame naują būseną \(|\Psi'\rangle\): \[\begin{equation} |\Psi'\rangle = (I\otimes cX_{23}\otimes I)|\Psi\rangle = \frac{1}{2}\big\lbrack |0000\rangle + |0011\rangle + |1110\rangle + |1101\rangle\big\rbrack\,. \tag{5.16} \end{equation}\] Kitame žingsnyje Benas atlieka Hadamardo transformaciją savo kubitui \(k_2\): \[\begin{equation} |\Psi''\rangle = (I\otimes I\otimes H\otimes I)|\Psi'\rangle\,. \tag{5.17} \end{equation}\] Norėdami lengviau pamatyti rezultatą, sugrupuosime narius \(|\Psi''\rangle\) skliausteliuose: \[\begin{equation} \begin{split} |\Psi''\rangle = & \frac{1}{\sqrt{8}}\Big\lbrack\big(|0\rangle\otimes |00\rangle\otimes |0\rangle + |1\rangle\otimes |00\rangle\otimes |1\rangle\big) \\ & + \big(|0\rangle\otimes |01\rangle\otimes |1\rangle + |1\rangle\otimes |01\rangle\otimes |0\rangle\big) \\ & + \big(|0\rangle\otimes |10\rangle\otimes |0\rangle - |1\rangle\otimes |10\rangle\otimes |1\rangle\big) \\ & + \big(|0\rangle\otimes |11\rangle\otimes |1\rangle - |1\rangle\otimes |11\rangle\otimes |0\rangle\big)\Big\rbrack\,. \end{split} \tag{5.18} \end{equation}\] Kiekvienoje šios superpozicijos būsenoje 4 kubitai yra užrašyti šia forma \(|k_1 \rangle\otimes |k_2 k_3 \rangle\otimes |k_4 \rangle\). Benas galiausiai atlieka savo abiejų kubitų matavimą, taigi gali rasti vieną iš keturių kombinacijų \(|k_2 k_3 \rangle\) su lygiomis 0.25 tikimybėmis. Matome, kad pagal jo rastą kubitų būseną galutinė Agnės ir Citos kubitų būsena \(|k_1 k_4 \rangle\) pasikeičia: \[\begin{align} |k_2 k_3 \rangle = & |00\rangle\rightarrow |k_1 k_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big) = |\chi^{+}\rangle\,;\tag{5.19}\\ |k_2 k_3 \rangle = & |01\rangle\rightarrow |k_1 k_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle + |10\rangle\big) = |\eta^{+}\rangle\,;\tag{5.20}\\ |k_2 k_3 \rangle = & |10\rangle\rightarrow |k_1 k_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle - |11\rangle\big) = |\chi^{-}\rangle\,;\tag{5.21}\\ |k_2 k_3 \rangle = & |11\rangle\rightarrow |k_1 k_4 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle - |10\rangle\big) = |\eta^{-}\rangle\,.\tag{5.22} \end{align}\] Agnės ir Citos kubitai \(|k_1 k_4 \rangle\) visais atvejais lieka vienoje iš supintųjų Belo būsenų. Benas matavimo rezultatus perduoda Agnei ir Citai klasikiniu būdu; tai leidžia sužinoti, kokią supintąją būseną jos turi. Kad Agnė ir Cita pakeistų savo gautą būseną į bet kurią kitą Belo būseną, jos gali atlikti atitinkamas lokalias Pauli transformacijas savo turimiems kubitams. Atkreipiame dėmesį, kad šio proceso metu kvantiniai supynimai tarp Agnės ir Beno kubitų poros \(k_1\) ir \(k_2\), taip pat Beno ir Citos kubitų \(k_3\) ir \(k_4\) yra panaikinami.
5.4 pav. Kvantinio supynimo sukeitimo realizacija loginėje grandinėje
Kvantinė grandinė, atliekanti supynimo sukeitimo algoritmą, yra pavaizduota 5.4 pav. Grandinės pabaigoje įdėti klasiškai kontroliuojami loginiai vartai, atliekantys \(k_4\) kubito transformaciją. Ši transformacija leidžia pakeisti Agnės ir Citos supintąją būseną į bet kurią kitą Belo būseną. Kaip matysime vėliau šiame skyriuje, pakanka vienos lokaliosios transformacijos, atliekamos bet kuriam kubitui supintoje poroje, norint pakeisti jų bendrą Belo būseną į bet kurią kitą Belo būseną.
5.4 Kvantinė kriptografija
Įsivaizduokime scenarijų, kuriame Agnė ir Benas ketina apsikeisti svarbia informacija. Norint užtikrinti, kad Evelina, kuri yra slapukavusi tarp jų anksčiau, nepamatytų ryšių turinio, Agnė ir Benas nusprendžia jį užšifruoti. Tokiu atveju, nors Evelina ir perimtų siunčiamą turinį, ji negalėtų suprasti, kas jame sakoma. Siekdami užšifruoti turinį Agnė ir Benas naudoja raktą. Kaip paprastą to pavyzdį imkime, kad turinys (\(t\)) yra išreikštas dvejetaine forma \(t = 001011010\), o šifravimas atliekamas sudedant kiekvieną turinio bitą modulo(2) su atitinkamu rakto \(r = 011101100\) bitu. Taip turinys pasikeičia į šią šifruotą seką: \(t\oplus r = 0101110110\). Norint turinį iššifruoti, tereikia vėl mod(2) sudėti šifruotą turinį su tuo pačiu raktu, nes \((t\oplus r)\oplus r = t\).
Agnė ir Benas gali pasirinkti, ar jie naudos privataus, ar atvirojo rakto kriptografinę sistemą. Privataus rakto kriptografijoje Agnė ir Benas susitikę pasirenka raktą, arba paprašo, kad raktą jiems perduotų trečiasis asmuo, Cita. Nors privataus rakto metodas yra saugus (naudojant pakankamai ilgą raktą), jam reikalingas apsikeitimas nėra praktiškas ir turi savo saugumo spragų. Pavyzdžiui, gali būti neįmanoma susitikti apsikeisti raktu ar tai atlikti kiekvieną kartą prieš inicijuojant ryšį. Antraip jie dar turėtų užtikrinti ilgai laikomo ir naudojamo rakto saugumą nuo įsibrovimų. Trečiojo asmens naudojimas apsikeitimui irgi neužtikrina saugumo, nes Cita gali raktą pasidalyti ar perduoti Evelinai.
Atvirojo rakto kriptografijos metodas buvo sukurtas 1970-aisiais ir yra plačiai taikomas interneto tinkluose. Šiuo metodu naudojamas asimetrinis rakto pasidalijimas. Norėdama suteikti Benui galimybę saugiai nusiųsti informaciją jai, Agnė atvirai paskelbia raktą, kuriuo reikia užšifruoti siunčiamą turinį. Tačiau Agnė pas save turi kitą raktą, žinomą tik jai, kuriuo galima iššifruoti turinį užšifruotu jos viešai paskelbtu raktu. Šie raktai yra sugeneruojami automatiškai kiekvienos sesijos metu, ir tam naudojamas atsitiktinių skaičių generatorius. Atvirojo rakto kriptografijos saugumas yra pagrįstas matematiškai sunkiai apskaičiuojamomis funkcijomis. Vis dėlto yra parodyta, kad plačiai paplitusi RSA kriptografijos sistema (angl. Rivest-Shamir-Adleman), pagrįsta pirminių skaičių faktorizacija, yra efektyviai įveikiama Šoro algoritmu kvantiniuose kompiuteriuose. Agnė ir Benas tiki, kad Evelina dar neturi pakankamai galingo kvantinio kompiuterio įveikti RSA, ir todėl yra linkę naudoti šį kriptografijos protokolą. Tačiau, jeigu Evelina tokį įrenginį turės artimoje ateityje, perimtą Agnės ir Beno ryšį ji galės nuskaityti ir vėliau.
Trečiasis būdas, apie kurį sužinojo Agnė ir Benas, yra naudoti privatų kvantinį rakto pasidalijimo protokolą (angl. quantum key distribution, trumpinys QKD). Šiame protokole užšifruoti ir iššifruoti turiniui taip pat naudojamas klasikinis raktas (dvejetainis kodas), tačiau rakto pasidalijimui yra naudojami kvantiniai ryšiai. Privatų rakto pasidalijimą jie gali atlikti per atvirą kanalą nebijodami, kad Evelina raktą sužinos, kadangi kvantiniuose ryšiuose rakto atskleidimas pakeičia raktą, na, o kopijuoti kvantinio rakto fundamentaliai neįmanoma. Atlikę kvantinį rakto pasidalijimą jie gali toliau naudoti klasikinį ryšių kanalą simetriškai užšifruodami ir iššifruodami siunčiamą turinį. Toliau pateikiame BB84 ir EPR kvantinius rakto pasidalijimo protokolus.
5.4.1 BB84 kvantinis rakto pasidalijimo protokolas
Dvejetainio rakto persiuntimui BB84 (angl. C. Bennet ir G. Brassard, 1984) protokole yra naudojamas vienpusis kvantinis kanalas nuo Agnės iki Beno ir klasikinis dvipusis ryšių kanalas. Klasikinis kanalas yra viešas ir gali būti pasiklausomas, kvantiniu kanalu siunčiama informacija taip pat gali būti perimta. Kaip matysime, tai netrukdo inicijuoti saugų ryšį.
Jeigu norimo rakto ilgis yra \(n\) bitų, tada Agnė, pirmiausiai naudodama atsitiktinių skaičių generatorių, sugeneruoja dvi \(4n\) bitų ilgio sekas, kurias vadinsime \(a_A\) ir \(b_A\). Pirmoji bitų seka \(a_A\) nusako patį raktą, o antroji \(b_A\) – kokią šifravimo sistemą naudoti kiekvienam \(a_A\) rakto bitui. Šias dvi vienodo ilgio sekas galima sugrupuoti poromis \(\{a_A , b_A\}=\{(a_1 , b_1 ), (a_2, b_2 ),\ldots, (a_{4n}, b_{4n})\}\), pagal kurias Agnė paruoš \(4n\) kubitų siųsti Benui. Jeigu \(b_A\) bitas yra 0, tada išreikšti \(a_A\) bitui (kurio sugeneruota vertė yra 0 arba 1) Agnė taiko Pauli-\(Z\) bazinių vektorių šifravimą. Tai yra, jeigu rakto bito vertė yra \(a_A= 0\), jis perteikiamas kubito \(|0\rangle\) būsena, o \(a_A= 1\) bitas perteikiamas būsena \(|1\rangle\). Jeigu šifravimo bitas \(b_A = 1\), Agnė išreiškia atitinkamą \(a_A\) rakto bitą Pauli-\(X\) baziniais vektoriais {\(|0_x \rangle\), \(|1_x \rangle\)}. Taip Agnė nusiunčia Benui \(4n\) kubitų \(|\psi_{ab}\rangle\), kurių kiekvienas yra vienoje iš šių būsenų: \[\begin{align} |\psi_{00}\rangle = & |0\rangle\,;\tag{5.23} \\ |\psi_{10}\rangle = & |1\rangle\,;\tag{5.24} \\ |\psi_{01}\rangle = & |0_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\,;\tag{5.25} \\ |\psi_{11}\rangle = & |1_x \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\,.\tag{5.26} \end{align}\] Gavęs kubitus Benas neturi informacijos, kokiose būsenose jie yra. Benas imasi atlikti kubitų būsenų matavimus ir atsitiktiniu būdu pasirenka atlikti Pauli-\(Z\) arba Pauli-\(X\) projekcinius matavimus. Kaip minėjome 4 skyriuje, norint atlikti Pauli-\(X\) projekcinį matavimą tereikia atlikti gautiems kubitams Hadamardo transformaciją ir toliau jiems vykdyti standartinį (Pauli-\(Z\)) matavimą. Atkreipiame dėmesį, kad šios keturios kubitų būsenos nėra visos viena kitai ortogonalios, todėl negali būti patikimai atskirtos atliekant tik vieno tipo matavimą. Matome, kad (atsitiktinai) atlikęs Pauli-\(Z\) matavimą kubitams, esantiems \(|\psi_{00}\rangle\) arba \(|\psi_{10}\rangle\) būsenose, Benas (pats nežinodamas) teisingai išmatuoja šias būsenas ir gauna sutapimą su jais, koduojamais Agnės rakto \(a\) bitais. Tačiau, jeigu būsenos yra \(|\psi_{01}\rangle\) arba \(|\psi_{11}\rangle\), tikimybė, kad atlikdamas Pauli-\(Z\) matavimą Benas teisingai iššifruos rakto bitus, tėra 0.5, kadangi \(|0_x \rangle\) ir \(|1_x \rangle\) yra lygios \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) superpozicijos. Analogiška situacija atsiranda, kai Benas atlieka Pauli-\(X\) matavimą. Jis gauna sutapimus su atitinkamais Agnės rakto bitais, jeigu matuoja \(|\psi_{01}\rangle\) ir \(|\psi_{11}\rangle\) būsenas, tačiau atsiranda 0.5 rakto iššifravimo paklaidos tikimybė matuojant \(|\psi_{00}\rangle\) ir \(|\psi_{10}\rangle\) būsenas. Taip atlikęs matavimus Benas sugeneruoja {\(a_B\), \(b_B\)} bitų porų seką, kurioje \(a_B\) bitas (0 arba 1) nusako gautą būsenos matavimo rezultatą, o \(b_B\) bitas užrašo, ar šis matavimas naudojo Pauli-\(Z\) (bito vertė 0) ar Pauli-\(X\) (bito vertė 1).
Kitame žingsnyje Agnė ir Benas, komunikuodami per atvirą klasikinį kanalą, palygina šifravimo \(4n\) bitų \(b_A\) ir \(b_B\) sekas. Taip jie turėtų rasti, kad tarp jų bitų vidutiniškai \(2n\) buvo atsitiktiniu būdu pasirinkti vienodai. Tai reiškia, kad Beno naudojamas matavimo būdas bei Agnės bitų šifravimo būdas šiais \(2n\) atvejais sutapo, ir jie abu žino, kad buvo teisingai iššifruoti šie atitinkami \(a\) rakto bitai. Jie atsikrato \(a_A\) ir \(a_B\) bitų, kurių porose esantys \(b_A\) ir \(b_B\) nesutampa ir pasilieka likusią \(2n\) raktų seką (\(a_A = a_B\)) neatskleisdami jos.
Norėdami patikrinti, kad Evelina neslapukavo perimdama Agnės siunčiamus kubitus, jiedu atsitiktinai pasirenka iš turimų \(2n\) rakto bitų \(n\) bitų ir per klasikinį kanalą palygina, ar jie sutampa. Jeigu priimtinas bitų skaičius sutampa, jiedu užbaigia rakto apsikeitimo protokolą ir gali saugiai naudoti likusius \(n\) bitų šifruoti ryšių turiniui.
5.5 pav. BB84 protokolo iliustracija
Panagrinėkime BB84 protokolo (žr. 5.5 pav.) saugumą. Pirmiausia, uždraustojo kvantinių būsenų kopijavimo teorema garantuoja, kad Evelina negali patikimai kopijuoti Agnės siunčiamų kubitų. Jeigu tai būtų įmanoma, turėdama siunčiamų kubitų būsenų kopijas ir perėmus \(b_A\) ir \(b_B\) sekų komunikavimą tarp Agnės ir Beno ji galėtų atkurti raktą bei turinį. Sakykime, kad Evelina visgi pamėgina atlikti Agnės siunčiamų kubitų kopijavimą naudodama \(cX\) vartus. Jos pradinės kubitų būsenos yra \(|0\rangle\), o po \(cX\) vartų ji toliau persiunčia Agnės kubitus Benui. Po šios transformacijos 2-kubitų būsenos yra: \[\begin{align} cX|\psi_{00}\rangle = & |00\rangle\,;\tag{5.27} \\ cX|\psi_{10}\rangle = & |11\rangle\,;\tag{5.28} \\ cX|\psi_{01}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\,;\tag{5.29} \\ cX|\psi_{11}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle - |11\rangle\big)\,.\tag{5.30} \end{align}\] Evelina laukia, kol Benas atliks kubitų matavimą, galiausiai tai paveikia ir jos kubitų būseną. Toliau ji perima Agnės ir Beno klasikinę komunikaciją, kurioje jiedu atskleidžia, kokie baziniai vektoriai buvo naudojami šifruoti raktui ir atlikti matavimams. Evelina kartu su Agne ir Benu atmeta tuos kubitus, kuriuose \(b_A\) ir \(b_B\) nesutampa. Jos strategija yra toliau atlikti tokius pačius matavimus su savo turimais kubitais, kuriuos atliko Benas. Matome, kad Evelina sėkmingai atkuria \(|\psi_{00}\rangle\) ir \(|\psi_{10}\rangle\) būsenas, kurioms Benas atliko Pauli-\(Z\) matavimus. Deja, kvantinis supynimas paveikia Benui \(|\psi_{01}\rangle\) ir \(|\psi_{11}\rangle\) būsenų matavimo rezultatus, kurioms teisingai atkurti jis (atsitiktinai) pasirinktų Pauli-\(X\) matavimus. Pažvelkime į galimus Beno matavimo rezultatus, prieš tai atlikę \(H\) transformaciją: \[\begin{equation} \begin{aligned} (H\otimes I)|\psi_{01}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\Big\lbrack\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes |0\rangle + \big(|0\rangle - |1\rangle\big)\otimes |1\rangle\Big\rbrack \\ = & \frac{1}{\sqrt{2}}\Big\lbrack |0\rangle\otimes\big(|0\rangle + |1\rangle) + |1\rangle\otimes\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\Big\rbrack\,. \end{aligned} \tag{5.31} \end{equation}\] Antroje eilutėje pergrupavome narius, norėdami parodyti, kad yra 0.5 tikimybė, jog Benas atlikdamas matavimus ras \(|0_x \rangle\) arba \(|1_x \rangle\), nes \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) yra lygios \(|0_x \rangle\) ir \(|1_x \rangle\) superpozicijos. Tačiau atlikdamas teisingą matavimą Agnės siųstai \(|\psi_{01}\rangle\) būsenai jis turėtų rasti \(|0_x \rangle\) kiekvieną kartą. Šis nesutapimas tarp jųdviejų turimų \(a_A\) ir \(a_B\) bitų bus aptiktas Agnei ir Benui atliekant atsitiktinių \(a\) rakto bitų palyginimą protokolo pabaigoje. Tad nors Evelina šioje BB84 protokolo atakoje sugeba teisingai atkurti kiekvieną iš keturių skirtingų būsenų, kurias Benas randa pas save, tačiau kvantinis supynimas pakeičia Beno rezultatus ir įveda neatitikimus.
Kadangi unitariosios transformacijos neatitinka norimo tikslo, antra galima Evelinos taktika – naudoti matavimo tipo transformacijas. BB84 protokolas uždaro ir šią spragą, kadangi naudoja neortogonaliąsias kvantines būsenas. Nežinodama, kokį matavimo būdą naudoti, Evelina gali pasirinkti, pavyzdžiui, visus perimtus Agnės kubitus pamatuoti Pauli-\(Z\) projekcija. Atlikus matavimą Evelina šiuos kubitus toliau persiunčia Benui, norėdama neišsiduoti, kad pasiklauso ryšio. Tačiau Pauli-\(Z\) matavimas, atliekamas \(|0_x \rangle\) ir \(|1_x \rangle\) būsenoms, neleidžia atskleisti, kokia yra būsena, kadangi atsitiktinai randamas \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) su vienodomis tikimybėmis. Dar blogiau, kad Evelinos Pauli-\(Z\) matavimas negrįžtamai pakeičia \(|0_x \rangle\) ir \(|1_x \rangle\) kubitų būsenas į \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\). Agnė ir Benas, atlikdami atsitiktinai pasirinktų rakto bitų palyginimą protokolo pabaigoje, gali įvertinti, ar jų buvo pasiklausoma ir nutraukti arba kartoti protokolą iš naujo esant dideliam bitų nesutapimui.
5.4.2 EPR kvantinis rakto pasidalijimo protokolas
EPR protokolas (žr. 5.6 pav.) yra dauguma aspektų panašus į BB84, tačiau tarp Agnės ir Beno nėra tiesioginio kvantinio ryšio kanalo. Vietoj jo naudojamas EPR šaltinis, paskirstantis tarp jų supintuosius kubitus. EPR protokole šis šaltinis paruošia \(4n\) supintąsias \(|\chi^{+}\rangle\) kubitų poras ir iš kiekvienos poros nusiunčia po vieną kubitą Agnei ir Benui. Pradžioje jie abu turi po \(4n\) supintųjų kubitų, kurių kiekvienas yra būsenoje: \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\,. \tag{5.32} \end{equation}\] Agnė ir Benas atsitiktiniu būdu pasirenka išmatuoti savo visus turimus kubitus santykinai su Pauli-\(Z\) arba Pauli-\(X\) baziniais vektoriais. Taip jie sugeneruoja bitų sekas {\(a_A\), \(b_A\)} ir {\(a_B\), \(b_B\)}; čia \(b\) bitas nusako, ar buvo pasirinktas Pauli-\(Z\) (0) ar Pauli-\(X\) (1) matavimas, o \(a\) bitas nusako gautą rezultatą (0 arba 1). Iš to matome, kad jeigu Agnės ir Beno atsitiktiniai matavimo būdo pasirinkimai sutapo, šių kubitų porų būsenas jie visada ras vienodas, ir todėl jų atitinkami rakto bitai sutaps. Tai akivaizdu žvelgiant į \(|\chi^{+}\rangle\) ir naudojant Pauli-\(Z\) matavimus. Norėdami atlikti Pauli-\(X\) matavimus abiem kubitams \(|\chi^{+}\rangle\) Belo būsenoje pirmiausia atlikime Hadamardo vartus: \[\begin{equation} \begin{aligned} H\otimes H|\chi^{+}\rangle = & \frac{1}{2\sqrt{2}}\Big\lbrack\big(|0\rangle + |1\rangle\big)\otimes\big(|0\rangle + |1\rangle\big) + \big(|0\rangle - |1\rangle\big)\otimes\big(|0\rangle - |1\rangle\big)\Big\rbrack \\ = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big\lbrack|0\rangle\otimes |0\rangle + |1\rangle\otimes |1\rangle\big\rbrack\,. \end{aligned} \tag{5.33} \end{equation}\] Matome, kad Pauli-\(X\) matavimuose taip pat yra ideali koreliacija tarp dviejų kubitų būsenų, tad atlikus norimus matavimus jų vertės visada sutaps. Tolimesni žingsniai paremti BB84 protokolu: Agnė ir Benas per klasikinį kanalą palygina \(b_A\) ir \(b_B\) šifravimo bitus ir pasilieka tuos \(2n\) rakto bitų, kuriems šifravimo bitai sutapo, \(a_A = a_B\). Galiausiai jiedu atsitiktinai pasirenka iš turimų \(2n\) rakto bitų \(n\) bitų ir palygina, ar jie sutampa, siekdami įvertinti, ar ryšys patikimas.
5.6 pav. EPR protokolo iliustracija
Šiuo atveju Evelina gali pabandyti įsiterpti perimdama abu kubitus poroje, skirtus Agnei ir Benui. Evelina atlieka kubitų būsenų matavimą ir toliau jiems persiunčia jau nebesupintus, o klasiškai koreliuotus kubitus, taip tiksliai žinodama, kokie bus Agnės ir Beno rezultatai. Tačiau Evelinos įsiterpimas pakeičia jų rezultatus. Pavyzdžiui, jeigu Evelina atlikusi Pauli-\(Z\) matavimus randa \(|00\rangle\) kubitų būseną, tada Agnė ir Benas, atlikę Pauli-\(Z\) neaptinka nesutapimų. Na, o jeigu jie atsitiktinai abu pasirenka Pauli-\(X\) matavimą \(|00\rangle\) būsenai, tada 0.5 jų matavimų rezultatai nesutaps, nes yra lygi tikimybė rasti \(|0_x \rangle\) arba \(|1_x \rangle\) būsenas. Atlikdami šifravimo ir rakto bitų patikrą Agnė ir Benas tai gali pastebėti ir nutraukti protokolą.
Agnės ir Beno matavimo rezultatų nesutapimai gali atsirasti ir dėl kitų išorinių veiksnių, kurie įveda ryšio signalui triukšmą. Praktikoje jiems reikia būdo patikrinti supintosios kvantinės būsenos tikslumą. Kituose poskyriuose smulkiau panagrinėsime supintųjų kubitų savybes ir aptarsime, kaip įmanoma patikrinti būsenų tikslumą, taip pat ar jos pasižymi ryšiuose pageidaujamomis kvantinėmis koreliacijomis.
5.5 Lokalios operacijos ir klasikiniai ryšiai
EPR šaltiniai kvantiniuose tinkluose yra nepamainomi, ir dėl to svarbu įvertinti jų tikslumą. Jeigu yra galimybė tai atlikti kubitams vos palikus EPR šaltinį, tada galime apskaičiuoti būsenų tikslumą (angl. state fidelity) palygindami sugeneruotą 2-kubitų būseną su grynąja Belo būsena \(|\psi\rangle\), kuri, tikimasi, turėtų būti ir EPR šaltinio sugeneruota. Vienas būdas tai apskaičiuoti: \[\begin{equation} F\lbrack\rho ,|\psi\rangle\rbrack = \sqrt{\langle\psi |\rho |\psi\rangle}\,. \tag{5.34} \end{equation}\] Tikslumas \(F\) nusako būsenų persiklojimą ir yra apibrėžtas intervale \(0 \leq F \leq 1\). \(F = 0\) reiškia, kad būsenos yra ortogonaliosios (maksimaliai skirtingos), o \(F = 1\) – kad jos fiziškai vienodos. Čia išreiškiame EPR sugeneruotą būseną tankio operatoriumi \(\rho = |\phi\rangle\langle\phi |\), nes dėl paruošimo netikslumų ar kitų mums nežinomų veiksnių ji gali būti mišri. Matome, kad tikslumas \(F\) nusako persiklojimo tarp būsenų \(\rho\) ir \(|\psi\rangle\) šaknį.
Supintųjų kubitų patikrinimą taip pat galima atlikti teleportuojant Beno kubitą pas Agnę, šitaip ji atliktų Belo matavimą. Tačiau tam reikalinga dar viena Belo būsena. Jeigu Agnė ir Benas yra galutiniai Belo būsenų vartotojai, neturintys tokios galimybės, tada patikrinti šaltinio tikslumui ar kvantinio ryšio kanalo švarumui jiems reikalingas kitas būdas. Imkime standartinį scenarijų, kuriame Agnė ir Benas neturi tarpusavyje kvantinio kanalo ir gali savo individualiems kubitams, gautiems iš EPR šaltinio, atlikti tik lokalias unitariąsias transformacijas bei matavimus ir tarpusavyje komunikuoti klasikiniu būdu. Pavyzdžiui, atlikęs norimą matavimą Benas gali rezultatą pranešti Agnei. Pagal gautą rezultatą, ji savo ruožtu pasirenka norimą transformaciją ar matavimo būdą, siekdama sužinoti kuo daugiau informacijos apie jų turimą kvantinę būseną. Tai yra vadinamasis lokalių operacijų ir klasikinių ryšių metodas kvantinėje informatikoje (angl. local operations classical communication, trumpinys LOCC). Toliau aptarkime, kokias LOCC operacijas Agnė ir Benas gali atlikti norėdami patikrinti keturias Belo būsenas: \[\begin{align} |\chi^{+}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\,,\quad |\chi^{-}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|00\rangle - |11\rangle\big)\,;\tag{5.35}\\ |\eta^{+}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle + |10\rangle\big)\,,\quad |\eta^{-}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|01\rangle - |10\rangle\big)\,.\tag{5.36} \end{align}\] Kaip ir skaičiuojamieji 2 kubitų baziniai vektoriai {\(|00\rangle\), \(|01\rangle\), \(|10\rangle\), \(|11\rangle\)}, Belo baziniai vektoriai {\(|\chi^{+}\rangle\), \(|\chi^{-}\rangle\), \(|\eta^{+}\rangle\), \(|\eta^{-}\rangle\)} kiekvienas individualiai savyje koduoja maksimaliai du bitus klasikinės informacijos. Standartiniame rinkinyje kiekvieną iš dviejų kubitų unikaliai nusako jų reikšmės 0 ir 1. Norint nusakyti supintąsias Belo būsenas akivaizdu, kad tai netinka dėl esamų superpozicijų. Belo rinkinyje pirmasis bitas nusako būsenų lyginumą (angl. parity bit), kuris parodo, ar kubitų būsenos nariuose vienodos, ar skirtingos. Lyginį lyginumą (angl. even parity) turi \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\chi^{-}\rangle\) būsenos, nes abu kubitai jų nariuose \(|00\rangle\) ir \(|11\rangle\) yra lygūs. Nelyginius lyginumus (angl. odd parity) turi \(|\eta^{+}\rangle\) ir \(|\eta^{-}\rangle\), sudaryti iš \(|01\rangle\) ir \(|10\rangle\) narių superpozicijos nelygiose būsenose. Antrasis bitas informacijos Belo būsenose yra vadinamas fazės bitu (angl. phase bit). Būsenos \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\eta^{+}\rangle\) turi tokį patį fazės bitą (+), nes nariai yra sudedami (santykinė fazė lygi nuliui). Būsenose \(|\chi^{-}\rangle\) ir \(|\eta^{-}\rangle\) nariai yra atimami (santykinė fazė \(\pi\)) ir todėl jų fazės bitas yra priešingas \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\eta^{+}\rangle\) būsenoms (-). Tad norėdami nusakyti Belo būsenas dviem bitais informacijos galime susieti lyginį ir nelyginį lyginumą su pirmo bito 0 ir 1 vertėmis, taip pat + ir – fazės bitus su antro bito 0 ir 1 vertėmis. Tai leidžia unikaliai įvardyti visas keturias Belo būsenas.
Kitas svarbus aspektas yra tai, kad supintosiose Belo būsenose lyginumo ir fazės bitus galima keisti atliekant vien lokalias unitariąsias transformacijas vienam iš pasirinktų kubitų, nepaisant atstumo tarp dviejų kubitų. Pavyzdžiui, Agnė, turinti \(|\chi^{+}\rangle\) būseną, gali pakeisti lyginumo bitą iš 0 į 1 atlikdama savo kubitui Pauli-\(X\) transformaciją. Arba tą patį gali padaryti Benas. Norėdami pakeisti fazės bitą iš 0 į 1, bet kuris iš jų atliktų Pauli-\(Z\) transformaciją. Pauli-\(Y\) transformacija pakeistų lyginumo ir fazės bitus kartu. Apačioje pateikiame lyginumo ir fazės bitų keitimo transformacijas pirmam kubitui \(|\chi^{+}\rangle\) būsenoje: \[\begin{align} (X\otimes I)|\chi^{+}\rangle = & |\eta^{+}\rangle\,;\tag{5.37} \\ (Y\otimes I)|\chi^{+}\rangle = & -\mathrm{i}|\eta^{-}\rangle\,;\tag{5.38} \\ (Z\otimes I)|\chi^{+}\rangle = & |\chi^{-}\rangle\,.\tag{5.39} \end{align}\] Primename, kad globali būsenos fazė nėra svarbi, tad \(-\mathrm{i}|\eta^{-}\rangle\) ir \(|\eta^{-}\rangle\) nusako identiškas kvantines būsenas. Tad vien lokaliomis transformacijomis viena iš dalyvaujančių šalių gali Belo būseną pakeisti į bet kurią kitą Belo būseną. Atkreipiame dėmesį, kad lokalios unitarinės trasformacijos negali panaikinti supynimo, tad pradedant iš Belo būsenų visos taip pasiekiamos būsenos yra supintosios. Šį rezultatą galima palyginti su faktorizuojamomis būsenomis standartiniuose baziniuose vektoriuose, pavyzdžiui, \(|00\rangle\). Agnė gali keisti savo turimo kubito vertę tarp 0 ir 1, todėl jos lokalios transformacijos leidžia pasiekti \(|00\rangle\) ir \(|10\rangle\) būsenas. Tačiau be Beno pagalbos ji negali globaliai pakeisti \(|00\rangle\) būsenos į \(|01\rangle\) arba \(|11\rangle\). Individualiomis lokaliomis transformacijomis nesupintojoje būsenoje šiuo atveju įmanoma keisti tik vieną bitą informacijos, o ne du, kaip supintosiose.
Grįžtant prie būsenų patikros, imkime situaciją, kurioje Agnė ir Benas, turėdami po vieną kubitą iš nežinomos Belo būsenos ir taikydami LOCC metodą nori sužinoti, kokia tai būsena. Pradėdama paprasčiausiu būdu, Agnė pasirenka atsitiktinai pamatuoti savo kubitą naudodama \(P = |0\rangle\langle 0| \otimes I\). Dėl šios priežasties nežinoma Belo būsena pasikeis į \(|00\rangle\) arba \(|01\rangle\). Akivazdu, kad nežiūrint, kokį matavimą pasirinks Benas, jie galės pasakyti tik turimos Belo būsenos lyginumo bitą. Fazės bito šiais matavimais jie sužinoti negali, tad ir įvardyti Belo būsenos nepavyks. Agnė ir Benas vis dėlto gali sužinoti supintosios būsenos lyginumo ir fazės bitus LOCC metodu paaukodami dvi supintąsias būsenas, o ne vieną. Tam darome prielaidą, kad EPR šaltinis siunčia identiškas būsenas. Gavę po vieną kubitą iš pirmosios Belo būsenos poros, jie abu atlieka Pauli-\(Z\) matavimą savo kubitams, o tikrines vertes sudaugina. Primename, kad atliekant Pauli-\(Z\) matavimus individualiems kubitams galimos tikrinės vertės yra +1 (\(|0\rangle\) būsena) arba -1 (\(|1\rangle\) būsena). Matome, kad jeigu Belo būsenos lyginumas yra lyginis, tada Pauli-\(Z\) tikrinių verčių sandauga yra 1, o jeigu nelyginis, gaunama -1. Naudojant Pauli-\(X\) matavimą antrajai (identiškai) Belo būsenai jie gali rasti ir fazės bitą. Šiuo atveju, jeigu būsenos fazė yra 0, tada tikrinių verčių sandauga yra 1, o jeigu \(\pi\) – gaunama -1. Norėdami pademonstruoti fazės bitų matavimą imkime \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\chi^{-}\rangle\) būsenas. Pauli-\(X\) matavimas atliekamas pirmiausia pritaikius abiems kubitams Hadamardo vartus: \[\begin{align} (H\otimes H)|\chi^{+}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big\lbrack|0\rangle\otimes |0\rangle + |1\rangle\otimes |1\rangle\big\rbrack\,;\tag{5.40}\\ (H\otimes H)|\chi^{-}\rangle = & \frac{1}{\sqrt{2}}\big\lbrack|0\rangle\otimes |1\rangle + |1\rangle\otimes |0\rangle\big\rbrack\,.\tag{5.41} \end{align}\] Tada atlikę įprastą Pauli-\(Z\) matavimą matome, kad \(|\chi^{+}\rangle\) ir \(|\chi^{-}\rangle\) būsenose tikrinių verčių sandauga bus +1 ir -1, atitinkamai. Agnė ir Benas, paaukoję dalį supintųjų kubitų, gali dviem matavimo būdais ir tarpusavio ryšiu tiksliai pasakyti, kokią būseną jiems siunčia EPR šaltinis. Neatitikimai tarp Agnės ir Beno matavimų yra indikatorius, kad šaltinis nėra tikslus ar būsenos yra pažeidžiamos duomenims keliaujant kvantiniu kanalu.
Pabandykime suprasti, kodėl LOCC metodu reikia paaukoti du kubitus. Kaip žinome, 1 kubito skaičiuojamieji baziniai vektoriai yra Pauli-\(Z\) operatoriaus tikriniai vektoriai, \(Z|0\rangle = |0\rangle\), \(Z|1\rangle = -|1\rangle\). Todėl Pauli-\(Z\) matavimas, atliekamas vienam iš jo bazinių vektorių, nepakeičia šio vektoriaus ir užtikrintai nusako, kokia tai būsena. Tačiau lokalūs Pauli matavimai vienam iš kubitų Belo būsenose pakeičia bendrą 2 kubitų būseną ir sunaikina supynimą, kadangi jos nėra lokaliųjų Pauli operatorių tikriniai vektoriai. Tad reikalingos dvi supintosios būsenos kopijos ir du lokalūs matavimai, nusakantys lyginumo ir fazės bitus.
Belo būsenos yra operatorių \(\bar{X} = X\otimes X\), \(\bar{Y} = Y\otimes Y\) ir \(\bar{Z} = Z\otimes Z\) tikriniai vektoriai: \[\begin{align} \bar{X}|\chi^{\pm}\rangle = & \pm |\chi^{\pm}\rangle\,,\quad \bar{Y}|\chi^{\pm}\rangle = \mp |\chi^{\pm}\rangle\,,\quad \bar{Z}|\chi^{\pm}\rangle = |\chi^{\pm}\rangle\,;\tag{5.42}\\ \bar{X}|\eta^{\pm}\rangle = & \pm |\eta^{\pm}\rangle\,,\quad \bar{Y}|\eta^{\pm}\rangle = \pm |\eta^{\pm}\rangle\,,\quad \bar{Z}|\eta^{\pm}\rangle = -|\eta^{\pm}\rangle\,.\tag{5.43} \end{align}\] Trys operatoriai \(\bar{X}, \bar{Y}\) ir \(\bar{Z}\) yra tarpusavyje komutatyvūs, todėl atlikus \(\bar{X}\) ir \(\bar{Z}\) matavimus sekoje Belo būsenai dvi gautos tikrinės vertės ją unikaliai atskirtų nuo kitų nesugriaunant pačios būsenos. Tačiau \(\bar{X}, \bar{Y}\) ar \(\bar{Z}\) projekciniai matavimai yra nelokalūs – tai yra ne tas pats, kas atlikti du lokalius matavimus ir tikrines vertes sudauginti. Kvantiniame kompiuteryje projekciniai Belo būsenų matavimai atliekami kombinacija, susidedančia iš nelokalios unitarinės transformacijos \(cX\), lokalių \(H\) bei įprastinio Pauli-\(Z\) matavimo abiem kubitams.
5.6 Belo nelygybė
A. Einšteinas nepasidavė idėjai, kad gamtoje fundamentaliai gali egzistuoti nedeterminizmas ir nuotolinė įtaka (angl. spooky action at a distance), apsireiškiantys supintų kvantinių būsenų matavimuose. Dėl to jis laikėsi pozicijos, kad kvantinė mechanika nors ir teisinga, bet vis dėlto negali būti išsami teorija. Siekdamas patikrinti, ar alternatyvios deterministinės teorijos, įkomponuojančios paslėptus lokalius kintamuosius, sugebėtų atkurti kvantinių koreliacijų efektus, Johnas Bellas 1970-aisiais išvedė vadinamąją Belo nelygybę (angl. Bell inequality).
Be fundamentaliųjų tyrimų srities, Belo nelygybių klasės testai yra taikomi praktikoje siekiant patikrinti, ar sugeneruotos 2 kubitų būsenos yra supintosios. Eksperimentuose standartiškai naudojama Belo nelygybės versija, vadinama CHSH (angl. J. Clauser, M. Horne, A. Shimony, R. Holt), kuri labiau tinka atlikti testams su šviesos nešėjais fotonais. Toliau pateikiame CHSH nelygybės supaprastintą įrodymą ir jos testo protokolą, naudojantį supintuosius fotoninius kubitus.
Įsivaizduokime scenarijų, kuriame Cita paruošia dvi sistemas ir neatskleisdama paruošimo būdo pateikia vieną Agnei, o kitą Benui. Šioje stadijoje nedarome jokių prielaidų, kokios tai sistemos ir kokiais gamtos dėsniais jos paremtos. Agnė ir Benas, abu gavę po vieną sistemą, atsitiktiniu būdu renkasi pamatuoti šių sistemų vieną iš savybių. Šitos savybės yra objektyvios ir gali būti atskleistos atlikus matavimus. Klasikinės savybės būtų, pavyzdžiui, geometrinė forma ar svoris. Agnės galimus pasirinkimus vadinsime \(A_1\) ir \(A_2\), Beno – \(B_1\) ir \(B_2\). Kiekvienos iš šių keturių savybių galimi matavimų rezultatai yra įvardijami skaitmeniškai, +1 arba -1. Beno sistema bei jos matuojamos savybės \(B_1\) ir \(B_2\) gali skirtis nuo Agnės \(A_1\) ir \(A_2\), tai nėra svarbu. Svarbu tik tai, kad Cita gali paruošti šias dvi sistemas identiškai \(n\) kartų. Kiekvieno paruošimo metu ji savo nuožiūra pasirenka, kokios bus matuojamų sistemų savybės (\(A_1\) ar \(A_2\), \(B_1\) ar \(B_2\)). Agnė ir Benas atlieka atsitiktiniu būdu pasirinktos savybės matavimus tuo pačiu metu ir būdami labai toli vienas nuo kito.
Agnė ir Benas pakartoja šiuos matavimus \(n\) kartų ir susitikę apskaičiuoja aritmetinius vidurkius keturių skirtingų narių: \(A_1 B_1\), \(A_2B_1\), \(A_1 B_2\), \(A_2 B_2\). Pavyzdžiui, jeigu vienam iš bandymų Agnė pasirinko \(A_1\) savybės matavimą (rezultatas +1 arba -1), o Benas \(B_2\) matavimą (rezultatas +1 arba -1), tada šios \(A_1 B_2\) matavimų poros rezultatus jie sudaugina ir gauna +1 arba -1. Aritmetinį \(A_1 B_2\) matavimo porų vidurkį, vadinsime jį \(\langle A_1 B_2 \rangle\), jie randa sudėję visus šios atsirandančios sandaugos rezultatus ir padaliję iš skaičiaus, kuris nusako, kiek kartų \(A_1 B_2\) matavimo pora buvo atlikta. Nariai \(\langle A_1 B_2 \rangle\) nusako koreliacijas tarp šių matuojamų savybių. Jeigu, pavyzdžiui, \(A_1\) ir \(B_2\) matavimais rastos savybės idealiai koreliuoja (antikoreliuoja), tada jų sandauga \(A_1 B_2\) ir vidurkis \(\langle A_1 B_2 \rangle\) visada bus +1 (-1). Tačiau, jeigu \(A_1\) ir \(B_2\) matavimų rezultatai ir todėl jų sandaugų vertės vis atsitiktinai keičiasi tarp +1 ir -1, tada koreliacija tarp šių pamatuotų savybių bus mažesnė arba koreliacijos išvis nebus.
Nežiūrėdami į Agnės ir Beno rezultatus pabandykime įvertinti Citos paruoštos vienos atskiros serijos galimus atsakymus. Tam sudėsime tris pirmus narius bei atimsime paskutinįjį: \[\begin{equation} C = A_1 B_1 + A_2 B_1 + A_1 B_2 - A_2 B_2 = (A_1 + A_2)B_1 + (A_1 - A_2)B_2\,. \tag{5.44} \end{equation}\] Matome, kad jeigu \(A_1\) ir \(A_2\) vertės yra skirtingos, gausime \(A_1 + A_2 = 0\) ir \(A_1 - A_2 = \pm 2\). Tačiau, jeigu jos yra vienodos, \(A_1 + A_2 = \pm 2\) ir \(A_1 - A_2 = 0\). Todėl, priklausomai nuo rastų \(A_1\) ir \(A_2\) verčių, \(C\) gali būti tik +2 arba -2. Akivaizdu, kad atskirų \(C\) serijų vidurkio absoliučioji vertė \(|\langle C\rangle|\) gali būti ir mažiau nei 2, tad bendrai \(|\langle C\rangle| \leq 2\). Panaudodami vidurkių apibrėžimą, \(\langle C\rangle = \langle A_1 B_1 \rangle + \langle A_2 B_1 \rangle + \langle A_1 B_2 \rangle - \langle A_2 B_2 \rangle\), gauname CHSH nelygybę: \[\begin{equation} |\langle A_1 B_1 \rangle + \langle A_2 B_1 \rangle + \langle A_1 B_2 \rangle - \langle A_2 B_2 \rangle| \leq 2\,. \tag{5.45} \end{equation}\] Agnė ir Benas, po daugelio matavimų radę individualius vidurkius \(\langle A_i B_j \rangle,\) gali įvertinti, ar koreliacijos tarp jų matuojamų sistemų savybių tenkina CHSH nelygybę.
CHSH nelygybė buvo išvesta atsižvelgiant į sistemos savybių paruošimo metodą ir jų matavimo konfigūraciją. Savybės paruošimas veda prie pirmosios prielaidos, vadinamos realizmu (angl. realism). Realizmas įvardija, kad sistemos savybės yra tiksliai apibrėžtos ir egzistuoja nepriklausomai nuo to, ar jos yra stebimos, ar ne. Tai matome iš to, kad visos keturios savybės \(\{A_1 , A_2 , B_1 , B_2 \}\) jau prieš Agnei ir Benui jas atskleidžiant turi deterministines vertes +1 arba -1, nustatytas iš anksto Citos. Antra, vadinamoji lokalumo (angl. locality), prielaida įvardija, kad tik artimoji sistemos aplinka gali daryti įtaką jos būsenai. Dėl įvardinto didelio atstumo tarp Agnės ir Beno lokacijų, kuriose jiedu atlieka sistemos savybių matavimus, jų rasti rezultatai neturėtų akimirksniu paveikti vienas kito. Antraip, reliatyvumo teorijos pamatinė aksioma, tvirtinanti, kad niekas negali sklisti greičiau už šviesos greitį, būtų pažeista. Priimant realizmą bei lokalumą, visos gamtoje egzistuojančios sistemos turėtų tenkinti CHSH nelygybę. Klasikinės sistemos tenkina šias, mums visiems intuityvias, prielaidas.
Panagrinėkime, ar šią nelygybę tenkina kvantinės sistemos. Imkime dviejų fotonų Belo būseną \(|\chi^{+}\rangle\), kurioje kubitų būsenos \(|0\rangle\) ir \(|1\rangle\) nusako fotono vertikalią ir horizontalią poliarizacijas, atitinkamai. Pervadiname būsenas taip \(|0\rangle\rightarrow |V\rangle\), \(|1\rangle\rightarrow |H\rangle\): \[\begin{equation} |\chi^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\big(|VV\rangle + |HH\rangle\big)\,. \tag{5.46} \end{equation}\] Siekdami patikrinti CHSH nelygybę, Agnė ir Benas taiko keturias detektorių poliarizacijos matavimo konfigūracijas, kurios yra \(A_1 , A_2 , B_1 , B_2\) sistemos savybių atitikmuo. Šiame eksperimente atstumai tarp Agnės ir Beno detektorių vėlgi yra dideli, užtikrinant, kad gauti poliarizacijos rezultatai negali paveikti vienas kito. Kiekvienam bandymui Agnė savo detektoriuje atsitiktiniu būdu pasirenka kampą \(\alpha_1\) arba \(\alpha_2\), o Benas \(\beta_1\) arba \(\beta_2\). 5.7 pav. iliustruojame dvi tokias detektorių konfigūracijas, pasuktas kampu \(\alpha\) ir \(\beta\):
5.7 pav. Koordinačių sistemos pasukimas kampais \(\alpha\) ir \(\beta\) pradinės koordinačių sistemos atžvilgiu. Pradinė koordinačių sistema apibrėžia horizontaliosios ir vertikaliosios poliarizacijos kryptis
Matome, kad poliarizacijos matavimai Agnės ir Beno detektoriuose yra pasukami pagal laikrodžio rodyklę nurodytais kampais vertikalios ašies lygiagrečios \(|V\rangle\) atžvilgiu, išlaikant statųjį kampą tarp naujų \(|V\rangle\) ir \(|H\rangle\) ašių. Naujos vertikali ir horizontali poliarizacijos būsenos, pasuktos kampu \(\alpha\) pradinių būsenų \(|V\rangle\) ir \(|H\rangle\) atžvilgiu, yra lengvai randamos: \[\begin{align} |V^{\alpha}\rangle = & \cos(\alpha)|V\rangle + \sin(\alpha)|H\rangle\,;\tag{5.47} \\ |H^{\alpha}\rangle = & -\sin(\alpha)|V\rangle + \cos(\alpha)|H\rangle\,.\tag{5.48} \end{align}\] Tada ermitinis operatorius \(P(\alpha)\), nusakantis poliarizacijos dydžius išilgai naujų, pasuktų kampu \(\alpha\) ašių, išreikštas spektrinėje dekompozicijoje, yra: \[\begin{equation} P(\alpha) = |V^{\alpha}\rangle\langle V^{\alpha}| - |H^{\alpha}\rangle\langle H^{\alpha}|\,. \tag{5.49} \end{equation}\] Lygtyje (5.49) \(|V^{\alpha}\rangle\langle V^{\alpha}|\) ir \(|H^{\alpha}\rangle\langle H^{\alpha}|\) yra diados, nusakančios projekcijas į vertikaliai ir horizontaliai poliarizuotų būsenų poerdves. Šie operatoriai nusako \(|V\rangle\) ir \(|H\rangle\) būsenų matavimą skirtinguose baziniuose vektoriuose – analogišku principu naudojami ir Pauli-\(Z\) arba Pauli-\(X\) matavimai kriptografijos protokoluose. Kaip ir Pauli-\(Z\) operatoriuje, jeigu randama vertikali \(|V^{\alpha}\rangle\) arba horizontali \(|H^{\alpha}\rangle\) poliarizacija, tada fiksuojama atitinkamai +1 arba -1 vertės. Identiškai randami ir kiti trys matavimo operatoriai, nusakantys skirtingus Agnės ir Beno detektoriaus pasukimo kampus \(\alpha\) ir \(\beta\). Siekdami įvertinti \(\langle AB\rangle\) koreliacijų koeficientus skirtingose fotonų matavimo konfigūracijose apskaičiuojame: \[\begin{equation} \langle\alpha\beta\rangle = \langle\chi^{+}|P(\alpha)\otimes P(\beta)|\chi^{+}\rangle\,. \tag{5.50} \end{equation}\] Panaudoję viršuje išreikštus \(P(\alpha)\) ir atlikę šiek tiek algebros veiksmų randame, kad dviejų matavimų tikrinių verčių sandaugos vidurkis priklauso tik nuo skirtumo tarp detektorių pasukimo kampų: \[\begin{equation} \langle\alpha\beta\rangle = \cos\lbrack 2(\alpha - \beta)\rbrack\,. \tag{5.51} \end{equation}\] Fotoninėse Belo būsenose CHSH nelygybė yra pažeidžiama didžiausia verte, kai skirtumai tarp kampų keturiose konfigūracijose skiriasi \(22.5^{\circ}\) laipsnio. Čia renkamės \(\alpha_1 = 22.5^{\circ}\), \(\alpha_2 = 45^{\circ}\), \(\beta_1 = 67.5^{\circ}\), \(\beta_2 = 90^{\circ}\). Tada koreliacijos koeficientai yra \(\langle\alpha_1 \beta_1 \rangle = \langle\alpha_2 \beta_1 \rangle = \langle\alpha_1 \beta_2 \rangle = 1/\sqrt{2}\), \(\langle\alpha_2 \beta_2 \rangle = - 1/\sqrt{2}\), ir randame \(|\langle C \rangle\)|: \[\begin{equation} |\langle\alpha_1 \beta_1 \rangle + \langle\alpha_2 \beta_1 \rangle + \langle\alpha_1 \beta_2 \rangle - \langle\alpha_2 \beta_2 \rangle | = 2\sqrt{2}\,. \tag{5.52} \end{equation}\] Akivaizdu, kad CHSH nelygybė, \(|\langle C\rangle| \leq 2\), nėra tenkinama supintosiose kvantinėse sistemose. Tai parodo, kad CHSH nelygybės įrodyme daromos realizmo ir lokalumo prielaidos apie sistemą negali būti teisingos. Realizmo prielaida atsiremia į kvantinės mechanikos trečiąjį postulatą, kuris teigia, kad matavimas priverčia sistemą, esančią būsenų superpozicijoje, pasirinkti (nedeterministiškai) vieną iš galimų būsenų. Kvantinė mechanika taip pat meta iššūkį mums suprantam lokalumui.
Belo nelygybės eksperimentiniai testai ne kartą parodė, kad kvantinei mechanikai alternatyvios deterministinės lokalios paslėptų kintamųjų teorijos nesugeba atkurti stebimų koreliacijų. Tai palaiko argumentą, kad nėra paslėptų ar kažkaip mums pro pirštus praslydusių veiksnių, kuriuos įtraukus būtų galima visada tiksliai atspėti būsenų matavimo rezultatus. Kadangi koreliacijų supintuosiuose kubituose negali imituoti jokia klasikinė sistema ar klasiškai koreliuota kvantinė sistema, CHSH nelygybės testas suteikia būdą įvertinti kvantinio supynimo egzistavimui, reikalingą vykdyti kvantinių ryšių protokolus.