8 skyrius. Kvantinių sistemų modeliavimas ir mašininis mokymasis
8.1 Dinaminių sistemų modeliavimas
Klasikinių bei kvantinių sistemų modeliavimas fizikoje yra pagrįstas diferencialinių lygčių sprendinių paieška. Jie apibūdina dinamiką laike bei erdvėje ir atspindi dėsnius, kuriuos šios sistemos seka. Klasikinėje fizikoje dažnai aptinkamos Niutono, Maksvelo ir Einšteino diferencialinės lygtys. Jos apibūdina sistemos pozicijų, elektromagnetinių ir gravitacinių laukų, atitinkamai, konfigūracijas bei kitimą. Tik itin speficinėse situacijose sprendinius galima rasti ir užrašyti žinomomis funkcijomis, tad dažnai yra pasitelkiami kompiuteriniai skaičiavimai. Įprastai, kompiuteriniai skaičiavimai diskretizuoja diferencialinės lygties kintamuosius, tokius kaip laiko ir erdvės. Tuomet iteracinė procedūra pradinę sistemos būseną nuveda prie ieškomosios galutinės. Diskretizavimo žingsnių dydis pasirenkamas atsižvelgiant į toleruotinus paklaidos dydžius, kuriuos dažnai galima tiksliai įvertinti. Modeliuojamos sistemos dydis ir jos sprendinių tikslumas bus nulemti prieinamų skaičiavimo išteklių.
Pavienių ir sudėtinių kvantinių sistemų dinamiką apibūdina 3 skyriuje minėta Šriodingerio lygtis: \[\begin{equation} \mathrm{i}\hbar\frac{d|\psi(t)\rangle}{dt} = H|\psi(t)\rangle\,. \tag{8.1} \end{equation}\] Ši lygtis tinka kvantinėms sistemoms, kuriose reliatyvistiniai efektai yra nereikšmingi arba gali būti aproksimuojami efektyviu hamiltonianu \(H\). Tokio tipo sistemas čia ir aptarsime.
8.1.1 Aizingo modelis
Pirmiausia pradėkime nuo pastebėjimo, kad sudėtinių kvantinių sistemų modeliavimas, kurių posistemės būsenos aprašomos identiškai kubitams, natūraliai tinka kvantinės kompiuterijos taikymams. Tai iš principo atstoja gerai kontroliuojamą eksperimentą su šiomis sistemomis. Tarp tokių yra elektronas, protonas ir neutronas, turintys \(1/2\) sūkį (angl. \(1/2\) spin). Šios dalelės magnetiniame lauke elgiasi panašiai kaip magnetiniai dipoliai. Blocho vektorius, orientuotas į ortogonaliąsias \(|0\rangle\) arba \(|1\rangle\) būsenas, yra atitinkamai magnetinė „šiaurė” arba „pietūs”. Vienas pavyzdys – periodiškai išsidėlioję atomai kristale, kuriame kiekvienoje atomo pozicijoje yra po vieną nesuporuotą elektroną (kubitą).
Aizingo modelio (angl. Ising model) hamiltonianas leidžia apibūdinti sistemos, sudarytos iš \(1/2\) sukinių, dinamiką. Skersinio lauko Aizingo modelio versija (angl. transverse-field Ising model) turi šią formą: \[\begin{equation} H = - j\sum_{i = 1}^n Z_i\otimes Z_{i + 1} - g\sum_{i = 1}^n X_i\,. \tag{8.2} \end{equation}\] Hamiltonianas apibūdina \(n\) kubitų, išrikiuotų eilėje. Nariai pirmoje suminėje dedamojoje nusako magnetines sąveikas tarp vienas šalia kito (\(i\), \(i + 1\)) esančių kubitų išilgai \(z\) ašies, apibūdintas Pauli-\(Z\) operatoriais ir sąveikos stiprumu \(j\). Pavyzdžiui, vienas toks narys, veikiantis tarp antrojo ir trečiojo kubito 4 kubitų sistemoje būtų \(-jI\otimes Z\otimes Z\otimes I\). Antra dedamoji hamiltoniane apibūdina išorinio magnetinio lauko išilgai \(x\) ašies efektą kiekvienam iš \(n\) kubitų; veikdamas trečią kubitą 4 kubitų sistemoje jis būtų \(-gI\otimes I\otimes X\otimes I\). Nepaisant paprastos išraiškos, kubitų elgesys Aizingo modelyje ir jo variacijose pasižymi fenomenų gausa. Pavyzdžiui, taip vadinamas laiko kristalas (angl. time crystal) gali būti realizuojamas kvantiniame procesoriuje naudojant Aizingo hamiltonianą su periodinėmis išorinio lauko perturbacijomis ir lokaliomis netvarkos dedamosiomis. Aizingo modelis 2 dimensijose leidžia stebėti feroelektrinį tvarkos-netvarkos fazinį virsmą (angl. ferroelectric order-disorder phase transition).
Norėdami apskaičiuoti kubitų evoliuciją laike turime įvertinti unitariojo operatoriaus \(U = \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}Ht}{\hbar}}\) veiksmą (žr. 3 skyrių): \[\begin{equation} |\psi(t) \rangle = \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}Ht}{\hbar}}|\psi(0)\rangle = U|\psi(0)\rangle\,. \tag{8.3} \end{equation}\] Čia pradinė būsena \(|\psi(0) \rangle\) laiku \(t = 0\) yra bendrai \(n\) kubitų superpozicija. Toliau matysime vieną universalų metodą, kaip apskaičiuoti kubitų būsenos laiko evoliuciją kvantiniame kompiuteryje.
8.1.2 Troterizacija
Daugeliu atvejų hamiltonianą \(H\) galime išskaidyti suma: \[\begin{equation} H = \sum_{i = 1}^k H_i\,. \tag{8.4} \end{equation}\] Minėtame Aizingo modelyje hamiltonianas yra sudarytas iš dviejų narių: \(H_1 = - j\sum_{i = 1}^n Z_i\otimes Z_{i + 1}\) ir \(H_2 = - g\sum_{i = 1}^n X_i\). Atkreipiame dėmesį, kad nors visi nariai \(H_1\) ir \(H_2\) sumose yra komutatyvūs, tačiau \(H_1\) ir \(H_2\) yra tarpusavyje nekomutatyvūs, \(\lbrack H_1 , H_2\rbrack \neq 0\). Todėl negalime šio unitariojo operatoriaus tiesiogiai pritaikyti nustatydami sistemos evoliuciją laike, nes: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_1t}{\hbar}}\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_2t}{\hbar}} \neq \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}(H_1 + H_2)t}{\hbar}}\,. \tag{8.5} \end{equation}\] Vadinamoji troterizacija (angl. Suzuki-Trotter approximation) leidžia apeiti iškilusią kliūtį ir apytikriai realizuoti norimą operatorių. Ši aproksimacija diskretizuoja laiko intervalą \(t\) į \(s\) žingsnių, kuriame kiekvienas laiko intervalas trunka \(\Delta t = t/s\). Unitarusis operatorius tampa: \[\begin{equation} U = \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}(H_1 + H_2)t}{\hbar}} \cong \left(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_1\Delta t}{\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_2\Delta t}{\hbar}}\right)^s\,. \tag{8.6} \end{equation}\] Naudodami pasirinktinai mažą žingsnį \(\Delta t\) ir atlikdami iteraciją \(s\) kartų, apskaičiuosime norimą sistemos laiko evoliuciją visame laiko intervale \(t\). Viršuje parodyta pirmosios eilės \(U\) aproksimacija, joje įterpiamos klaidos yra ne didesnės nei žingsnio dydžio kvadratas \(O(\Delta t^2)\). Troterizacija taip pat išsaugo laiko evoliucijos operatoriaus unitarumą ir todėl užtikrina, kad visame procese kvantinė būsena išlieka normuota. Galutinė sistemos būsena randama \(|\psi(t)\rangle \cong |\psi(s\Delta t)\rangle\): \[\begin{equation} |\psi(s\Delta t)\rangle = \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_1 \Delta t}{\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_2 \Delta t}{\hbar}}\cdots \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_1 \Delta t}{\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_2 \Delta t}{\hbar}}|\psi(0)\rangle\,. \tag{8.7} \end{equation}\] Troterizacija natūraliai tinka realizuoti ir hamiltonianus, kurie kinta laike. Tai gali nusakyti, pavyzdžiui, periodines sistemos perturbacijas ar kintančio stiprumo ir krypties išorines sąveikas. Tam vėlgi pasirenkamas diskretizuotas laiko žingsnis \(\Delta t\), pagal kurį laiko evoliucija yra strobuojama, taip pateikiant efektyvią seką: \[\begin{equation} |\psi(s\Delta t)\rangle = U_s(\Delta t)\cdots U_3(\Delta t)U_2(\Delta t)U_1(\Delta t)|\psi(0)\rangle\,. \tag{8.8} \end{equation}\]
8.1.3 Aizingo modelio realizavimas kvantinėje grandinėje
Aizingo modelyje matome 1 kubito operatorių, turintį formą: \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_2 \Delta t}{\hbar}} = \mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}\theta X}{2}} \equiv R_{x}(\theta)\). Tai yra pažįstamas posūkio operatorius aplink \(x\) ašį, čia jis atlieka Blocho vektoriaus posūkį kampu \(\theta = - \frac{2g\Delta t}{\hbar}\) kiekviename iš \(\Delta t\) dydžio iteracijos laiko žingsnių \(s\). Taip pat turime realizuoti 2 kubitų loginius vartus, nusakytus operatoriumi \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_1 t}{\hbar}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z_k\otimes Z_l}\). Čia \(\theta = \frac{j\Delta t}{\hbar}\), o \(Z_k\otimes Z_l\) veikia \(k\) ir \(l\) kubitus kiekviename žingsnyje. Dėl paprastumo praleidžiame identitetus, \(\otimes I\), kurie veikia likusius kubitus. Tam galime panaudoti 2 skyriuje pateiktą tenzorinės operatorių sanudaugos funkcijos išraišką: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z_k\otimes Z_l} = \sum_{k,l} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\lambda_k\lambda_l}P_k\otimes P_l = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \end{bmatrix}\,. \tag{8.9} \end{equation}\] (8.9) lygybės tenzorinėje sandaugoje \(P_{k,l} \in \big(|0\rangle\langle 0|, |1\rangle\langle 1|\big)\) yra Pauli-\(Z\) projekciniai operatoriai, o tikrinių verčių sandauga yra \(\lambda_k\lambda_l \in (1, -1)\). Atkreipiame dėmesį, kad lyginį lyginumą turinčioms 2 kubitų būsenoms (\(|00\rangle\) ir \(|11\rangle\)) yra pritaikoma fazė \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\), o štai nelyginio lyginumo būsenos (\(|01\rangle\) ir \(|10\rangle\)) įgauna \(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\). 8.1 pav. parodyta grandinė, realizuojanti \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z_k\otimes Z_l}\) operatorių kubitams \(k_1\) ir \(k_2\) pasitelkiant ancilą \(a_1\).
8.1 pav. Loginė grandinė, realizuojanti \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z_1\otimes Z_2}\) operatorių. Ancila kubitui pritaikomi \(R_z\) posūkio loginiai vartai
Pirma kvantinės grandinės užduotis yra atskirti būsenų lyginumą. Tam iškviečiami dveji \(cX\) vartai, supinantys ancilą kubitą \(a_1\) su \(k_1\) ir \(k_2\) kubitais. Norėdami tai aiškiau pamatyti, imkime, kad \(k_1\) ir \(k_2\) kubitai yra lygioje 2 kubitų skaičiuojamųjų bazinių vektorių superpozicijoje. Tad bendra pradinė būsena yra \(|\psi\rangle = |k_1 k_2\rangle\otimes|a_1\rangle\): \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{2}\big(|00\rangle + |10\rangle + |01\rangle + |11\rangle\big)\otimes|0\rangle\,. \tag{8.10} \end{equation}\] Pritaikius pirmus dvejus \(cX\) vartus su ancila adresatiniu kubitu, skaičiumi nurodant kontroliuojantį \(k\) kubitą, randame: \[\begin{equation} cX_{2}cX_{1}|\psi\rangle = \frac{1}{2}\big(|00\rangle + |11\rangle\big)\otimes|0\rangle + \frac{1}{2}\big(|10\rangle + |01\rangle\big)\otimes|1\rangle\,. \tag{8.11} \end{equation}\] Matome, kad tai supina ancilos kubito būseną \(|0\rangle\) su lyginio lyginumo \(k_1\) ir \(k_2\) kubitų būsenomis, o \(|1\rangle\) yra supinama su nelyginėmis. Atskyrę lyginumo būsenas, kitame žingsnyje pritaikome grandinėje parodytus \(R_z(\theta) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z}\) posūkio aplink \(z\) ašį loginius vartus ancila kubitui. Pagal 4 skyriuje apibūdintus posūkio vartus \(R_z(\varphi) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varphi Z/2}\), kampas čia yra \(\theta = -\varphi/2\). Dėl kvantinio supynimo \(R_z(\varphi)\) efektyviai suteikia skirtingas fazes skirtingo lyginumo būsenoms: \[\begin{equation} \begin{aligned} (I\otimes I\otimes \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z})&cX_2cX_1|\psi\rangle \\ = &\frac{1}{2}\big(|00\rangle + |11\rangle\big) \otimes\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|0\rangle + \frac{1}{2}\big(|10\rangle + |01\rangle\big) \otimes\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}|1\rangle \\ = & \frac{1}{2}\big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|00\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|11\rangle\big)\otimes|0\rangle + \frac{1}{2}\big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}|10\rangle + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}|01\rangle\big)\otimes|1\rangle\,. \end{aligned} \tag{8.12} \end{equation}\] Ancilos kubito būseną atstatome atgal su dviem \(cX\) vartais kartu panaikindami supynimą su \(k_1\) ir \(k_2\) kubitais. Gauname galutinę 2 kubitų būseną, veikiamą laiko evoliucijos operatoriumi \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}H_1 t}{\hbar}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z_k\otimes Z_l}\): \[\begin{equation} cX_1cX_2(I\otimes I\otimes \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta Z})cX_2cX_1|\psi\rangle = \frac{1}{2}\big(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|00\rangle + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}|10\rangle + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}|01\rangle + \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}|11\rangle)\otimes|0\rangle\,. \tag{8.13} \end{equation}\] Tad turime visus įrankius realizuoti Aizingo modeliui kvantiniame kompiuteryje.
8.2 Erdvinės Šriodingerio lygties sprendimo algoritmas
Banginė funkcija (angl. wave function), kaip ir būseną apibūdinantis vektorius \(|\psi \rangle\), nusako viską, ką galima žinoti apie kvantinę sistemą. Erdvinė banginė funkcija \(\psi(x)\) praktikoje leidžia analizuoti ir aprašyti erdvines kvantinės sistemos savybes, pavyzdžiui, nusakant jos poziciją, judėjimo kryptį ir greitį, kiek tai leidžia Haizenbergo neapibrėžtumo principas. Čia verta įsivaizduoti specifinę sistemą, pavyzdžiui, elektroną. Neprarasdami bendrumo imsime, kad elektronas juda vienoje erdvinėje dimensijoje – tai artimai atspindi keletą realių situacijų, kuriose yra apriboti erdviniai laisvės laipsniai. Norėdami apskaičiuoti, kaip ši sistema kinta laike, turime išspręsti Šriodingerio lygtį.
8.2.1 Banginė funkcija
Pirmiausiai perteiksime elektrono kvantinę būseną, išreikštą vektoriumi \(|\psi\rangle\), į erdvinį jos atvaizdavimą. Tam įvesime erdvinės pozicijos operatorių \(\hat{x}\) ir jo tikrinius vektorius \(|x\rangle\), kurie tenkina lygtį: \[\begin{equation} \hat{x}|x'\rangle = x'|x'\rangle\,. \tag{8.14} \end{equation}\] (8.14) lygybėje \(\hat{x}\) operatorius, veikiantis vieną iš tikrinių vektorių \(|x'\rangle\), grąžina jo sandaugą su tikrine verte \(x'\). Tikriniai vektoriai \(|x'\rangle\) priskiriami kiekvienai erdvės pozicijai \(x'\) ir kadangi yra tolydūs, jų iš principo yra begalybė. Formaliai šios būsenos yra apibūdinamos pasitelkiant vadinamąją suklastotą Hilberto erdvę (angl. rigged Hilbert space). Skirtingų pozicijos tikrinių vektorių ortonormalumas išreiškiamas Dirako delta funkcija (angl. Dirac delta function), \(\langle x|x'\rangle = \delta(x - x')\). Kvantinės sistemos būsena \(|\psi\rangle\), išreikšta erdviniais baziniais vektoriais \(\{|x\rangle\}\) ir pasitelkiant pilnumo savybę (2 skyrius), atrodo taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} |x\rangle\langle x|\psi\rangle\,dx = \int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)|x\rangle\,dx\,. \tag{8.15} \end{equation}\] Pilnumo savybėje naudojame integralą, o ne sumą, kadangi \(x\) kinta tolydžiai. Integrale matome \(\psi(x)|x\rangle\) narius, kuriuose pozicijos vektoriaus \(|x\rangle\) kompleksinė amplitudė yra nusakoma \(\psi(x) = \langle x|\psi\rangle\). Kvantinių būsenų pozicijos atvaizdavime amplitudžių \(\psi(x)\) visuma yra vadinama bangine funkcija.
Laike besikeičiančios kvantinės sistemos banginė funkcija yra pasklidusi erdvėje, ir tai formaliai nusako jos pozicijos būsenų superpoziciją. Banginę funkciją galima apriboti išoriniais veiksniais, pavyzdžiui, elektroną – elektrinio lauko barjeru. Todėl tik tam tikrame erdvės intervale ji turės nenulines vertes, \(\psi(x) \neq 0\). Elektroną taip pat galima lokalizuoti atlikus jo pozicijos matavimą. Matuojant elektronas yra lokalizuojamas erdvės intervale, nusakytame matavimo įrenginio savybėmis, pavyzdžiui, jo erdvine skiriamąja geba. Tikimybę rasti dalelę nykstamai mažo \(dx\) dydžio erdvės intervale nusako banginės funkcijos \(\psi(x)\) modulio kvadrato šioje pozicijoje ir intervalo \(dx\) sandauga: \[\begin{equation} |\langle x|\psi\rangle |^2 dx = \psi^{*}(x)\psi(x)dx = |\psi(x)|^2 dx\,. \tag{8.16} \end{equation}\] Susumavę (integravę) tokius narius visoje erdvėje reikalaujame, kad tikimybė \(p\) susidėtų į 1, mat elektronas turi būti vis tiek rastas kažkur erdvėje: \[\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x)|^2\,dx = 1\,. \tag{8.17} \end{equation}\] Praktiniuose taikymuose, banginė kvantinės sistemos funkcija \(\psi(x)\) yra išplitusi tik tam tikroje erdvės dalyje ir nesitęsia iki begalybės. Todėl integraciją pakanka atlikti tik toje erdvės dalyje, kur \(\psi(x)\) turi apčiuopiamo dydžio vertes.
8.2.2 Diskretizavimas
Norėdami kvantiniu kompiuteriu spręsti Šriodingerio lygtį erdvinėje išraiškoje, pirmiausiai atliksime erdvinių laisvės laipsnių diskretizavimą. Sakykime, kad mus domina \(L\) dydžio erdvės intervalas \(- L/2 \leq x \leq \ L/2\). Šį intervalą diskretizuosime \(2^n\) skaičiumi taškų su lygiais \(\Delta x = L/2^n\) dydžio intervalais. Tai reiškia, kad tik šiuose \(2^n\) erdvės taškuose bus įvertintos banginės funkcijos \(\psi(x)\) reikšmės. Tokią diskretizacijos taškų visumą vadinsime gardele (angl. lattice).
Kiekvienas gardelės taškas yra indeksuojamas vienu iš \(n\) kubitų skaičiuojamųjų bazinių vektorių \(|x\rangle\). Norint išvengti \(x\) simbolių dubliavimo su erdviniais simboliais, dešimtainėje sistemoje naudojamus \(x\) simbolius pakeisime į \(v\). Jeigu registras yra sudarytas iš \(n\) kubitų, tada turime \(2^n\) diskretizacijos taškus, nusakytus \(2^n\) baziniais vektoriais \(\{|v\rangle\}\). Pavyzdžiui, 3 kubitų registras leidžia sukurti 8 taškų gardelę {\(|0\rangle\), \(|1\rangle\), \(|2\rangle\), \(|3\rangle\), \(|4\rangle\), \(|5\rangle\), \(|6\rangle\), \(|7\rangle\)}.
Čia natūraliai pasitelkiame amplitudžių kodavimo metodą, kadangi banginė funkcija, kurios kitimą apskaičiuosime, yra bazinių vektorių {\(|v\rangle\)} amplitudės. Atkreipiame dėmesį, kad dėl eksponentinio būsenų augimo \(d\) skaičiui taškų tereikia \(\log_2 (d)\) kubitų – tai yra itin efektyvus diskretizacijos būdas. Kvantinėms sistemoms yra papildomas privalumas, kadangi kiekviename gardelės taške kubito būsenos amplitudė yra natūraliai koduojama kompleksiniu skaičiumi.
Kiekvieną (diskretizuotą) poziciją \(x\) unikaliai susiejame su baziniais vektoriais \(|v\rangle\) ir pervadindami ją \(x_v\) turime: \[\begin{equation} x_v = -\frac{L}{2} + v\Delta x\,. \tag{8.18} \end{equation}\] Diskretizuotąją kvantinę būseną \(|\psi\rangle\) šioje erdvėje išreiškiame taip: \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{v = 0}^{2^n - 1}\psi(x_v)|v\rangle\,. \tag{8.19} \end{equation}\] Būsena \(|\psi\rangle\) yra normuojama \(L\)-dydžio intervale faktoriumi \(\sqrt{N}\): \[\begin{equation} N = \sum_{v = 0}^{2^n - 1} |\psi(x_v)|^2 \Delta x\,. \tag{8.20} \end{equation}\] Siekdami supaprastinti simboliką, laikinai praleisime pozicijos \(x\) indeksaciją \(v\) simboliais. Tolesniame žingsnyje perteikiame Šriodingerio lygtimi apibūdinamą sistemos dinamiką į matematinę formą, kuri yra tinkama diskretizacijai. Naudojant \(\psi(x,t) = \langle x|\psi(t)\rangle\): \[\begin{equation} \mathrm{i}\hbar\frac{d\psi(x,t)}{dt} = H\psi(x,t)\,. \tag{8.21} \end{equation}\] Ši lygtis nusako \(\psi(x,t)\) banginės funkcijos (amplitudžių) kitimą erdvėje ir laike. Hamiltonianas bendrai susideda iš kinetinės energijos (angl. kinetic energy) ir potencinės energijos (angl. potential energy) operatorių: \[\begin{equation} H = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + V(x) \equiv K + V\,. \tag{8.22} \end{equation}\] Čia \(d^2/dx^2\) atlieka banginės funkcijos antros eilės išvestinę, \(m\) yra kvantinės sistemos masė. Potencinės energijos funkcija \(V\) nusako sąveikas su išorinėmis sistemomis. Imsime, kad \(V(x)\) priklauso tik nuo erdvinės pozicijos \(x\) ir nekinta laike. Pradinės banginės funkcijos \(\psi(x,0)\) evoliucija po laiko intervalo \(t\) randama: \[\begin{equation} \psi(x,t) = \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}(K + V)t}{\hbar}}\psi(x,0)\,. \tag{8.23} \end{equation}\] Atkreipiame dėmesį, kad \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}(K + V)t}{\hbar}} \neq \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}Kt}{\hbar}}\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}Vt}{\hbar}}\). Šie išskaidyti unitarieji operatoriai bendroje situacijoje yra nekomutatyvūs. Tam vėl pasitelksime troterizaciją diskretizuodami laiko intervalą \(t\) į \(s\) skaičių žingsnių: \[\begin{align} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}(K + V)t}{\hbar}} \cong & \left(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}K\Delta t}{\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V\Delta t}{\hbar}}\right)^s\,;\tag{8.24}\\ \psi(x,s\Delta t) = & \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}K\Delta t}{\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V\Delta t}{\hbar}}\cdots \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}K\Delta t}{\hbar}} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V\Delta t}{\hbar}}\psi(x,0)\,.\tag{8.25} \end{align}\] Šioje stadijoje diskretizavome erdvės ir laiko kintamuosius, taip pat perteikėme banginę funkciją gardelėje. Toliau parodysime, kaip apskaičiuoti troterizuoto laiko evoliucijos operatoriaus efektą banginei funkcijai.
Potencinės energijos \(V\) operatoriaus eksponentė \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V(x)\Delta t}{\hbar}}\), laiko žingsnyje \(\Delta t\) daugindama banginę funkciją \(\psi(x,t)\), suteikia jai kiekvienoje diskretizuotos erdvės pozicijoje \(x_v\) fazę \(\theta_v = \frac{V(x_v)\Delta t}{\hbar}\). Kadangi naudojame \(2^n\) erdvės diskretizacijos taškų, nusakytų kubitų baziniais vektoriais, šį operatorių galime išreikšti \((2^n \times 2^n)\) dydžio diagonaliąja matrica: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V(x)\Delta t}{\hbar}} = \begin{bmatrix} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_0} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_1} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_{2^n - 2}} & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta_{2^n - 1}} \end{bmatrix}\,. \tag{8.26} \end{equation}\] Kinetinės energijos operatoriaus eksponentės \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}K\Delta t}{\hbar}}\) efektas banginei funkcijai lengviausiai apskaičiuojamas banginės funkcijos judesio kiekio atvaizdavime (angl. momentum space representation). Pritaikius pozicijos \(x\) ir judesio kiekio \(p\) konjuguojamumą (angl. conjugation), banginės funkcijos Furjė transformacija konvertuoja ją tarp šių atvaizdavimų: \[\begin{align} U_{\mathrm{FT}}\psi(x) = & \psi(p)\,;\tag{8.27}\\ \psi(p) = & \frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum_{x = 0}^{2^n - 1} \psi(x) \mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi xp/2^n}\,.\tag{8.28} \end{align}\] Jeigu \(\psi(x)\) yra normuotoji, tada ir \(\psi(p)\) bus normuotoji dėl \(U_{\mathrm{FT}}\) unitarumo. Judesio kiekio operatorius pozicijos atvaizdavime yra \(p = -\frac{\hbar}{\mathrm{i}} \frac{d}{dx}\), tad judesio kiekio atvaizdavime kinetinė energija yra tiesiog \(K = \frac{p^2}{2m}\). Iš to išplaukia unitarinis operatorius \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}K\Delta t}{\hbar}} = \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}}\), kuris veikia \(\psi(p)\) banginę funkciją: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}K\Delta t}{\hbar}}\psi(x) = U_{\mathrm{FT}}^{\dagger}\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}}U_{\mathrm{FT}}\psi(x)\,. \tag{8.29} \end{equation}\] Atvirkštinė Furjė transformacija \(U_{\mathrm{FT}}^{\dagger}\) grąžina banginę funkciją \(\psi(p)\) atgal į pozicijos atvaizdavimą \(\psi(x)\). Kinetinės energijos operatorius yra \((2^n \times 2^n)\) dydžio diagonalioji matrica šiame atvaizdavime. Jo efektas banginei funkcijai apskaičiuojamas analogiškai, kaip ir potencinės energijos, tačiau suteikiant fazę \(\theta_j = \frac{p_j^2\Delta t}{2m\hbar}\) kiekviename judesio kiekio diskretizacijos taške \(j\) ir turi kvadratinę \(p_j^2\) priklausomybę.
Realizuojant šią dalį, judesio kiekio banginę funkciją \(\psi(p) = \langle p|\psi\rangle\) išreiškiame gardelėje. Jis sudarytas iš tų pačių \(2^n\) skaičiuojamųjų bazinių vektorių, gardelės taškus indeksuojame su \(|j\rangle\): \[\begin{equation} |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{j = 0}^{2^n - 1}\psi(p_j)|j\rangle\,. \tag{8.30} \end{equation}\] Normavimo faktorius vardiklyje \(N\) išlieka nepakitęs: \[\begin{equation} N = \sum_{v = 0}^{2^n - 1}|\psi(x_v)|^2 \Delta x = \sum_{j = 0}^{2^n - 1}|\psi(p_j)|^2 \Delta p\,. \tag{8.31} \end{equation}\] Nustatę erdvinį intervalo dydį ir erdvinį atstumą tarp \(2^n\) taškų, galime tiesiogiai susieti juos su judesio kiekio gardele (arba atvirkščiai). Judesio kiekis bus apibrėžtas \(-\pi/\Delta x \leq p \leq \pi/\Delta x\) ir turės \(\Delta p = 2\pi/L\) dydžio intervalus. Judesio kiekio koordinatė \(p_j\) gardelėje yra: \[\begin{equation} p_j = - \pi/\Delta x + j\Delta p\,. \tag{8.32} \end{equation}\] Judesio kiekio gardelė yra paprastai centruojama apie \(p_j = 0\).
Sudėję viską kartu, banginės funkcijos \(\psi(x,t)\) evoliuciją laike iki \(t = s\Delta t\) randame iteraciniu algoritmu: \[\begin{equation} \psi(x,t) = U_{\mathrm{FT}}^{\dagger} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}} U_{\mathrm{FT}}\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V(x)\Delta t}{\hbar}} \cdots U_{\mathrm{FT}}^{\dagger}\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}} U_{\mathrm{FT}}\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V(x)\Delta t}{\hbar}}\psi(x,0)\,. \tag{8.33} \end{equation}\] Erdvinės funkcijos diskretizacijos gardelė pasirenkama didesnė negu banginės funkcijos išsiplėtimas skaičiavimo metu, nes Furjė transformacija automatiškai padaro gardelę periodinę. Mat, jeigu banginė funkcija plėsdamasi pasieks gardelės kraštą, ji vėl atsiras priešingame krašte ir plėsis į gardelės vidų, o ten gali įvesti klaidingas amplitudes ir padaryti banginę funkciją nebenormuotą. Erdvinio ir judesio kiekio gardelės žingsnių dydžiai parenkami norint pasiekti reikalaujamą erdvinę skiriamąją gebą ir atkurti norimus didžiausius sistemoje atsirandančius judesio kiekius, atitinkamai.
8.2.3 Perteikimas kvantinėje grandinėje
Toliau pažiūrėkime, kaip kvantinėje grandinėje realizuoti \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}V(x)\Delta t}{\hbar}}\) ir \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}}\) narius. Specifinė fizinė situacija diktuos, kokia yra potencinės energijos funkcijos \(V(x)\) erdvinė priklausomybė. Kaip paprastą pavyzdį imkime 3 kubitų gardelės diskretizaciją ir potencinės energijos \(V(x)\) funkciją, kuri nusako \(a\) dydžio barjerus (energijos vienetai) kairiajame ir dešiniajame krašte (\(x = 0\) ir \(x = 7\)), taip pat \(b\) dydžio barjerą \(x = 3\) pozicijoje: \[\begin{equation} V(x) = \begin{cases} a\,, & x = 0\,\mathrm{ir}\,7 \\ b\,, & x = 3 \\ 0\,, & \mathrm{likusiems}\,x \end{cases}\,. \tag{8.34} \end{equation}\] Kvantinė grandinė, perteikianti \(\theta = \frac{V(x)\Delta t}{\hbar}\) fazes \(\{|0\rangle , |3\rangle , |7\rangle\}\) būsenoms, parodyta 8.2 pav.
8.2 pav. Loginė grandinė, atliekanti potencinės energijos funkcijos \(V(x)\) su trimis barjerais veiksmą banginei funkcijai \(\psi(x)\) viename laiko intervale
Matome dvigubai kontroliuojamus 3 kubitų fazės \(ccP(\theta)\) loginius vartus, kuriuose „kontrolinės” yra 1 kubito būsenos \(|0\rangle\) (tušti apskritimai) arba \(|1\rangle\) (užpildyti apskritimai). Šiuos aukštesnio lygio abstrakcijos loginius vartus, selektyviai suteikiančius fazę pasirinktai būsenai, galima realizuoti 4 skyriuje parodytu Tofoli vartais pagrįstu metodu (žr. 4.7 poskyrį). Šitoks metodas yra bendro pobūdžio, tačiau geriausiai tinka paprastoms potencinės energijos funkcijoms. Mat visoms skirtingoms \(2^n\) būsenoms selektyviai parinkti reikėtų daug išteklių: papildomų \(n - 1\) ancila kubitų; pritaikyti fazę vienam gardelės taškui reikalaujama \(2(n - 1)\) Tofoli loginių vartų, o taškų skaičius yra eksponentinis \(2^n\).
Potencinės energijos funkcijos, pasižyminčios simetrijomis, gali būti efektyviau išreikštos loginiais vartais. Vienas pavyzdys yra harmoninio osciliatoriaus funkcija \(V(x) = \gamma x^2\) (\(\gamma\) – realusis skaičius), turinti veidrodinę simetriją apie \(x = 0\). Unitarinį operatorių \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}\gamma x^2\Delta t}{\hbar}}\), veikiantį \(n\) kubitų registrą, galima realizuoti naudojant tik \(O(n^2)\) kompleksiškumą nulemiančių 2 kubitų loginių vartų. Kadangi kinetinės energijos unitarusis operatorius \(\mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}}\) taip pat turi identišką kvadratinę išraišką, pažiūrėsime jo perteikimą loginiais vartais: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}} = \mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\theta}{2^{2n - 3}}{ \left(1 + \sum_{k = 1}^n 2^{n - k} Z_k\right)}^2}\,. \tag{8.35} \end{equation}\] Čia \(\theta\) nusako efektinę fazę, suteikiamą kiekviename laiko žingsnyje \(\Delta t\), \(Z_k\) yra Pauli-\(Z\) loginiai vartai, veikiantys \(k\) kubitą. Suma atliekama iki algoritme naudojamų \(n\) kubitų skaičiaus. Norėdami tai iliustruoti, pateikiame 3 kubitų registro pavyzdį: \[\begin{equation} \mathrm{e}^{\frac{-\mathrm{i}p^2\Delta t}{2m\hbar}} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\left(Z_1 + \frac{1}{2}Z_2 + \frac{1}{4}Z_3 + 2Z_1\otimes Z_2 + Z_1\otimes Z_3 + \frac{1}{2}Z_2\otimes Z_3\right)}\,. \tag{8.36} \end{equation}\]
Jau žinome, kaip kvantinėje grandinėje loginiais vartais perteikti visus čia matomus narius.
Šriodingerio lygties sprendime turime paruošti pradinę banginę funkciją \(\psi(x,0)\). Pageidautina, kad šis žingsnis nereikalautų itin didelio loginių operacijų skaičiaus. Vėlgi, funkcijos, pasižyminčios simetrijomis, įprastai gali būti efektyviai koduojamos. Pavyzdžiui, Gauso funkcija (angl. Gaussian function) yra išreiškiama polinominiu skaičiumi loginių vartų \(O(\mathrm{pol}(n+1/\Delta))\); čia \(\Delta\) nusako erdvinę skiriamąją gebą. Diskretizuota Gauso funkcija \(\psi(x_v)\), koduojama 4 kubitų registro 16-oje jų amplitudžių, yra pateikta 8.3 pav. Kitas galimas būdas – pasitelkti banginės funkcijos transformaciją iš efektyviai koduojamos funkcijos. Pavyzdžiui, gan komplikuotą Beselio \(J_0\) (angl. \(0^{\mathrm{th}}\)-order Bessel function of the \(1^{\mathrm{st}}\) kind) funkciją galima sukurti atliekant Furjė transformaciją funkcijai, kurios forma turi lygias amplitudes tam tikru spinduliu ir yra nulinė visur kitur. Ši Beselio funkcija dažnai aptinkama ir praktikoje, nes ji nusako apvalios apertūros sukurtą tolimojo lauko difrakcijos funkciją.
8.3 pav. Gauso formos diskretizuota banginė funkcija, perteikta 16-os taškų gardelėje
Erdvinės Šriodingerio lygties algoritmo pabaigoje turime banginę funkciją \(\psi(x,t)\) arba, ekvivalentiškai, jos judesio kiekio atvaizdavimą \(\psi(p,t)\). Kadangi taikome amplitudžių kodavimo metodą perteikti banginei funkcijai, tiesiogiai visos banginės funkcijos vienu matavimu sužinoti neįmanoma. Pavyzdžiui, galime pasirinkti atlikti kiekvieno kubito standartinį Pauli-\(Z\) matavimą, formaliai toks \(n\) kubitų matavimas nusakomas apskaičiuojant \(\langle\psi |Z^{\otimes n}|\psi\rangle\). Dešimtainėje sistemoje rasime vieną iš galimų pozicijos būsenų \(|x\rangle\) su tikimybe \(p(x) = \psi^{*}(x)\psi(x)dx = |\psi(x)|^2 dx\). Pakartoję algoritmą daug kartų ir atlikę tokį matavimą, apytikriai rasime visą tikimybių tankio funkciją \(|\psi(x)|^2\) (angl. probability density function), kuri nusako tikimybes rasti kvantinę sistemą kiekviename erdvės taške \(x\).
Vietoj šio matavimo, pasitelkiant Hadamardo testą (žr. 6.7.1 poskyrį), galima apskaičiuoti globalius banginės funkcijos parametrus, \(\langle\psi |M|\psi\rangle\); čia \(M\) yra kvantinis operatorius. Pavyzdžiui, \(M\) gali būti hamiltonianas arba judesio kiekio momento operatorius. Tai suteiks sistemos, esančios būsenoje \(\psi(x),\) vidutinę energiją bei judesio kiekio momentą, atitinkamai. Globalių parametrų nustatymui gali pakakti kartoti algoritmą vos keletą kartų.
8.3 Mašininis mokymasis
Mašininis mokymasis (angl. machine learning, ML) yra tyrimų sritis, kurianti metodus, įgalinančius vis geriau atlikti nurodytas užduotis panaudojant duomenis. Mašininio mokymosi algoritmai, remiantis duomenų pavyzdžiais, sukuria prognozę atliekantį ar sprendimus priimantį modelį, tų užduočių neprogramuojant. Mašininis mokymasis yra plačiai taikomas įvairiose srityse, įskaitant kalbos atpažinimą, kompiuterinę regą, mašininį vertimą.
8.3.1 Klasikinis mašininis mokymasis
Klasikinio mašininio mokymosi metodai gali būti sugrupuoti į tris sritis: prižiūrimasis mokymasis (angl. supervised learning), neprižiūrimasis mokymasis (angl. unsupervised learning) ir skatinamasis mokymasis (angl. reinforcement learning). Iš visų mašininio mokymosi metodų prižiūrimojo mokymosi algoritmai yra labiausiai ištobulinti ir dažniausiai taikomi praktikoje. Tačiau prižiūrimasis mokymasis turi tą trūkumą, kad jam reikia sužymėtų duomenų, kuriuos gali būti brangu ar sunku gauti. Kai kurie dažniausiai taikomi mašininio mokymosi metodai pavaizduoti 8.4 pav.
8.4 pav. Klasikinio mašininio mokymosi metodai
Prižiūrimojo mokymosi atveju modelio kūrimui panaudojami duomenys, kuriuose kiekvienas pavyzdys yra pateikiamas kartu su norima išvestimi. Optimizuojant tikslo funkciją, kuri nusako, kiek modelio išvestis yra arti norimos, prižiūrimojo mokymosi algoritmas išmoksta prognozuoti išvestį, susijusią su nauja įvestimi. Yra sukurta daug prižiūrimojo mokymosi algoritmų, kai kuriuos jų paminėsime toliau.
Sprendimų medis (angl. decision tree) ir su juo susijęs atsitiktinis miškas (angl. random forest) yra modelis, pagrįstas srauto diagramomis, kuriose kiekvienas mazgas atitinka duomenų atributo testą, o šakos vaizduoja testo rezultatus. Sprendimų medžių parametrai yra norimas medžio gylis ir mazgų skaičius. Šis modelis nereikalauja išankstinių žinių apie duomenis ir yra atsparus labai nukrypusiems duomenų įrašams ar triukšmui žymėse. Atraminių vektorių mašinos (angl. support vector machines, SVM) naudoja treniravimo duomenis surasti hiperplokštumai, kuri atskiria dvi duomenų klases taip, kad atstumas iki kraštinių skirtingų klasių duomenis vaizduojančių taškų būtų kuo didesnis. Šie taškai yra vadinami atraminiais vektoriais ir nusako galutinį modelį. Kai gera atskyrimo plokštuma negali būti rasta, dažniausiai yra pritaikomi branduolio metodai, projektuojantys duomenis į aukštesnės dimensijos erdvę, kur skirtingos duomenų klasės tampa tiesiškai atskiriamos. Tinkamas branduolio parametrų parinkimas yra svarbus geram modelio veikimui; šių parametrų paieška apsunkina metodo pritaikymą. Atraminių vektorių mašinos pasižymi didele sparta, kai duomenų nedaug, tačiau skaičiavimo ir atminties išteklių poreikis sparčiai auga didėjant duomenų apimčiai.
Dabartiniu metu plačiai taikomas dirbtinis neuroninis tinklas yra modelis, sudarytas iš tarpusvyje sujungtų mazgų, vadinamų neuronais. Kiekvienas neuronas susumuoja informaciją iš kitų neuronų ir duoda išvestį, priklausomą nuo neurono netiesinės aktyvacijos funkcijos. Ryšių tarp skirtingų neuronų stiprumą nusako adaptyvūs svoriai. Neuroninio tinklo mokymo metu tinklo svoriai yra keičiami tol, kol tinklo išvestis pasidaro beveik lygi norimai. Pagal neuronų sujungimo pobūdį, dar vadinamą tinklo architektūra, neuroniniai tinklai skirstomi į tipus. Konvoliucinis neuroninis tinklas (angl. convolutional neural network, CNN) naudoja konvoliucijos operacijas su filtrų rinkiniu, užuot pilnai sujungus neuronų sluoksnius. Tokie neuroniniai tinklai naudojami erdviniams duomenims apdoroti, nes konvoliucijos operacijos išlaiko invariantiškumą duomenų erdvinio poslinkio atžvilgiu. Kitas neuroninių tinklų tipas yra rekurentiniai neuroniniai tinklai (angl. reccurent neural network), skirti nuosekliems duomenims apdoroti. Rekurentiniai neuroniniai tinklai naudoja grįžtamąsias jungtis tarp neuronų sluoksnio ir prieš jį einančių sluoksnių. Mokant paprastos architektūros rekurentinius neuroninius tinklus iškyla gęstančių ar sprogstančių gradientų problemos, kurios apsunkina mokymą. Tam išvengti yra pasiūlytas specialus rekurentinių tinklų tipas LSTM (angl. long short-term memory), kuris į modelį įveda sklendžių rinkinį. Taigi sujungimas tarp skirtingų neuronų sluoksnių, jungčių svorių atnaujinimo procesas bei taikomos aktyvacijos funkcijos yra svarbiausi neuroninio tinklo parametrai. Neuroniniai tinklai pasižymi daugeliu lokalių minimumų, todėl gali pateikti klaidingus rezultatus įvedant kitokius duomenis negu treniravimo metu.
Neprižiūrimojo mokymosi atveju yra pateikiami nesužymėti duomenys. Kuriamo modelio tikslas – aptikti struktūrą duomenyse, pavyzdžiui, juos sugrupuoti. Dažniausi neprižiūrimojo mokymosi pritaikymai yra duomenų klasterizavimas, matmenų sumažinimas bei anomalijų aptikimas. Klasterizavimo tikslas – sugrupuoti duomenis. Tarp populiariausių klasterizavimo metodų yra k vidurkių klasterizacija (angl. k-means clustering) ir save organizuojantys žemėlapiai (angl. self-organizing maps, SOM). K vidurkių klasterizavimo metu duomenys dalijami į klasterius taip, kad kiekvienas duomenų taškas priklauso klasteriui su artimiausiu taškų vidurkiu, klasterio viduje taškų dispersija minimizuojama. Klasteriams surasti dažniausiai naudojamas iteratyvusis algoritmas: sukuriama k klasterių, kiekvienas taškas susiejamas su artimiausiu vidurkiu, tada kiekvieno iš naujų k klasterių centrai tampa naujais vidurkiais. Saveorganizuojančių žemėlapių metodu duomenys yra pateikiami neuroniniam tinklui, o jis sukuria duomenų erdvės mažos dimensijos vaizdą. Matmenų sumažinimo metodai iš didelės dimensijos duomenų sukuria mažos dimensijos modelius. Pavyzdžiui, pagrindinių komponentų analizė (angl. principal component analysis, PCA) sukuria naujas duomenų požymių kombinacijas. Kombinacijos, turinčios didžiausią dispersiją, yra paliekamos, o visos kitos pašalinamos, taip sumažinant dimensiją.
Skatinamojo mokymosi tikslas – programiniam agentui, esančiam nurodytoje aplinkoje, išmokti pasirinkti veiksmus, maksimizuojančius gautą atlygį. Skatinamojo mokymosi modelis yra sudarytas iš aplinkos būsenų, galimų agento veiksmų, perėjimų tarp aplinkos būsenų taisyklių, atlygių už perėjimus tarp būsenų ir stebėjimo taisyklių. Agentas sąveikauja su aplinka pasirinkdamas veiksmus. Aplinka keičiasi atsakydama į tuos veiksmus, ir agentas gauna skaitinį atlygį. Skatinamajame mokyme agentas siekia maksimizuoti atlygį bėgant laikui. Mokymasis gali būti sukoncentruotas viename agente, arba paskirstytas keliuose. Skatinamasis mokymasis yra naudingas kontrolės uždaviniuose, kai negalima pateikti išreikštų taisyklių, o žinoma tik atlygio funkcija. Yra daug skatinamojo mokymosi algoritmų. Vienas iš populiarių metodų yra Q mokymasis. Jame algoritmas skaičiuoja tikėtiną atlygį (Q) veiksmo, atlikto esant nurodytai aplinkos būsenai, nepriklausomai nuo taikomos veiksmų strategijos. Kitas veiksmas yra pasirenkamas remiantis Q verte. Gautas atlygis yra naudojamas Q atnaujinimui imant senos vertės bei naujos informacijos pasvertą vidurkį.
8.3.2 Kvantinis mašininis mokymasis
Kvantinis mašininis mokymasis panaudoja kvantinį įrenginį mašininio mokymosi uždaviniams išspręsti su didesniu greičiu ar didesniu tikslumu, negu leidžia klasikiniai mašininio mokymosi metodai. Yra pasiūlyta įvairių klasikinio mašininio mokymosi kvantinių analogų, kurie paspartina klasterizavimą ar atraminių vektorių mašinas. Galimas dar platesnis apibrėžimas, kai kvantinio mašininio mokymosi algoritmai naudoja kvantinį įrenginį klasifikuoti kvantinėms būsenoms, o ne klasikiniams duomenims. Pavyzdžiui, kvantinė pagrindinių komponentų analizė suranda tikrinius vektorius, atitinkančius didžiausias tikrines vertes. Nemažai mašininio mokymosi algoritmų taiko tiesinių lygčių sistemų sprendimą. Kadangi kvantinis HHL algoritmas potencialiai gali greičiau išspręsti tiesinių lygčių sistemą negu klasikiniai algoritmai, kvantinis kompiuteris gali būti panaudojamas mašininiam mokymuisi spartinti. HHL algoritmą naudoja kvantinis k vidurkių metodas bei kvantinės atraminių vektorių mašinos.
Klasikiniai neuroniniai tinklai turi netiesines aktyvacijos funkcijas, o štai kvantinių sistemų evoliucija, kaip žinome, yra aprašoma tiesinėmis lygtimis. Kyla klausimas, kaip padaryti kvantinį klasikinio neuroninio tinklo analogą? Vienas iš sprendimo būdų – naudoti hibridinius (iš dalies kvantinius, iš dalies klasikinius) algoritmus. Juose netiesiškumą į evoliuciją įveda kvantinės sistemos matavimas ir su juo susijęs superpozicijos būsenos suirimas.
Nemažai kvantinio mašininio mokymosi metodų naudoja hibridinius algoritmus: parametrizuotos kvantinės grandinės yra treniruojamos taikant klasikinius optimizavimo metodus. Tačiau čia iškyla problema: inicializuojant parametrus visiškai atsitiktinai, dėl eksponentiškai didelės būsenų erdvės gradientas parametrų atžvilgiu dažniausiai yra eksponentiškai mažas didėjant kubitų skaičiui. Šis reiškinys, pavadintas nederlingų plynaukščių (angl. barren plateaus) buvimu, apsunkina kvantinių grandinių treniravimą. Toks nykstamai mažų gradientų buvimas taip pat gali atsirasti dėl triukšmo ar dėl per didelio supynimo tarp kubitų kvantinėje grandinėje. Kvantinis supynimas informaciją patalpina nelokaliai, koreliacijose tarp kubitų. Matuojant tik išvesties kubitus, dalis informacijos prarandama.
Visais atvejais, kai kvantinio mašininio mokymosi algoritmas apdoroja klasikinius duomenis, iš pradžių reikia duomenis užkoduoti į kvantinę būseną. Dažniausiai taikomi kodavimo būdai yra bitų kodavimas ir amplitudžių kodavimas (žr. 6.4 poskyrį). Bitų kodavime \(l\)-tasis įrašas yra \(N\) bitų seka \(b^{(l)} = \{b_1 , b_2, \ldots , b_{N} \}\), \(b_i \in \{ 0, 1\}\). Operatorius \(O\), dar vadinamas kvantiniu orakulu arba kvantine atmintimi, yra naudojamas iškviesti \(l\)-tajį įrašą iš duomenų bazės kvantinėje būsenoje: \[\begin{equation} O|l\rangle\otimes|0\rangle = |l\rangle\otimes|b^{(l)}\rangle\,. \tag{8.37} \end{equation}\] Toks vaizdavimas taikomas kvantinėse atraminių vektorių mašinose ir artimiausių kaimynų klasifikatoriuje. Bitų kodavimo privalumas yra tas, kad jis pateikia duomenis tuo pačiu pavidalu, kaip ir atitinkamam klasikiniam mašininio mokymosi algoritmui. Tačiau trūkumas – didelio kubitų skaičiaus poreikis, jeigu bitų skaičius \(N\) didelis. Kitas kodavimo būdas – tai amplitudės kodavimas, kai duomenys pavaizduojami kvantinės bazinių vektorių \(|i\rangle\) superpozicijos amplitudėse \(x_i\).
8.3.3 Kvantinėmis grandinėmis paremtas klasifikatorius
Kaip pavyzdį panagrinėkime vieną iš kvantinio mašininio mokymosi algoritmų – kvantinėmis grandinėmis paremtą klasifikatorių. Tai prižiūrimojo mokymosi algoritmas, kuriame yra pateikiami treniravimo duomenys kartu su teisingomis žymomis. Naudojant treniravimo duomenis klasifikatorius apmokomas priskirti žymę dar nematytiems duomenims. Šis hibridinis klasikinis-kvantinis algoritmas, pristatytas Shuld, Wiebe ir bendraautorių iš Microsoft nereikalauja didelio kubitų skaičiaus bei gilių grandinių ir todėl yra tinkamas ankstyvosios raidos kvantiniams procesoriams. Algoritme yra panaudojamas duomenų amplitudžių kodavimas (žr. 6.4 poskyrį), tad \(N = 2^n\) dydžio duomenų bazė perteikiama tik su \(n\) kubitų. Darant prielaidą, kad duomenis galima efektyviai užrašyti į kvantinę registro būseną, kvantinis paralelizmas leidžia sparčią šios būsenos transformaciją ir rezultatų apskaičiavimą. Be to, dėl unitariųjų būsenų transformacijų, toks klasifikatorius nestiprina triukšmo, esančio duomenyse ir jų žymose.
Kaip ir dauguma prižiūrimųjų mašininio mokymosi algoritmų, šis hibridinis algoritmas išmoko modelį, formaliai perteikiamą funkcija \(f(x, \theta) = y\), pateikiant duomenis \(x\) ir pažymint juos \(y\). Binariosios klasifikacijos atveju duomenys priklauso grupei \(a\) arba \(b\),\(y \in {a,b}\). Tam yra optimizuojamas modelio parametrų rinkinys \(\theta\). Gerai apmokytas modelis \(f(x, \theta)\) turėtų gebėti teisingai priskirti nematytus duomenis \(x\) grupei \(y \in {a,b}\). Kvantinėmis grandinėmis paremtas klasifikatorius yra pavaizduotas 8.5 pav.
8.5 pav. Kvantinėmis grandinėmis paremtas klasifikatorius. Loginių operacijų grandinė \(A\) atlieka pradinės būsenos paruošimą; ji yra toliau apdorojama modelio \(U(\theta)\) grandinėje optimizuojant klasifikatorių. Galiausiai, atliekama binarinė klasifikacija išmatuojant pirmojo kubito būseną
Kvantinė grandinė yra parametrizuota parametrų rinkiniu \(\theta\). Pradinė \(n\) kubitų būsena \(|0\rangle^{\otimes n}\) naudojama koduoti įvesčiai \(x\) pasitelkiant būsenos paruošimo unitarųjį operatorių \(A\). Operatorius \(A\) gali būti ir minėta orakulo funkcija, iškviečianti kvantinėje atmintyje laikomą duomenų bazės įvestį \(|\varphi(x)\rangle\). Šios būsenos transformacija yra aprašoma unitariuoju operatoriumi \(U(\theta)\). Kvantinės grandinės parametrai \(\theta\) optimizuojami taip, kad klasifikavimo rezultatas atitiktų treniravimo duomenyse pateiktą teisingą žymę. Duomenų klasifikavimo rezultatas \(f(x, \theta)\) yra nuskaitomas iš būsenos \(U(\theta)|\varphi(x)\rangle\) atliekant kubitų matavimą. Jeigu klasifikacija yra binarioji, pakanka išmatuoti tik vieną kubitą, pavyzdžiui, grandinėje parodytą pirmąjį, kurio būsena \(|1\rangle\) indikuoja teisingą pateiktų duomenų klasifikavimą. Ši būsena bus randama su tam tikra tikimybe, kurią norima modeliu maksimizuoti. Visgi, norint šią statistiką pamatyti, visą grandinę reikia atlikti keletą kartų.
Grandinės parametrams \(\theta\) optimizuoti yra naudojamas klasikinis gradientinio nusileidimo algoritmas. Šiam algoritmui reikalingos unitariojo operatoriaus išvestinės \(\partial_{\theta}U(\theta)\) parametrų \(\theta\) atžvilgiu. Kvantinė algoritmo dalis yra naudojama gradientų ir \(f(x, \theta)\) rezultatams apskaičiuoti, klasikinė – parametrams \(\theta\) atnaujinti. Nuodugnus mokymo procesas yra pavaizduotas 8.6 pav. Klasikinė modelio mokymo dalis pavaizduota brūkšnine linija.
8.6 pav. Hibridinis kvantinis-klasikinis mokymo algoritmas. Kvantinis įrenginys yra naudojamas išvesties ir gradientų suskaičiavimui; kvantinės grandinės parametrai \(\theta\) atnaujinami naudojantis klasikiniu algoritmu
Panagrinėkime algoritmą išsamiau. Įvesties duomenys \(x\) yra pavaizduojami į \(n\) kubitų pradinę būseną taiknt amplitudžių kodavimą. Duomenų įrašas \(x = \{x_1 , x_2 , \ldots, x_N \}\), \(x\in\mathbb{R}\), turintis \(N = 2^n\) elementų, yra pavaizduojamas bazinių vektorių \(|i\rangle\) superpozicijos amplitudėse \(x_i\): kur \[\begin{equation} \chi = \sqrt{\sum_{i = 1}^N x_i^2}\,. \tag{8.39} \end{equation}\] Prognozuojamos žymos \(\ell(x)=\lambda_1 , \lambda_2 ,\ldots\), atitinkančios duomenis \(x\), yra nuskaitomos taikant išvesties būsenos matavimą. Šį matavimą atitinka ermitinis operatorius \(C\), kurio tikrinės vertės yra \(\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots\): \[\begin{equation} C = \sum_j \lambda_j P_j\,. \tag{8.40} \end{equation}\] Čia \(P_j\) yra projekcinis operatorius, projektuojantis į atitinkamą poerdvį. Klasifikatoriaus mokymo tikslas yra teisingos žymos \(y\) prognozavimo maksimizavimas. Tam naudojama tikslo funkcija \(\mathcal{L}(\theta)\): \[\begin{equation} \mathcal{L}(\theta)=\frac{1}{M}\sum_{\lambda_j}\sum_{x:\ell(x)=\lambda_j} \langle\varphi(x)|U^{\dagger}(\theta)P_{\lambda_j}U(\theta)|\varphi(x)\rangle\,, \tag{8.41} \end{equation}\] čia \(M\) – duomenų rinkinio dydis. Binariosios klasifikacijos atveju, kai yra dvi žymos \(\lambda_1\) ir \(\lambda_2\), tikslo funkciją galime užrašyti taip: \[\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{L}(\theta) = & \frac{1}{M}\sum_{x:\ell(x) = \lambda_j} \langle\varphi(x)|U^{\dagger}(\theta)P_1 U(\theta)|\varphi(x)\rangle \\ & - \frac{1}{M}\sum_{x:\ell(x) = \lambda_2} \langle\varphi(x)|U^{\dagger}(\theta)P_2 U(\theta)|\varphi(x)\rangle\,. \end{aligned} \tag{8.42} \end{equation}\] Vidines sandaugas galima efektyviai apskaičiuoti pasitelkiant papildomą ancila kubitą, kaip aprašyta Hadamardo teste. Tikslo funkcija \(\mathcal{L}(\theta)\) yra maksimizuojama taikant klasikinį gradientinio nusileidimo algoritmą. Kvantinė grandinė, realizuojanti \(U(\theta)\), konstruojama taip, kad sparčiai sukurtų kvantinį supynimą ir nepareikalautų gilių grandinių. Kaip pamename, didžioji dalis \(2^n\) būsenų yra supintosios, tad panaudojant supintąsias būsenas atsiranda didesnė tikimybė teisingai apmokyti klasifikatorių. Operatorių \(U(\theta)\) realizuojanti grandinė yra sudaroma iš blokų: \[\begin{equation} U(\theta)=G_{\mathrm{out}}(\theta_{\mathrm{out}})B_L(\theta_L)\cdots B_2(\theta_2)B_1(\theta_1)\,. \tag{8.43} \end{equation}\] Kiekvienas blokas \(B_j(\theta_j)\) yra sudarytas iš \(n\) skaičiaus 1 kubito loginių vartų, \(n\) skaičiaus sąlyginių 2 kubitų loginių vartų. Užbaigiama 1 kubito loginiais vartais \(G_{\mathrm{out}}\) matavimui, skirtam pirmajam grandinės kubitui. Vieno kubito loginiai vartai yra bendriausio tipo \(U_3 (\alpha,\beta,\gamma) \equiv G\) (žr. 4.1 poskyrį). O štai 2 kubitų sąlyginius \(cG\) galime užrašyti: \[\begin{equation} cG = |0\rangle\langle 0|\otimes I + |1\rangle\langle 1|\otimes G\,. \tag{8.44} \end{equation}\]
Sąlyginiai vartai čia sudaro ciklinį kodą, kuris yra charakterizuojamas artumo parametru \(r\) (\(0 < r < n\)). Kiekvienam kubitui, kurio numeris \(j\), pritaikomi sąlyginiai loginiai vartai, kuriuose \(j\)-tasis kubitas yra adresatas, o \((j + r)\mod(n)\)-tas kubitas kontroliuojantis. Trijų kubitų atveju, kai \(r = 1\), toks blokas pavaizduotas 8.7 pav.
8.7 pav. 3 kubitų kvantinį supynimą sudarančios grandinės blokas. \(G_j\) yra 1 kubito loginiai vartai
Tikslo funkcijos \(\mathcal{L}(\theta)\) maksimizavimui taikant gradientinio nusileidimo metodą reikia operatorių \(U(\theta)\) išvestinių \(\theta\) parametrų atžvilgiu. Kadangi realizuojame \(U(\theta) \rightarrow U_3(\alpha,\beta,\gamma)\), tai savo ruožtu reiškia išvestines \((\alpha,\beta,\gamma)\) atžvilgiu. Vieno kubito loginių vartų išvestinės, pvz., \(I\otimes\partial_{\theta}G\otimes I\otimes\cdots\otimes I\), yra taip pat vieno kubito loginiai vartai, tačiau sąlyginių loginių vartų išvestinės \(\partial_{\theta}(cG)\) nėra unitarusis operatorius. Vis dėlto \(\partial_{\theta}(cG)\) gali būti realizuojamas kaip dviejų unitariųjų operatorių suma: \[\begin{equation} \partial_{\theta}(cG) = |1\rangle\langle 1|\otimes\partial_{\theta}G = \frac{1}{2}(I\otimes\partial_{\theta}G - Z\otimes\partial_{\theta}G)\,. \tag{8.45} \end{equation}\] Kiekviena iš šių grandinių, turinčių \(I\otimes\partial_{\theta}G\) bei \(Z\otimes\partial_{\theta}G\) narius, yra įvykdoma atskirai, o jų skirtumas suskaičiuojamas klasikinėje algoritmo optimizavimo dalyje. Galop, norint įvertinti tikimybes, kvantinė grandinė turi būti pakartotinai įvykdoma kelis kartus. Pakartojimų skaičius auga su norimu tikslumu \(\epsilon\) kaip \(O(1/\epsilon^2)\).
8.3.4 Pagrindinių komponentų analizė
Kvantinė pagrindinių komponentų analizė (angl. quantum principal component analysis¸ trumpinys qPCA) leidžia nustatyti nežinomos kvantinės būsenos, apibūdinamos tankio matrica \(\rho\), tikrinius vektorius, atitinkančius didžiausias tikrines vertes. Tankio matrica \(\rho\) yra išskaidoma tikriniais vektoriais: \[\begin{equation} \rho = \sum_{k = 1}^N \lambda_k|a_k\rangle\langle a_k|\,, \tag{8.46} \end{equation}\] čia \(N\) – erdvės dydis; \(|a_k \rangle\) – tikriniai vektoriai; \(\lambda_k\) – atitinkamos tikrinės vertės. Kvantinės pagrindinių komponentų analizės tikslas – išrinkti \(|a_k\rangle\) atitinkančius didžiausius \(\lambda_k\). Kadangi tankio matrica \(\rho\) yra ermitinė, operatorius \(U = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\rho t}\) yra unitarusis. Tikrinių vektorių nustatymui kvantiniu kompiuteriu galima pritaikyti hamiltoniano kodavimą, aprašytą (7.39) lygtimi. Operatoriaus \(U\) tikrines vertes \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\lambda_k t}\) randamos panaudojant kvantinį fazės nustatymo algoritmą, aprašytą 7.4 poskyryje.
Algoritme reikia apskaičiuoti matricos \(\rho\) eksponentę. Šį skaičiavimą paspartina paprastas matematinis triukas pasitelkiant bet kokią pagalbinę tankio matricą \(\sigma\). Laiką \(t\) padalijame į \(s\) dalių, \(t = s\Delta t\), ir darome prielaidą, kad turime daug būsenos \(\rho\) kopijų. Galima pastebėti, kad galioja tokia lygybė: \[\begin{equation} \mathrm{Tr}_P\mathrm{e}^{-\mathrm{i}W\Delta t}\rho\otimes\sigma \mathrm{e}^{\mathrm{i}W\Delta t} = \sigma - \mathrm{i}\Delta t\lbrack\rho,\sigma\rbrack + O(\Delta t^2) = \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\rho\Delta t}\sigma \mathrm{e}^{\mathrm{i}\rho\Delta t} + O(\Delta t^2)\,, \tag{8.47} \end{equation}\] kur \(\mathrm{Tr}_P\) yra dalinis pėdsakas per pirmą kintamąjį, o \(W\) – \(SWAP\) loginiai vartai. \(SWAP\) operatoriaus eksponentė gali būti efektyviai realizuota kvantinėse grandinėse, todėl, naudojantis (8.47) lygtimi, galima efektyviai realizuoti ir tankio matricos eksponentės skaičiavimą.